Calculadora d'Arcs: Dimensions Precises per a Arcs Perfectes

Introducció

La Calculadora d'Arcs és una eina essencial per a arquitectes, enginyers, constructors i entusiastes del bricolatge que necessiten determinar dimensions precises per a la construcció d'arcs. Aquesta calculadora simplifica les complexes relacions matemàtiques entre les dimensions clau d'un arc: radi, llum i alçada. En entendre i calcular amb precisió aquests paràmetres, podeu dissenyar arcs estructuralment sòlids i estèticament agradables per a portes, finestres, ponts i altres elements arquitectònics.

Els arcs han estat elements fonamentals en l'arquitectura durant milers d'anys, distribuint pes i creant espais elegants i oberts. Tant si esteu restaurat un edifici històric, dissenyant una estructura moderna o treballant en un projecte de millora de la llar, les dimensions precises de l'arc són crucials per a una construcció exitosa. Aquesta calculadora elimina les conjetures i els càlculs manuals complexos, permetent-vos centrar-vos en el vostre procés de disseny i construcció.

Dimensions de l'Arc Explicades

Abans de submergir-nos en els càlculs, és important entendre les dimensions clau d'un arc:

• Radi: La distància des del punt central del cercle fins a qualsevol punt de l'arc
• Llum: La distància horitzontal entre els dos punts finals (punts de suport) de l'arc
• Alçada: La distància vertical des de la línia de suport fins al punt més alt de l'arc (intrados)
• Longitud de l'Arc: La distància corbada al llarg de l'arc des d'un punt final a l'altre
• Àrea de l'Arc: L'àrea tancada per l'arc i la línia de suport

Formules Matemàtiques

La calculadora d'arcs utilitza les següents fórmules per determinar les relacions entre radi, llum i alçada:

Calcular Alçada (quan es coneixen el radi i la llum)

$\text{Alçada} = \text{Radi} - \sqrt{\text{Radi}^2 - \left(\frac{\text{Llum}}{2}\right)^2}$

Aquesta fórmula s'aplica quan:

• Radi > 0
• Llum > 0
• Llum ≤ 2 × Radi

Calcular Radi (quan es coneixen la llum i l'alçada)

$\text{Radi} = \frac{\text{Llum}^2}{8 \times \text{Alçada}} + \frac{\text{Alçada}}{2}$

Aquesta fórmula s'aplica quan:

• Llum > 0
• Alçada > 0

Calcular Llum (quan es coneixen el radi i l'alçada)

$\text{Llum} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Radi} \times \text{Alçada} - \text{Alçada}^2}$

Aquesta fórmula s'aplica quan:

• Radi > 0
• Alçada > 0
• Alçada ≤ Radi

Calcular Longitud de l'Arc

$\text{Longitud de l'Arc} = \text{Radi} \times \theta$

On θ (theta) és l'angle central en radians:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Llum}}{2 \times \text{Radi}}\right)$

Calcular Àrea de l'Arc

$\text{Àrea de l'Arc} = \frac{1}{2} \times \text{Radi}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Llum} \times (\text{Radi} - \text{Alçada})$

On θ és l'angle central tal com s'ha definit anteriorment.

Com Utilitzar la Calculadora d'Arcs

La nostra calculadora d'arcs ofereix tres modes de càlcul per adaptar-se a diferents escenaris que podeu trobar en els vostres projectes. Seguiu aquests passos per obtenir dimensions d'arc precises:

Mode 1: Calcular Alçada (quan coneixeu el radi i la llum)

1. Seleccioneu "Calcular Alçada" de les opcions de mode de càlcul
2. Introduïu el radi de l'arc
3. Introduïu la llum (amplada) de l'arc
4. La calculadora calcularà automàticament:
   • Alçada (altura)
   • Longitud de l'arc
   • Àrea de l'arc

Mode 2: Calcular Radi (quan coneixeu la llum i l'alçada)

1. Seleccioneu "Calcular Radi" de les opcions de mode de càlcul
2. Introduïu la llum (amplada) de l'arc
3. Introduïu l'alçada (altura) de l'arc
4. La calculadora calcularà automàticament:
   • Radi
   • Longitud de l'arc
   • Àrea de l'arc

Mode 3: Calcular Llum (quan coneixeu el radi i l'alçada)

1. Seleccioneu "Calcular Llum" de les opcions de mode de càlcul
2. Introduïu el radi de l'arc
3. Introduïu l'alçada (altura) de l'arc
4. La calculadora calcularà automàticament:
   • Llum (amplada)
   • Longitud de l'arc
   • Àrea de l'arc

Entendre els Resultats

Després de realitzar el càlcul, rebreu els següents resultats:

