கோணத்தின் அளவைக் கணக்கீட்டாளர்

கோன் அளவீட்டு கணக்கீட்டாளர்

அறிமுகம்

கோன் அளவீட்டு கணக்கீட்டாளர் என்பது முழு கோன்கள் மற்றும் வெட்டிய கோன்களின் அளவீட்டை நிர்ணயிக்க வடிவமைக்கப்பட்ட ஒரு கருவி. கோன் என்பது ஒரு சுற்று அடிப்படையுடன் கூடிய மூன்றாம் பரிமாண வடிவமாகும், இது ஒரு புள்ளிக்கு, அதாவது உச்சிக்கு, குறுகியதாகிறது. வெட்டிய கோன் என்பது அடிப்படைக்கு சமமாகக் கீறப்பட்ட மேல் பகுதி வெட்டப்படும் போது மீதமுள்ள கோனின் ஒரு பகுதி ஆகும்.

சூத்திரம்

முழு கோன் அளவு

முழு கோனின் அளவு (V) கீழ்காணும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

எங்கு:

• r என்பது அடிப்படையின் கதிர்
• h என்பது கோனின் உயரம்

வெட்டிய கோன் அளவு

வெட்டிய கோனின் அளவு (V) கீழ்காணும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு செய்யப்படுகிறது:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)$

எங்கு:

• R என்பது கீழ் அடிப்படையின் கதிர்
• r என்பது மேலே அடிப்படையின் கதிர்
• h என்பது வெட்டிய கோனின் உயரம்

கணக்கீடு

அளவீட்டு கணக்கீட்டாளர் அளவை கணக்கீடு செய்ய பின்வரும் படிகளை மேற்கொள்கிறது:

1. முழு கோனுக்கு: a. கதிரை (r^2) சதுரமாக்கவும் b. பை (π) மூலம் பெருக்கவும் c. உயரத்தை (h) மூலம் பெருக்கவும் d. முடிவை 3-ஆல் வகுக்கவும்

2. வெட்டிய கோனுக்கு: a. இரு கதிர்களையும் (R^2 மற்றும் r^2) சதுரமாக்கவும் b. கதிர்களின் பெருக்கத்தை (Rr) கணக்கீடு செய்யவும் c. படி a மற்றும் b இன் முடிவுகளை கூட்டவும் d. பை (π) மூலம் பெருக்கவும் e. உயரத்தை (h) மூலம் பெருக்கவும் f. முடிவை 3-ஆல் வகுக்கவும்

அளவீட்டு கணக்கீட்டாளர் துல்லியத்தை உறுதி செய்ய இரட்டை-துல்லிய மிதமான புள்ளி கணக்கீட்டை பயன்படுத்துகிறது.

எல்லை வழக்குகள் மற்றும் கருத்துக்கள்

• மிகவும் சிறிய அளவுகள்: கணக்கீட்டாளர் சிறிய மதிப்புகளுக்கான துல்லியத்தை பராமரிக்கிறது, ஆனால் முடிவுகள் அறிவியல் குறியீட்டில் காணப்படலாம்.
• மிகவும் பெரிய அளவுகள்: கணக்கீட்டாளர் இரட்டை-துல்லிய மிதமான புள்ளி எண்களின் எல்லைகளை மீறாமல் பெரிய மதிப்புகளை கையாள முடியும்.
• வெட்டிய உயரம் முழு உயரத்திற்கேற்ப அல்லது அதற்கு மேல்: இந்த சந்தர்ப்பத்தில், கணக்கீட்டாளர் முழு கோனின் அளவைக் கொடுக்கிறது.
• எதிர்மறை உள்ளீட்டு மதிப்புகள்: எதிர்மறை உள்ளீடுகளுக்கான பிழைச் செய்தியை கணக்கீட்டாளர் காட்டு, ஏனெனில் கோன் அளவுகள் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்.
• பூஜ்ய கதிர் அல்லது உயரம்: இந்த சந்தர்ப்பங்களில், கணக்கீட்டாளர் பூஜ்யம் அளவைக் கொடுக்கிறது.

