Kono tūrio skaičiuoklė

Kūgio tūrio skaičiuoklė

Įvadas

Kūgio tūrio skaičiuoklė yra įrankis, skirtas nustatyti tiek pilnų kūgių, tiek nukirstų kūgių tūrį. Kūgis yra trimatis geometrinis objektas su apvaliu pagrindu, kuris siaurėja iki taško, vadinamo viršūne. Nukirstas kūgis yra kūgio dalis, kuri lieka, kai viršutinė dalis yra nupjauta lygiagrečiai pagrindui.

Formulė

Pilno kūgio tūris

Pilno kūgio tūris (V) apskaičiuojamas pagal formulę:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Kur:

• r yra pagrindo spindulys
• h yra kūgio aukštis

Nukirto kūgio tūris

Nukirto kūgio tūris (V) apskaičiuojamas naudojant formulę:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)$

Kur:

• R yra apatinio pagrindo spindulys
• r yra viršutinio pagrindo spindulys
• h yra nukirto kūgio aukštis

Skaičiavimas

Skaičiuoklė atlieka šiuos žingsnius tūriui apskaičiuoti:

1. Pilnam kūgiui: a. Apskaičiuoti spindulio kvadratą (r^2) b. Padauginti iš pi (π) c. Padauginti iš aukščio (h) d. Rezultatą padalinti iš 3

2. Nukirtam kūgiui: a. Apskaičiuoti abiejų spindulių kvadratus (R^2 ir r^2) b. Apskaičiuoti spindulių produktą (Rr) c. Sudėti žingsnio a ir b rezultatus d. Padauginti iš pi (π) e. Padauginti iš aukščio (h) f. Rezultatą padalinti iš 3

Skaičiuoklė naudoja dvigubo tikslumo plūduriuojančią skaičių aritmetiką, kad užtikrintų tikslumą.

Kraštinės atvejai ir apsvarstymai

• Labai mažos dimensijos: Skaičiuoklė išlaiko tikslumą mažoms vertėms, tačiau rezultatai gali būti rodomi mokslinėje notacijoje.
• Labai didelės dimensijos: Skaičiuoklė gali apdoroti dideles vertes iki dvigubo tikslumo plūduriuojančių skaičių ribų.
• Nukirto aukštis, lygus arba didesnis už pilną aukštį: Tokiu atveju skaičiuoklė grąžina pilno kūgio tūrį.
• Neigiamos įvesties vertės: Skaičiuoklė rodo klaidos pranešimą dėl neigiamų įvesties verčių, nes kūgio dimensijos turi būti teigiamos.
• Nulinis spindulys arba aukštis: Skaičiuoklė grąžina nulį šiems atvejams.

Naudojimo atvejai

Kūgio tūrio skaičiavimai turi įvairių taikymų moksle, inžinerijoje ir kasdieniame gyvenime:

1. Pramoninis dizainas: Kūgiškų talpyklų, piltuvų ar filtrų tūrio skaičiavimas.

2. Architektūra: Kūgiškų stogų ar dekoratyvinių elementų tūrio nustatymas.

3. Geologija: Vulcaninių kūgių ar kūgiškų uolienų tūrio vertinimas.

4. Maisto pramonė: Ledų kūgių ar kūgiškų maisto talpyklų tūrio matavimas.

5. Astronomija: Kūgiškų kosminės erdvės komponentų ar dangaus kūnų tūrio skaičiavimas.

Alternatyvos

Nors kūgio tūris yra svarbus kūgiškų formų atveju, yra ir kitų susijusių matavimų, kurie tam tikrose situacijose gali būti tinkamesni:

1. Cilindro tūris: Cilindriniams objektams be siaurėjimo.

2. Piramidės tūris: Objektams su daugiasienio pagrindu, kurie siaurėja iki taško.

3. Sferos tūris: Tobuloms apvalios formos objektams.

4. Paviršiaus plotas: Kai išorinis kūgio paviršius yra svarbesnis nei tūris.

Istorija

Kūgio tūrio skaičiavimo koncepcija siekia senovės civilizacijas. Senovės egiptiečiai ir babiloniečiai turėjo tam tikrą supratimą apie kūgiškų tūrių, tačiau didelių pažangų šioje srityje padarė senovės graikai.

Demokritas (apie 460-370 m. pr. m. e.) yra priskiriamas pirmam nustatymui, kad kūgio tūris yra trečdalis cilindro, turinčio tą patį pagrindą ir aukštį, tūrio. Tačiau Eudoksas iš Knidų (apie 408-355 m. pr. m. e.) pateikė pirmą nuoseklų šios santykio įrodymą, naudodamas išsekimo metodą.

Archimedas (apie 287-212 m. pr. m. e.) vėliau patobulino ir išplėtė šias koncepcijas savo darbe "Apie kūgius ir sferoidus", kur jis taip pat nagrinėjo nukirstų kūgių tūrius.

Šiuolaikiniame laikotarpyje, XVII amžiuje, Newtono ir Leibnizo sukurta kalkuliacija suteikė naujų priemonių kūgio tūriams suprasti ir apskaičiuoti, kas lėmė formules, kurias naudojame šiandien.

Pavyzdžiai

Štai keletas kodo pavyzdžių, kaip apskaičiuoti kūgių tūrį:

import math

def cone_volume(radius, height):
    return (1/3) * math.pi * radius**2 * height

def truncated_cone_volume(radius1, radius2, height):
    return (1/3) * math.pi * height * (radius1**2 + radius2**2 + radius1*radius2)

## Pavyzdžio naudojimas:
full_cone_volume = cone_volume(3, 4)
truncated_cone_volume = truncated_cone_volume(3, 2, 4)

print(f"Pilno kūgio tūris: {full_cone_volume:.2f} kubinių vienetų")
print(f"Nukirto kūgio tūris: {truncated_cone_volume:.2f} kubinių vienetų")

function coneVolume(radius, height) {
  return (1/3) * Math.PI * Math.pow(radius, 2) * height;
}

function truncatedConeVolume(radius1, radius2, height) {
  return (1/3) * Math.PI * height * (Math.pow(radius1, 2) + Math.pow(radius2, 2) + radius1 * radius2);
}

// Pavyzdžio naudojimas:
const fullConeVolume = coneVolume(3, 4);
const truncatedConeVolume = truncatedConeVolume(3, 2, 4);

console.log(`Pilno kūgio tūris: ${fullConeVolume.toFixed(2)} kubinių vienetų`);
console.log(`Nukirto kūgio tūris: ${truncatedConeVolume.toFixed(2)} kubinių vienetų`);

public class ConeVolumeCalculator {
    public static double coneVolume(double radius, double height) {
        return (1.0/3.0) * Math.PI * Math.pow(radius, 2) * height;
    }

    public static double truncatedConeVolume(double radius1, double radius2, double height) {
        return (1.0/3.0) * Math.PI * height * (Math.pow(radius1, 2) + Math.pow(radius2, 2) + radius1 * radius2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double fullConeVolume = coneVolume(3, 4);
        double truncatedConeVolume = truncatedConeVolume(3, 2, 4);

        System.out.printf("Pilno kūgio tūris: %.2f kubinių vienetų%n", fullConeVolume);
        System.out.printf("Nukirto kūgio tūris: %.2f kubinių vienetų%n", truncatedConeVolume);
    }
}

Skaičiuojamieji pavyzdžiai

1. Pilnas kūgis:

   • Spindulys (r) = 3 vienetai
   • Aukštis (h) = 4 vienetai
   • Tūris = 37.70 kubinių vienetų

2. Nukirstas kūgis:

   • Apatinis spindulys (R) = 3 vienetai
   • Viršutinis spindulys (r) = 2 vienetai
   • Aukštis (h) = 4 vienetai
   • Tūris = 71.21 kubinių vienetų

3. Kraštinis atvejis: Nulinis spindulys

   • Spindulys (r) = 0 vienetų
   • Aukštis (h) = 5 vienetai
   • Tūris = 0 kubinių vienetų

4. Kraštinis atvejis: Nukirto aukštis lygus pilnam aukščiui

   • Apatinis spindulys (R) = 3 vienetai
   • Viršutinis spindulys (r) = 0 vienetų (tampa pilnu kūgiu)
   • Aukštis (h) = 4 vienetai
   • Tūris = 37.70 kubinių vienetų (tas pats kaip pilno kūgio)

Nuorodos

1. Weisstein, Eric W. "Kūgis." Iš MathWorld--Wolfram interneto išteklius. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Stapel, Elizabeth. "Kūgių, cilindrų ir sferų tūriai." Purplemath. https://www.purplemath.com/modules/volume3.htm
3. Mastin, Luke. "Senovės Graikų matematika." Matematikos istorija. https://www.mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Greek_sources_2/
4. Archimedas. "Apie kūgius ir sferoidus." Archimedo darbai. Cambridge University Press, 1897.