• Dimension Primària: La dimensió que estàveu calculant (alçada, radi o llum)
• Longitud de l'Arc: La distància corbada al llarg de l'arc des d'un punt final a l'altre
• Àrea de l'Arc: L'àrea tancada per l'arc i la línia de suport

Aquestes mesures són essencials per a:

• Determinar les quantitats de materials
• Crear plantilles per a la construcció
• Assegurar l'estabilitat estructural
• Aconseguir l'aparença estètica desitjada

Restriccions Importants

La calculadora imposa aquestes restriccions matemàtiques per assegurar dimensions d'arc vàlides:

1. Restricció de Llum: La llum no pot excedir el doble del radi (Llum ≤ 2 × Radi)
2. Restricció d'Alçada: L'alçada no pot excedir el radi (Alçada ≤ Radi)
3. Valors Positius: Totes les dimensions han de ser números positius

Si introduïu valors que violen aquestes restriccions, la calculadora mostrarà un missatge d'error i us guiarà cap a entrades vàlides.

Casos d'Ús per a Càlculs d'Arcs

Els càlculs d'arcs són vitals en nombrosos camps i aplicacions:

Arquitectura i Construcció

• Portes i Finestres: Dissenyar obertures amb arc a les parets amb dimensions precises
• Sostres Vaulted: Calcular la corba per a voltes de barril i voltes de creu
• Ponts: Determinar les dimensions òptimes de l'arc per a la integritat estructural i l'estètica
• Maçoneria: Crear plantilles per a arcs de maó o pedra
• Encofrat: Construir suports temporals per a arcs de formigó durant la construcció

Conservació Històrica

• Projectes de Restauració: Igualar les dimensions exactes dels arcs històrics
• Documentació: Registrar la geometria precisa dels arcs existents
• Replicació: Recrear elements arquitectònics danyats o desapareguts

Bricolatge i Millora de la Llar

• Característiques de Jardí: Dissenyar arcs de reixeta, portals o elements decoratius
• Disseny d'Interior: Crear nínxols amb arc, portes o motllures decoratives
• Fabricació de Mobles: Incorporar elements amb arc en mobles personalitzats

Arquitectura del Paisatge

• Estructures de Jardí: Dissenyar ponts, pergoles i portals amb arc
• Mur de Contenció: Incorporar característiques amb arc tant per a propòsits estructurals com estètics

Enginyeria

• Anàlisi Estructural: Determinar la distribució de càrrega i els punts de tensió en estructures amb arc
• Enginyeria Hidràulica: Dissenyar culverts i estructures de drenatge amb arc

Alternatives als Arcs Circulars

Si bé aquesta calculadora se centra en arcs circulars, altres tipus d'arcs inclouen:

1. Arcs El·líptics: Utilitzant porcions d'una el·lipse en comptes d'un cercle, permetent llums més àmplies amb alçades més baixes
2. Arcs Parabòlics: Seguint una corba parabòlica, sovint utilitzada en ponts per a una distribució òptima de càrrega
3. Arcs Gòtics: Formats per dues arcs circulars que es troben en un punt, comuns en l'arquitectura medieval
4. Arcs Catenaris: Seguint la corba natural formada per una cadena penjant, proporcionant una excel·lent eficiència estructural
5. Arcs Plans: Que semblen plans però que en realitat tenen una lleugera alçada, utilitzats sobre finestres i portes

Cada tipus té els seus propis mètodes de càlcul i propietats estructurals, adaptades a diferents aplicacions i preferències estètiques.

Història dels Arcs en Arquitectura

L'arc té una rica història que s'estén durant milers d'anys i nombroses civilitzacions:

Orígens Antics (3000-500 aC)

Els primers arcs van aparèixer en l'arquitectura mesopotàmica al voltant del 2500 aC. Aquests es formaven normalment mitjançant tècniques de corbel·lat en lloc d'arcs veritables. Els antics egipcis també utilitzaven arcs primitius en estructures subterrànies.

