ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ

ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

ಪರಿಚಯ

ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿ ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮೂಲಧನ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಗಳಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ಮೇಲೆ ಬಡ್ಡಿ ಗಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್, ಪ್ರಾಥಮಿಕ, ಬಡ್ಡಿ ದರ, ಸಂಯೋಜನೆ ಹಾರಿಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮಯಾವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ನಂತರ ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರ

ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ಸೂತ್ರ:

$A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}$

ಇಲ್ಲಿ:

• A ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ
• P ಪ್ರಾಥಮಿಕ (ಆರಂಭಿಕ ಹೂಡಿಕೆ)
• r ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ (ದಶಮಲವ ರೂಪದಲ್ಲಿ)
• n ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಬಡ್ಡಿ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
• t ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯ

ನಿರಂತರ ಸಂಯೋಜನೆಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರ ಹೀಗಿದೆ:

$A = Pe^{rt}$

ಇಲ್ಲಿ e ಅಂದರೆ 2.71828 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಗಣಿತೀಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ.

ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಕೆದಾರನ ನಿಖರವಾದ ಮಾಹಿತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಂತ ಹೀಗಿದೆ:

1. ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರವನ್ನು ದಶಮಲವಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5% 0.05 ಆಗುತ್ತದೆ)
2. ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಹಾರಿಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಬಡ್ಡಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅವಧಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (n)
3. ಒಟ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅವಧಿಗಳನ್ನು (nt) ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
4. ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ
5. ನಾಣ್ಯ ಪ್ರತಿನಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ವೃತ್ತೀಕರಿಸಿ

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿ ಪಡಿಸಲು ಡಬಲ್-ಪ್ರಿಸಿಷನ್ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ಬಳಕೆದಾರರ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹಣಕಾಸು ಮತ್ತು ಹೂಡಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳು ಇವೆ:

1. ಉಳಿತಾಯ ಖಾತೆಗಳು: ಬಡ್ಡಿ ದರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ ಹಾರಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉಳಿತಾಯದ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲು.

2. ಹೂಡಿಕೆ ಯೋಜನೆ: ನಿವೃತ್ತಿಯಂತಹ ದೀರ್ಘಕಾಲೀನ ಹಣಕಾಸು ಗುರಿಗಳನ್ನು ಯೋಜಿಸಲು ಹೂಡಿಕೆಗಳ ಭವಿಷ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಮಾಡಲು.

3. ಸಾಲ ಪಾವತಿ: ಸಾಲಗಳ, ಬಂಗಲಾ ಸಾಲಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರು ಸಾಲಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

4. ಕ್ರೆಡಿಟ್ ಕಾರ್ಡ್ ಬಾಕಿ: ಕೇವಲ ಕನಿಷ್ಠ ಪಾವತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ ಕ್ರೆಡಿಟ್ ಕಾರ್ಡ್ ಬಾಕಿಯ ವೇಗದ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.

5. ನಿವೃತ್ತಿ ಖಾತೆಗಳು: 401(k), IRA ಮತ್ತು ಇತರ ನಿವೃತ್ತಿ ಉಳಿತಾಯ ವಾಹನಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಅನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿಡಿ.

6. ವ್ಯಾಪಾರ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿ: ಹಣಕಾಸು ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ವರದಿಗಾಗಿ ಹೂಡಿಕೆಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಕಿಗಳ ಭವಿಷ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಮಾಡಲು.

ಪರ್ಯಾಯಗಳು

ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯು ಶಕ್ತಿಯುತ ತತ್ವವಾಗಿದ್ದರೂ, ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ಹಣಕಾಸು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿವೆ:

1. ಸರಳ ಬಡ್ಡಿ: ಬಡ್ಡಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಗ್ರಹಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ.

2. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಾರ್ಷಿಕ ದರ (EAR): ವಾರ್ಷಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬಡ್ಡಿ ದರಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆ ಹಾರಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುತ್ತದೆ.