பயன்பாட்டு வழக்குகள்

கோன் அளவீட்டின் கணக்கீடுகள் அறிவியல், பொறியியல் மற்றும் தினசரி வாழ்க்கையில் பல பயன்பாடுகள் உள்ளன:

1. தொழில்துறை வடிவமைப்பு: கோனியல் கொண்டெய்னர்கள், குழாய்கள் அல்லது வடிகட்டிகள் போன்றவற்றின் அளவுகளை கணக்கீடு செய்ய.

2. கட்டிடக்கலை: கோனியல் கூரை அல்லது அலங்கார உருப்படிகளின் அளவுகளை நிர்ணயிக்க.

3. பூமியியல்: வெள்ளை கோன்கள் அல்லது கோனியல் கல் வடிவங்களின் அளவுகளை மதிப்பீடு செய்ய.

4. உணவு தொழில்: ஐஸ் க்ரீம் கோன்கள் அல்லது கோனியல் உணவுப் பொருட்களின் அளவுகளை அளவிட.

5. விண்வெளி: கோனியல் விண்வெளி வாகனப் பகுதிகள் அல்லது விண்மீன் உடல்களின் அளவுகளை கணக்கீடு செய்ய.

மாற்றுகள்

கோன் அளவீடு கோனியல் வடிவங்களுக்கு முக்கியமானது, ஆனால் சில சந்தர்ப்பங்களில் மற்ற தொடர்புடைய அளவீடுகள் அதிக பொருத்தமானதாக இருக்கலாம்:

1. சிலிண்டர் அளவு: குறுகிய வடிவமில்லாத சிலிண்டருக்கான அளவுகள்.

2. பyramிட் அளவு: புள்ளி நோக்கி குறுகிய பன்முக அடிப்படையுடன் கூடிய பொருட்களுக்கு.

3. குண்டு அளவு: முற்றிலும் சுற்றுப்பாதை உள்ள பொருட்களுக்கு.

4. மேற்பரப்பு பரப்பளவு: கோனின் வெளிப்புற மேற்பரப்பின் அளவு அதன் அளவுக்கு அதிக முக்கியத்துவம் உள்ள போது.

வரலாறு

கோன் அளவீட்டின் கருத்து பண்டைய நாகரிகங்களுக்கு திரும்புகிறது. பண்டைய எகிப்தியர்கள் மற்றும் பாபிலோனியர்களுக்கு கோனியல் அளவுகள் பற்றிய சில புரிதல்கள் இருந்தன, ஆனால் பண்டைய கிரேக்கர்கள் இந்த துறையில் முக்கிய முன்னேற்றங்களை செய்தனர்.

டெமோகிரிடஸ் (கி.மு. 460-370) முழு கோனின் அளவு அதன் அடிப்படையும் உயரமும் ஒரே மாதிரியான சிலிண்டரின் அளவின் மூன்றில் ஒன்றாக இருப்பதாக முதலில் நிர்ணயித்தார். எனினும், எயுடோகஸ் ஆஃப் க்னிடஸ் (கி.மு. 408-355) இந்த உறவின் முதல் கடுமையான சான்று வழங்கினார், இது அழுத்தத்தின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறது.

ஆர்கிமிடீஸ் (கி.மு. 287-212) பிறகு இந்த கருத்துக்களை மேலும் மேம்படுத்தினார் மற்றும் விரிவாக்கினார், "கோனாய்கள் மற்றும் குண்டுகள்" என்ற அவரது வேலைவில், அவர் வெட்டிய கோன்களின் அளவுகளைப் பற்றியும் பேசினார்.

இன்றைய காலத்தில், நியூட்டன் மற்றும் லெய்ப்னிட்ஸ் 17வது நூற்றாண்டில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி, கோன் அளவுகளைப் புரிந்துகொள்ளவும் கணக்கீடு செய்யவும் புதிய கருவிகளை வழங்கியது, இது நாங்கள் இன்று பயன்படுத்தும் சூத்திரங்களுக்கு வழிவகுத்தது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

கோன் அளவுகளை கணக்கீடு செய்ய சில குறியீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள்:

import math

def cone_volume(radius, height):
    return (1/3) * math.pi * radius**2 * height

def truncated_cone_volume(radius1, radius2, height):
    return (1/3) * math.pi * height * (radius1**2 + radius2**2 + radius1*radius2)

## எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
full_cone_volume = cone_volume(3, 4)
truncated_cone_volume = truncated_cone_volume(3, 2, 4)

print(f"முழு கோன் அளவு: {full_cone_volume:.2f} கியூபிக் யூனிட்கள்")
print(f"வெட்டிய கோன் அளவு: {truncated_cone_volume:.2f} கியூபிக் யூனிட்கள்")

function coneVolume(radius, height) {
  return (1/3) * Math.PI * Math.pow(radius, 2) * height;
}

function truncatedConeVolume(radius1, radius2, height) {
  return (1/3) * Math.PI * height * (Math.pow(radius1, 2) + Math.pow(radius2, 2) + radius1 * radius2);
}

// எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
const fullConeVolume = coneVolume(3, 4);
const truncatedConeVolume = truncatedConeVolume(3, 2, 4);

console.log(`முழு கோன் அளவு: ${fullConeVolume.toFixed(2)} கியூபிக் யூனிட்கள்`);
console.log(`வெட்டிய கோன் அளவு: ${truncatedConeVolume.toFixed(2)} கியூபிக் யூனிட்கள்`);

public class ConeVolumeCalculator {
    public static double coneVolume(double radius, double height) {
        return (1.0/3.0) * Math.PI * Math.pow(radius, 2) * height;
    }

    public static double truncatedConeVolume(double radius1, double radius2, double height) {
        return (1.0/3.0) * Math.PI * height * (Math.pow(radius1, 2) + Math.pow(radius2, 2) + radius1 * radius2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double fullConeVolume = coneVolume(3, 4);
        double truncatedConeVolume = truncatedConeVolume(3, 2, 4);

        System.out.printf("முழு கோன் அளவு: %.2f கியூபிக் யூனிட்கள்%n", fullConeVolume);
        System.out.printf("வெட்டிய கோன் அளவு: %.2f கியூபிக் யூனிட்கள்%n", truncatedConeVolume);
    }
}

எண்ணியல் எடுத்துக்காட்டுகள்

1. முழு கோன்:

   • கதிர் (r) = 3 யூனிட்கள்
   • உயரம் (h) = 4 யூனிட்கள்
   • அளவு = 37.70 கியூபிக் யூனிட்கள்

2. வெட்டிய கோன்:

   • கீழ் கதிர் (R) = 3 யூனிட்கள்
   • மேலே கதிர் (r) = 2 யூனிட்கள்
   • உயரம் (h) = 4 யூனிட்கள்
   • அளவு = 71.21 கியூபிக் யூனிட்கள்

3. எல்லை வழக்கு: பூஜ்ய கதிர்

   • கதிர் (r) = 0 யூனிட்கள்
   • உயரம் (h) = 5 யூனிட்கள்
   • அளவு = 0 கியூபிக் யூனிட்கள்

4. எல்லை வழக்கு: வெட்டிய உயரம் முழு உயரத்திற்கு சமம்

   • கீழ் கதிர் (R) = 3 யூனிட்கள்
   • மேலே கதிர் (r) = 0 யூனிட்கள் (முழு கோனாக மாறுகிறது)
   • உயரம் (h) = 4 யூனிட்கள்
   • அளவு = 37.70 கியூபிக் யூனிட்கள் (முழு கோனுக்கேற்ப ஒரே மாதிரி)

மேற்கோள்கள்

1. வைஸ்டைன், எரிக் வி. "கோன்." MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. ஸ்டேபிள், எலிசபெத். "கோன்கள், சிலிண்டர்கள் மற்றும் குண்டுகளின் அளவுகள்." பர்ப்பிள்மாத். https://www.purplemath.com/modules/volume3.htm
3. மாஸ்டின், லூக். "பண்டைய கிரேக்க கணிதம்." கணித வரலாறு. https://www.mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Greek_sources_2/
4. ஆர்கிமிடீஸ். "கோனாய்கள் மற்றும் குண்டுகள்." ஆர்கிமிடீசின் வேலைகள். கேம்பிரிட் பல்கலைக்கழகம், 1897.