Innovació Romana (500 aC-500 dC)

Els romans van perfeccionar l'arc semicircular i el van utilitzar àmpliament en la seva arquitectura. Els desenvolupaments clau incloïen:

• Mètodes de càlcul estandarditzats per a les dimensions de l'arc
• L'ús de formigó per crear arcs més forts
• Implementació en aqüeductes, ponts i estructures monumentals com el Coliseu

Desenvolupaments Medievals (500-1500 dC)

L'edat mitjana va veure l'evolució de les formes d'arc, particularment:

• Arcs gòtics punxeguts que permetien espais més alts i més il·luminats
• Voltes nervades creades per arcs que s'intersequen
• Contraforts volants que contraresten la pressió exterior dels arcs

Renaixement i Períodes Barrocs (1400-1750)

Aquestes èpoques van veure un retorn a les formes clàssiques amb:

• Arcs semicirculars basats en proporcions matemàtiques precises
• Integració d'arcs en composicions arquitectòniques complexes
• Treballs teòrics sobre el disseny i càlcul d'arcs per arquitectes com Palladio

Aplicacions Modernes (1750-Present)

L'arquitectura moderna continua utilitzant arcs amb:

• Nous materials com l'acer i el formigó armat que permeten llums més llargues
• Disseny assistit per ordinador que permet càlculs d'arc complexos
• Formes innovadores que superen els límits de la geometria d'arc tradicional

Al llarg de la història, el càlcul precís de les dimensions de l'arc ha estat crucial tant per a l'estabilitat estructural com per a l'harmonia estètica.

Exemples de Codi per a Càlculs d'Arcs

Aquí teniu implementacions de les fórmules de càlcul d'arcs en diversos llenguatges de programació:

1' Funció VBA d'Excel per a Càlculs d'Arcs
2Function CalculateRise(radius As Double, span As Double) As Double
3    ' Comprovar restriccions
4    If span > 2 * radius Then
5        CalculateRise = CVErr(xlErrValue)
6    Else
7        CalculateRise = radius - Sqr(radius * radius - (span * span) / 4)
8    End If
9End Function
10
11Function CalculateRadius(span As Double, rise As Double) As Double
12    CalculateRadius = (span * span) / (8 * rise) + (rise / 2)
13End Function
14
15Function CalculateSpan(radius As Double, rise As Double) As Double
16    ' Comprovar restriccions
17    If rise > radius Then
18        CalculateSpan = CVErr(xlErrValue)
19    Else
20        CalculateSpan = 2 * Sqr(2 * radius * rise - rise * rise)
21    End If
22End Function
23
24Function CalculateArcLength(radius As Double, span As Double) As Double
25    Dim theta As Double
26    theta = 2 * Application.Asin(span / (2 * radius))
27    CalculateArcLength = radius * theta
28End Function
29

1import math
2
3def calculate_rise(radius, span):
4    """Calcular l'alçada d'un arc donat el radi i la llum."""
5    if span > 2 * radius:
6        raise ValueError("La llum no pot ser més gran que el doble del radi")
7    return radius - math.sqrt(radius**2 - (span/2)**2)
8
9def calculate_radius(span, rise):
10    """Calcular el radi d'un arc donada la llum i l'alçada."""
11    return (span**2) / (8 * rise) + (rise / 2)
12
13def calculate_span(radius, rise):
14    """Calcular la llum d'un arc donat el radi i l'alçada."""
15    if rise > radius:
16        raise ValueError("L'alçada no pot ser més gran que el radi")
17    return 2 * math.sqrt(2 * radius * rise - rise**2)
18
19def calculate_arc_length(radius, span):
20    """Calcular la longitud de l'arc d'un arc."""
21    theta = 2 * math.asin(span / (2 * radius))
22    return radius * theta
23
24def calculate_arch_area(radius, span, rise):
25    """Calcular l'àrea d'un segment d'arc."""
26    theta = 2 * math.asin(span / (2 * radius))
27    sector_area = 0.5 * radius**2 * theta
28    triangle_area = 0.5 * span * (radius - rise)
29    return sector_area - triangle_area
30

1/**
2 * Calcular l'alçada d'un arc donat el radi i la llum
3 */
4function calculateRise(radius, span) {
5  if (span > 2 * radius) {
6    throw new Error("La llum no pot ser més gran que el doble del radi");
7  }
8  return radius - Math.sqrt(radius**2 - (span/2)**2);
9}
10
11/**
12 * Calcular el radi d'un arc donada la llum i l'alçada
13 */
14function calculateRadius(span, rise) {
15  return (span**2) / (8 * rise) + (rise / 2);
16}
17
18/**
19 * Calcular la llum d'un arc donat el radi i l'alçada
20 */
21function calculateSpan(radius, rise) {
22  if (rise > radius) {
23    throw new Error("L'alçada no pot ser més gran que el radi");
24  }
25  return 2 * Math.sqrt(2 * radius * rise - rise**2);
26}
27
28/**
29 * Calcular la longitud de l'arc d'un arc
30 */
31function calculateArcLength(radius, span) {
32  const theta = 2 * Math.asin(span / (2 * radius));
33  return radius * theta;
34}
35
36/**
37 * Calcular l'àrea d'un segment d'arc
38 */
39function calculateArchArea(radius, span, rise) {
40  const theta = 2 * Math.asin(span / (2 * radius));
41  const sectorArea = 0.5 * radius**2 * theta;
42  const triangleArea = 0.5 * span * (radius - rise);
43  return sectorArea - triangleArea;
44}
45