3. ವಾರ್ಷಿಕ ಶೇಕಡಾವಾರು ಉಳಿತಾಯ (APY): EAR ಗೆ ಸಮಾನ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಠೇವಣಿ ಖಾತೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಆಂತರಿಕ ದರದ ಹಿಂತಿರುಗು (IRR): ಸಾಧ್ಯವಾದ ಹೂಡಿಕೆಗಳ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಶುದ್ಧ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯ (NPV): ಭವಿಷ್ಯದ ಹಣದ ಹರಿವಿನ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುತ್ತದೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ತತ್ವವು ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಬಾಬಿಲೋನಿಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು 2000 BCE ರಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಪುನರುಜ್ಜೀವನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸುಧಾರಿತವಾಗುತ್ತವೆ.

16ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಜ್ಞ ಸಿಮಾನ್ ಸ್ಟೆವಿನ್ ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ನೀಡಿದರು. 17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ನಾಪಿಯರ್ ಅವರ ಲಾಗಾರಿದ್ರುವಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ.

Industrial Revolution ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾಂಕಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದಾಗ, ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯು ಆರ್ಥಿಕ ತತ್ವ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಿತು. 20ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಉದಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರಿಗೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಾಯಿತು, ಹೆಚ್ಚು ಸುಧಾರಿತ ಹಣಕಾಸು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಹೂಡಿಕೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.

ಇಂದು, ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿ ಆಧುನಿಕ ಹಣಕಾಸಿನ ಹೃದಯಭೂತವಾಗಿದೆ, ವೈಯಕ್ತಿಕ ಉಳಿತಾಯದಿಂದ ಜಾಗತಿಕ ಆರ್ಥಿಕ ನೀತಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಇಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಕೆಲವು ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

' Excel VBA ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿ
Function CompoundInterest(principal As Double, rate As Double, time As Double, frequency As Integer) As Double
    CompoundInterest = principal * (1 + rate / frequency) ^ (frequency * time)
End Function
' ಬಳಸುವುದು:
' =CompoundInterest(1000, 0.05, 10, 12)

import math

def compound_interest(principal, rate, time, frequency):
    return principal * (1 + rate / frequency) ** (frequency * time)

## ಉದಾಹರಣೆ ಬಳಸುವುದು:
principal = 1000  # ಡಾಲರ್
rate = 0.05  # 5% ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ
time = 10  # ವರ್ಷಗಳು
frequency = 12  # ತಿಂಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ

final_amount = compound_interest(principal, rate, time, frequency)
print(f"ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ: ${final_amount:.2f}")

function compoundInterest(principal, rate, time, frequency) {
  return principal * Math.pow(1 + rate / frequency, frequency * time);
}

// ಉದಾಹರಣೆ ಬಳಸುವುದು:
const principal = 1000; // ಡಾಲರ್
const rate = 0.05; // 5% ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ
const time = 10; // ವರ್ಷಗಳು
const frequency = 12; // ತಿಂಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ

const finalAmount = compoundInterest(principal, rate, time, frequency);
console.log(`ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ: $${finalAmount.toFixed(2)}`);

public class CompoundInterestCalculator {
    public static double compoundInterest(double principal, double rate, double time, int frequency) {
        return principal * Math.pow(1 + rate / frequency, frequency * time);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double principal = 1000; // ಡಾಲರ್
        double rate = 0.05; // 5% ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ
        double time = 10; // ವರ್ಷಗಳು
        int frequency = 12; // ತಿಂಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ

        double finalAmount = compoundInterest(principal, rate, time, frequency);
        System.out.printf("ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ: $%.2f%n", finalAmount);
    }
}

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ನೀವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಗತ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಹಣಕಾಸು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಒಗ್ಗೂಡಿಸಲು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1. ಮೂಲಭೂತ ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿ:

   • ಪ್ರಾಥಮಿಕ: $1,000
   • ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ: 5%
   • ಸಮಯ: 10 ವರ್ಷಗಳು
   • ಸಂಯೋಜನೆ ಹಾರಿಕೆ: ವಾರ್ಷಿಕ
   • ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ: $1,628.89

2. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಹಾರಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮ:

