Калькулатор на измерванията на кръга

Въведение

Кръгът е основна форма в геометрията, символизираща завършеност и симетрия. Нашият Калькулатор на измерванията на кръга ви позволява да изчислите радиуса, диаметъра, обиколката и площта на кръга, базирайки се на един известен параметър. Този инструмент е безценен за студенти, инженери, архитекти и всеки, който се интересува от разбирането на свойствата на кръговете.

Как да използвате този калькулатор

1. Изберете известния параметър:

   • Радиус
   • Диаметър
   • Обиколка
   • Площ

2. Въведете стойността:

   • Въведете числената стойност за избрания параметър.
   • Уверете се, че стойността е положително реално число.

3. Изчислете:

   • Калькулаторът ще изчисли останалите измервания на кръга.
   • Резултатите включват:
     • Радиус ($r$)
     • Диаметър ($d$)
     • Обиколка ($C$)
     • Площ ($A$)

Проверка на входните данни

Калькулаторът извършва следните проверки на потребителските входове:

• Положителни числа: Всички входове трябва да бъдат положителни реални числа.
• Валидни числови стойности: Входовете трябва да бъдат числови и да не съдържат никакви нечислови символи.

Ако бъдат открити невалидни входове, ще бъде показано съобщение за грешка и изчислението няма да продължи, докато не бъде коригирано.

Формули

Взаимоотношенията между радиуса, диаметъра, обиколката и площта на кръга са определени от следните формули:

1. Диаметър ($d$):

   $d = 2r$

2. Обиколка ($C$):

   $C = 2\pi r = \pi d$

3. Площ ($A$):

   $A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

4. Радиус ($r$) от обиколка:

   $r = \frac{C}{2\pi}$

5. Радиус ($r$) от площ:

   $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Изчисление

Ето как калькулаторът изчислява всяко измерване, базирайки се на входа:

1. Когато радиусът ($r$) е известен:

   • Диаметър: $d = 2r$
   • Обиколка: $C = 2\pi r$
   • Площ: $A = \pi r^2$

2. Когато диаметърът ($d$) е известен:

   • Радиус: $r = \frac{d}{2}$
   • Обиколка: $C = \pi d$
   • Площ: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

3. Когато обиколката ($C$) е известна:

   • Радиус: $r = \frac{C}{2\pi}$
   • Диаметър: $d = \frac{C}{\pi}$
   • Площ: $A = \pi r^2$

4. Когато площта ($A$) е известна:

   • Радиус: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
   • Диаметър: $d = 2r$
   • Обиколка: $C = 2\pi r$

Гранични случаи и обработка на входа

• Отрицателни входове:

  • Отрицателните стойности не са валидни за измервания на кръга.
  • Калькулаторът ще покаже съобщение за грешка за отрицателни входове.

• Нула като вход:

  • Нулата е валиден вход, но води до всички останали измервания да бъдат нула.
  • Физически, кръг с нулеви размери не съществува, така че въвеждането на нула служи като теоретичен случай.

• Изключително големи стойности:

  • Калькулаторът може да обработва много големи числа, ограничени от прецизността на използвания програмен език.
  • Бъдете наясно с потенциални грешки при закръгляне с изключително големи стойности.

• Не числови входове:

  • Входовете трябва да бъдат числови.
  • Всеки нечислов вход ще доведе до съобщение за грешка.

Приложения

Калькулаторът на измерванията на кръга е полезен в различни реални приложения:

1. Инженерство и архитектура:

   • Проектиране на кръгли компоненти като тръби, колела и арки.
   • Изчисляване на материални изисквания за строителни проекти, свързани с кръгли форми.

2. Производство:

   • Определяне на размерите на части и инструменти.
   • Изчисляване на пътища за рязане за CNC машини.

3. Астрономия и космически науки:

   • Изчисляване на орбитите на планетите, които често се приближават до кръгове.
   • Оценка на площта на небесни тела.

4. Всекидневен живот:

   • Планиране на кръгли градини, фонтани или кръгли маси.
   • Определяне на количеството ограда, необходимо за кръгли ограждения.

Алтернативи

Докато кръговете са основополагающи, има алтернативни форми и формули за различни приложения:

• Елипси:

  • За приложения, изискващи удължени кръгове.
  • Изчисленията включват полуосите.

• Сектори и сегменти:

  • Части от кръг.
  • Полезни за изчисляване на площи или периметри на парчета от пай.

• Правилни многоъгълници:

  • Приближения на кръгове, използващи форми като шестоъгълници или осмоъгълници.
  • Опрощава строителството и изчислението в някои инженерни контексти.