1public class ArchCalculator {
2    /**
3     * Calcular l'alçada d'un arc donat el radi i la llum
4     */
5    public static double calculateRise(double radius, double span) {
6        if (span > 2 * radius) {
7            throw new IllegalArgumentException("La llum no pot ser més gran que el doble del radi");
8        }
9        return radius - Math.sqrt(radius * radius - (span * span) / 4);
10    }
11    
12    /**
13     * Calcular el radi d'un arc donada la llum i l'alçada
14     */
15    public static double calculateRadius(double span, double rise) {
16        return (span * span) / (8 * rise) + (rise / 2);
17    }
18    
19    /**
20     * Calcular la llum d'un arc donat el radi i l'alçada
21     */
22    public static double calculateSpan(double radius, double rise) {
23        if (rise > radius) {
24            throw new IllegalArgumentException("L'alçada no pot ser més gran que el radi");
25        }
26        return 2 * Math.sqrt(2 * radius * rise - rise * rise);
27    }
28    
29    /**
30     * Calcular la longitud de l'arc d'un arc
31     */
32    public static double calculateArcLength(double radius, double span) {
33        double theta = 2 * Math.asin(span / (2 * radius));
34        return radius * theta;
35    }
36    
37    /**
38     * Calcular l'àrea d'un segment d'arc
39     */
40    public static double calculateArchArea(double radius, double span, double rise) {
41        double theta = 2 * Math.asin(span / (2 * radius));
42        double sectorArea = 0.5 * radius * radius * theta;
43        double triangleArea = 0.5 * span * (radius - rise);
44        return sectorArea - triangleArea;
45    }
46}
47

Exemples Pràctics

Aquí teniu alguns exemples pràctics de càlculs d'arcs per a escenaris comuns:

Exemple 1: Arc de Porta Estàndard

Donat:

• Llum: 36 polzades (3 peus)
• Alçada: 12 polzades (1 peu)

Calcular:

• Radi = (36² / (8 × 12)) + (12 / 2) = 162 / 8 + 6 = 20.25 + 6 = 26.25 polzades
• Longitud de l'Arc = 26.25 × (2 × arcsin(36 / (2 × 26.25))) = 26.25 × (2 × arcsin(0.686)) = 26.25 × (2 × 0.756) = 26.25 × 1.512 = 39.67 polzades
• Àrea de l'Arc = 0.5 × 26.25² × 1.512 - 0.5 × 36 × (26.25 - 12) = 0.5 × 689.06 × 1.512 - 0.5 × 36 × 14.25 = 521.13 - 256.5 = 264.63 polzades quadrades

Exemple 2: Arc de Jardí

Donat:

• Radi: 4 peus
• Llum: 6 peus

Calcular:

• Alçada = 4 - √(4² - (6/2)²) = 4 - √(16 - 9) = 4 - √7 = 4 - 2.65 = 1.35 peus
• Longitud de l'Arc = 4 × (2 × arcsin(6 / (2 × 4))) = 4 × (2 × arcsin(0.75)) = 4 × (2 × 0.848) = 4 × 1.696 = 6.78 peus
• Àrea de l'Arc = 0.5 × 4² × 1.696 - 0.5 × 6 × (4 - 1.35) = 0.5 × 16 × 1.696 - 0.5 × 6 × 2.65 = 13.57 - 7.95 = 5.62 peus quadrats

Exemple 3: Arc de Pont

Donat:

• Llum: 50 peus
• Alçada: 15 peus

Calcular:

• Radi = (50² / (8 × 15)) + (15 / 2) = 2500 / 120 + 7.5 = 20.83 + 7.5 = 28.33 peus
• Longitud de l'Arc = 28.33 × (2 × arcsin(50 / (2 × 28.33))) = 28.33 × (2 × arcsin(0.882)) = 28.33 × (2 × 1.078) = 28.33 × 2.156 = 61.08 peus
• Àrea de l'Arc = 0.5 × 28.33² × 2.156 - 0.5 × 50 × (28.33 - 15) = 0.5 × 802.59 × 2.156 - 0.5 × 50 × 13.33 = 865.19 - 333.25 = 531.94 peus quadrats

Preguntes Freqüents

Quina és la diferència entre alçada i altura en un arc?