   • ಪ್ರಾಥಮಿಕ: $1,000
   • ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ: 5%
   • ಸಮಯ: 10 ವರ್ಷಗಳು
   • ಸಂಯೋಜನೆ ಹಾರಿಕೆ: ತಿಂಗಳು
   • ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ: $1,647.01

3. ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಡ್ಡಿ ದರದ ದೃಶ್ಯ:

   • ಪ್ರಾಥಮಿಕ: $1,000
   • ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ: 20%
   • ಸಮಯ: 10 ವರ್ಷಗಳು
   • ಸಂಯೋಜನೆ ಹಾರಿಕೆ: ವಾರ್ಷಿಕ
   • ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ: $6,191.74

4. ದೀರ್ಘಕಾಲೀನ ಹೂಡಿಕೆ:

   • ಪ್ರಾಥಮಿಕ: $10,000
   • ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ: 7%
   • ಸಮಯ: 30 ವರ್ಷಗಳು
   • ಸಂಯೋಜನೆ ಹಾರಿಕೆ: ತ್ರೈಮಾಸಿಕ
   • ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ: $85,749.93

5. ನಿರಂತರ ಸಂಯೋಜನೆ:

   • ಪ್ರಾಥಮಿಕ: $1,000
   • ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರ: 5%
   • ಸಮಯ: 10 ವರ್ಷಗಳು
   • ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ: $1,648.72

72ರ ನಿಯಮ

72ರ ನಿಯಮವು ಕೊಟ್ಟ ಬಡ್ಡಿ ದರದಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆಯನ್ನು ಡಬಲ್ ಮಾಡಲು ಎಷ್ಟು ಕಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲು ಸುಲಭ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರವನ್ನು 72 ರೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿದರೆ, ಹೂಡಿಕೆಯನ್ನು ಡಬಲ್ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂದಾಜಿತ ವರ್ಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 6% ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರದಲ್ಲಿ: 72 / 6 = 12 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆಯನ್ನು ಡಬಲ್ ಮಾಡಲು

ಈ ನಿಯಮವು 6% ಮತ್ತು 10% ನಡುವಿನ ಬಡ್ಡಿ ದರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ.

ಬಂಡವಾಳದ ಪರಿಣಾಮ

ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಹಣದ ಖರೀದಿ ಶಕ್ತೆಯನ್ನು ಕಾಲಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಬಂಡವಾಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿಖರ ಬಡ್ಡಿ ದರ, ಇದು ನಾಮಮಾತ್ರ ಬಡ್ಡಿ ದರದಿಂದ ಬಂಡವಾಳ ದರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಖರೀದಿ ಶಕ್ತಿಯ ವಾಸ್ತವ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಮಮಾತ್ರ ಬಡ್ಡಿ ದರ 5% ಮತ್ತು ಬಂಡವಾಳ 2% ಇದ್ದರೆ, ನಿಖರ ಬಡ್ಡಿ ದರ 3% ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಬಂಡವಾಳ ಬಡ್ಡಿ ದರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇದ್ದರೆ, ನಿಖರ ಬಡ್ಡಿ ದರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ನಾಮಮಾತ್ರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾದರೂ ಹೂಡಿಕೆಯ ಖರೀದಿ ಶಕ್ತಿ ಕಾಲಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಆಗುತ್ತಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

1. "ಸಂಯೋಜಿತ ಬಡ್ಡಿ." Investopedia, https://www.investopedia.com/terms/c/compoundinterest.asp. 2 ಆಗಸ್ಟ್ 2024 ರಂದು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.
2. "72ರ ನಿಯಮ: ಹೂಡಿಕೆಯನ್ನು ಡಬಲ್ ಮಾಡಲು ಬೇಕಾದ ಸಮಯವನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲು." Corporate Finance Institute, https://corporatefinanceinstitute.com/resources/knowledge/finance/rule-of-72/. 2 ಆಗಸ್ಟ್ 2024 ರಂದು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.
3. "ಬಡ್ಡಿಯ ಇತಿಹಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ." Federal Reserve Bank of St. Louis, https://www.stlouisfed.org/publications/regional-economist/april-2013/a-brief-history-of-interest. 2 ಆಗಸ್ಟ್ 2024 ರಂದು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.