История

Изучаването на кръгове датира от древни цивилизации:

• Древна математика:

  • Вавилонците и египтяните използвали приближения за $\pi$.
  • Архимед (ок. 287–212 г. пр.н.е.) предоставил един от първите записани алгоритми за изчисляване на $\pi$, оценявайки го между $\frac{22}{7}$ и $\frac{223}{71}$.

• Развитие на $\pi$:

  • Символът $\pi$ е популяризиран от уелския математик Уилям Джоунс през 1706 г. и по-късно приет от Леонард Ойлер.
  • $\pi$ е ирационално число, представляващо отношението на обиколката на кръга към диаметъра му.

• Съвременна математика:

  • Кръгът е в центъра на развитието на тригонометрията, калкулуса и комплексния анализ.
  • Той служи като основна концепция в геометрията и математическите доказателства.

Примери

По-долу са кодови примери, демонстриращи как да се изчислят измерванията на кръга на различни програмни езици:

1## Python код за изчисляване на измерванията на кръга
2import math
3
4def calculate_circle_from_radius(radius):
5    diameter = 2 * radius
6    circumference = 2 * math.pi * radius
7    area = math.pi * radius ** 2
8    return diameter, circumference, area
9
10## Пример за използване:
11radius = 5
12d, c, a = calculate_circle_from_radius(radius)
13print(f"Радиус: {radius}")
14print(f"Диаметър: {d}")
15print(f"Обиколка: {c:.2f}")
16print(f"Площ: {a:.2f}")
17

1// JavaScript код за изчисляване на измерванията на кръга
2function calculateCircleFromDiameter(diameter) {
3  const radius = diameter / 2;
4  const circumference = Math.PI * diameter;
5  const area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
6  return { radius, circumference, area };
7}
8
9// Пример за използване:
10const diameter = 10;
11const { radius, circumference, area } = calculateCircleFromDiameter(diameter);
12console.log(`Радиус: ${radius}`);
13console.log(`Диаметър: ${diameter}`);
14console.log(`Обиколка: ${circumference.toFixed(2)}`);
15console.log(`Площ: ${area.toFixed(2)}`);
16

1// Java код за изчисляване на измерванията на кръга
2public class CircleCalculator {
3    public static void calculateCircleFromCircumference(double circumference) {
4        double radius = circumference / (2 * Math.PI);
5        double diameter = 2 * radius;
6        double area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
7
8        System.out.printf("Радиус: %.2f%n", radius);
9        System.out.printf("Диаметър: %.2f%n", diameter);
10        System.out.printf("Обиколка: %.2f%n", circumference);
11        System.out.printf("Площ: %.2f%n", area);
12    }
13
14    public static void main(String[] args) {
15        double circumference = 31.42;
16        calculateCircleFromCircumference(circumference);
17    }
18}
19

1// C# код за изчисляване на измерванията на кръга
2using System;
3
4class CircleCalculator
5{
6    static void CalculateCircleFromArea(double area)
7    {
8        double radius = Math.Sqrt(area / Math.PI);
9        double diameter = 2 * radius;
10        double circumference = 2 * Math.PI * radius;
11
12        Console.WriteLine($"Радиус: {radius:F2}");
13        Console.WriteLine($"Диаметър: {diameter:F2}");
14        Console.WriteLine($"Обиколка: {circumference:F2}");
15        Console.WriteLine($"Площ: {area:F2}");
16    }
17
18    static void Main()
19    {
20        double area = 78.54;
21        CalculateCircleFromArea(area);
22    }
23}
24

1## Ruby код за изчисляване на измерванията на кръга
2def calculate_circle_from_radius(radius)
3  diameter = 2 * radius
4  circumference = 2 * Math::PI * radius
5  area = Math::PI * radius ** 2
6  return diameter, circumference, area
7end
8
9## Пример за използване:
10radius = 5.0
11diameter, circumference, area = calculate_circle_from_radius(radius)
12puts "Радиус: #{radius}"
13puts "Диаметър: #{diameter}"
14puts "Обиколка: #{circumference.round(2)}"
15puts "Площ: #{area.round(2)}"
16

1<?php
2// PHP код за изчисляване на измерванията на кръга
3function calculateCircleFromDiameter($diameter) {
4    $radius = $diameter / 2;
5    $circumference = pi() * $diameter;
6    $area = pi() * pow($radius, 2);
7    return array($radius, $circumference, $area);
8}
9
10// Пример за използване:
11$diameter = 10.0;
12list($radius, $circumference, $area) = calculateCircleFromDiameter($diameter);
13echo "Радиус: " . $radius . "\n";
14echo "Диаметър: " . $diameter . "\n";
15echo "Обиколка: " . round($circumference, 2) . "\n";
16echo "Площ: " . round($area, 2) . "\n";
17?>
18