L'alçada es refereix específicament a la distància vertical des de la línia de suport (la línia horitzontal que connecta els dos punts finals) fins al punt més alt de l'intrados de l'arc (corba interior). El terme altura pot referir-se a vegades a l'altura total d'una obertura amb arc, incloent qualsevol element vertical per sota de la línia de suport.

Puc utilitzar aquesta calculadora per a tots els tipus d'arcs?

Aquesta calculadora està dissenyada específicament per a arcs circulars (arcs formats a partir d'un segment d'un cercle). No proporcionarà càlculs precisos per a altres tipus d'arcs com els el·líptics, parabòlics o gòtics, que segueixen corbes matemàtiques diferents.

Quina és la relació entre la llum i el radi en un arc semicircular?

En un arc semicircular perfecte, el radi és exactament la meitat de la llum, i l'alçada és igual al radi. Això crea un semicercle on la proporció d'alçada a llum és 0.5.

Com puc determinar la proporció adequada d'alçada a llum per al meu projecte?

La proporció ideal d'alçada a llum depèn de la vostra aplicació específica:

• Els arcs estructurals solen tenir proporcions entre 0.25 i 0.5 per a una distribució òptima de càrrega
• Els arcs decoratius poden tenir proporcions més baixes (arcs més plans) o més altes (arcs més alts) basades en preferències estètiques
• Els estils històrics sovint tenen proporcions característiques (per exemple, els arcs romans solen tenir una proporció de 0.5)

Per què no pot la llum ser més gran que el doble del radi?

Aquesta és una restricció matemàtica dels arcs circulars. Quan la llum és igual al doble del radi, teniu un semicercle (meitat de cercle). És geometralment impossible crear un arc circular amb una llum més gran que el doble del seu radi.

Per què no pot l'alçada ser més gran que el radi?

L'alçada representa l'altura des de la línia de suport fins al punt més alt de l'arc. En un arc circular, aquesta distància no pot excedir el radi del cercle. Si l'alçada és igual al radi, teniu un arc semicircular.

Com puc calcular els materials necessaris per al meu arc?

Per estimar materials:

1. Calculeu la longitud de l'arc per determinar la distància corbada al llarg de l'arc
2. Multipliqueu per la profunditat (gruix) de l'arc per trobar el volum
3. Converteix a les unitats del vostre material (per exemple, nombre de maons, peus cúbics de formigó)

Quin és el tipus d'arc més fort?

L'arc catenari (que segueix la corba d'una cadena penjant) és teòricament el més fort, ja que distribueix perfectament les forces de compressió. No obstant això, els arcs circulars i parabòlics també poden ser molt forts quan es dissenyen adequadament per a les seves condicions de càrrega específiques.

Com puc crear una plantilla per construir el meu arc?

1. Calculeu el radi, la llum i l'alçada utilitzant aquesta calculadora
2. Dibuixeu l'arc en un gran paper, contraplacat o cartró utilitzant un compàs o un mètode de corda i llapis
3. Talleu la plantilla i utilitzeu-la per guiar la construcció del vostre encofrat o per posicionar elements individuals

Puc utilitzar aquesta calculadora per arcs i voltes en 3D?

Aquesta calculadora proporciona dimensions per a un perfil d'arc en 2D. Per a estructures en 3D com voltes de barril, podeu aplicar aquests càlculs a la secció transversal i després estendre el disseny al llarg de la tercera dimensió.

Referències

1. Allen, E., & Iano, J. (2019). Fundamentals of Building Construction: Materials and Methods. John Wiley & Sons.

2. Beckmann, P. (1994). Structural Aspects of Building Conservation. McGraw-Hill Education.

3. Ching, F. D. K. (2014). Building Construction Illustrated. John Wiley & Sons.

4. Fletcher, B. (1996). A History of Architecture on the Comparative Method. Architectural Press.

5. Heyman, J. (1995). The Stone Skeleton: Structural Engineering of Masonry Architecture. Cambridge University Press.

6. Salvadori, M. (1990). Why Buildings Stand Up: The Strength of Architecture. W. W. Norton & Company.

7. Sandaker, B. N., Eggen, A. P., & Cruvellier, M. R. (2019). The Structural Basis of Architecture. Routledge.

Proveu la Nostra Calculadora d'Arcs Avui

Ara que enteneu les matemàtiques i la importància de les dimensions de l'arc, proveu la nostra calculadora per obtenir mesures precises per al vostre proper projecte. Tant si dissenyeu una gran entrada, esteu restaurat una estructura històrica o creant una característica de jardí, les dimensions precises de l'arc són només a uns clics de distància.

Per a més calculadores arquitectòniques i de construcció, exploreu les nostres altres eines dissenyades per simplificar càlculs complexos i ajudar-vos a aconseguir resultats professionals.