1// Rust код за изчисляване на измерванията на кръга
2fn calculate_circle_from_circumference(circumference: f64) -> (f64, f64, f64) {
3    let radius = circumference / (2.0 * std::f64::consts::PI);
4    let diameter = 2.0 * radius;
5    let area = std::f64::consts::PI * radius.powi(2);
6    (radius, diameter, area)
7}
8
9fn main() {
10    let circumference = 31.42;
11    let (radius, diameter, area) = calculate_circle_from_circumference(circumference);
12    println!("Радиус: {:.2}", radius);
13    println!("Диаметър: {:.2}", diameter);
14    println!("Обиколка: {:.2}", circumference);
15    println!("Площ: {:.2}", area);
16}
17

1// Go код за изчисляване на измерванията на кръга
2package main
3
4import (
5    "fmt"
6    "math"
7)
8
9func calculateCircleFromArea(area float64) (radius, diameter, circumference float64) {
10    radius = math.Sqrt(area / math.Pi)
11    diameter = 2 * radius
12    circumference = 2 * math.Pi * radius
13    return
14}
15
16func main() {
17    area := 78.54
18    radius, diameter, circumference := calculateCircleFromArea(area)
19    fmt.Printf("Радиус: %.2f\n", radius)
20    fmt.Printf("Диаметър: %.2f\n", diameter)
21    fmt.Printf("Обиколка: %.2f\n", circumference)
22    fmt.Printf("Площ: %.2f\n", area)
23}
24

1// Swift код за изчисляване на измерванията на кръга
2import Foundation
3
4func calculateCircleFromRadius(radius: Double) -> (diameter: Double, circumference: Double, area: Double) {
5    let diameter = 2 * radius
6    let circumference = 2 * Double.pi * radius
7    let area = Double.pi * pow(radius, 2)
8    return (diameter, circumference, area)
9}
10
11// Пример за използване:
12let radius = 5.0
13let results = calculateCircleFromRadius(radius: radius)
14print("Радиус: \(radius)")
15print("Диаметър: \(results.diameter)")
16print("Обиколка: \(String(format: "%.2f", results.circumference))")
17print("Площ: \(String(format: "%.2f", results.area))")
18

1% MATLAB код за изчисляване на измерванията на кръга
2function [radius, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius)
3    diameter = 2 * radius;
4    circumference = 2 * pi * radius;
5    area = pi * radius^2;
6end
7
8% Пример за използване:
9radius = 5;
10[~, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius);
11fprintf('Радиус: %.2f\n', radius);
12fprintf('Диаметър: %.2f\n', diameter);
13fprintf('Обиколка: %.2f\n', circumference);
14fprintf('Площ: %.2f\n', area);
15

1' Excel формула за изчисляване на измерванията на кръга от радиус
2' Предполага се, че радиусът е в клетка A1
3Диаметър: =2*A1
4Обиколка: =2*PI()*A1
5Площ: =PI()*A1^2
6

Числени примери

1. Даден радиус (( r = 5 ) единици):

   • Диаметър: ( d = 2 \times 5 = 10 ) единици
   • Обиколка: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) единици
   • Площ: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) квадратни единици

2. Даден диаметър (( d = 10 ) единици):

   • Радиус: ( r = \frac{10}{2} = 5 ) единици
   • Обиколка: ( C = \pi \times 10 \approx 31.42 ) единици
   • Площ: ( A = \frac{\pi \times 10^2}{4} \approx 78.54 ) квадратни единици

3. Дадена обиколка (( C = 31.42 ) единици):

   • Радиус: ( r = \frac{31.42}{2\pi} \approx 5 ) единици
   • Диаметър: ( d = 2 \times 5 = 10 ) единици
   • Площ: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) квадратни единици

4. Дадена площ (( A = 78.54 ) квадратни единици):

   • Радиус: ( r = \sqrt{\frac{78.54}{\pi}} \approx 5 ) единици
   • Диаметър: ( d = 2 \times 5 = 10 ) единици
   • Обиколка: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) единици

Диаграми

По-долу е диаграма на кръг, илюстрираща радиуса (( r )), диаметъра (( d )), обиколката (( C )) и площта (( A )).

Фигура: Диаграма на кръг, илюстрираща радиуса (( r )), диаметъра (( d )), обиколката (( C )) и площта (( A )).

Референции

1. "Кръг." Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/Circle.html.
2. "Обиколка и площ на кръг." Khan Academy, https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles.
3. Бекман, Петър. История на ( \pi ). St. Martin's Press, 1971.
4. Архимед. Измерване на кръг, https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf.