حاسبة الأقسام المخروطية: استكشف الأنواع وخصائصها

آلة حاسبة للأقسام المخروطية

مقدمة

من خلال قطع مخروط بواسطة مستوى، يمكنك الحصول على العديد من المنحنيات المثيرة للاهتمام المعروفة باسم الأقسام المخروطية. وتشمل الدائرة والقطع الناقص والقطع المكافئ والفرطبيعي. الأقسام المخروطية أساسية في الرياضيات وتظهر في مجالات متنوعة مثل علم الفلك والفيزياء والهندسة والعمارة.

تتيح لك آلة حاسبة للأقسام المخروطية استكشاف هذه المنحنيات الرائعة من خلال حساب الانحراف واشتقاق معادلاتها القياسية بناءً على معلمات الإدخال الخاصة بك. انغمس في عالم الأقسام المخروطية واكتشف خصائصها الفريدة وتطبيقاتها.

كيفية استخدام هذه الآلة الحاسبة

اختر نوع القسم المخروطي:
- دائرة
- قطع ناقص
- قطع مكافئ
- فرطبيعي
أدخل المعلمات المطلوبة:
- دائرة: أدخل نصف القطر ( $r$ ).
- قطع ناقص: أدخل نصف المحور الرئيسي ( $a$ ) ونصف المحور الثانوي ( $b$ ).
- قطع مكافئ: أدخل طول البؤرة ( $f$ ).
- فرطبيعي: أدخل المحور الطولي ( $a$ ) والمحور المرافق ( $b$ ).
انقر على "احسب" لحساب:
- الانحراف ( $e$ ).
- المعادلة القياسية للقسم المخروطي.
- تمثيل بصري للمنحنى.
راجع النتائج المعروضة أسفل الآلة الحاسبة.

التحقق من المدخلات

تقوم الآلة الحاسبة بإجراء الفحوصات التالية على مدخلات المستخدم:

قيم موجبة: يجب أن تكون جميع معلمات الإدخال أعداد حقيقية موجبة.
قيود القطع الناقص:
- يجب أن يكون نصف المحور الرئيسي ( $a$ ) أكبر من أو يساوي نصف المحور الثانوي ( $b$ ).
قيود الفرطبيعي:
- يجب أن يكون المحور الطولي ( $a$ ) أكبر من المحور المرافق ( $b$ ).

إذا تم تقديم مدخلات غير صالحة، سيتم عرض رسالة خطأ، وستتوقف الحسابات حتى يتم إدخال مدخلات صالحة.

الصيغة

الـ انحراف ( $e$ ) هو معلمة رئيسية تحدد شكل القسم المخروطي، مشيرة إلى مدى انحرافه عن كونه دائريًا.

دائرة

الانحراف: $e = 0$
المعادلة القياسية: $x^2 + y^2 = r^2$
الوصف: الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص حيث تتطابق النقاط البؤرية في المركز، مما يؤدي إلى انحراف يساوي صفر.

قطع ناقص

الانحراف: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
المعادلة القياسية: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
المعلمات:
- $a$ : نصف المحور الرئيسي (أطول نصف قطر).
- $b$ : نصف المحور الثانوي (أقصر نصف قطر).
الوصف: القطع الناقص هو شكل بيضاوي حيث يكون مجموع المسافات من أي نقطة على المنحنى إلى نقطتين بؤريتين ثابتًا.

قطع مكافئ

الانحراف: $e = 1$
المعادلة القياسية (يفتح نحو اليمين): $y^2 = 4 f x$
المعلمات:
- $f$ : طول البؤرة (المسافة من الرأس إلى البؤرة).
الوصف: القطع المكافئ هو منحنى طائرة متماثل يتكون من تقاطع مخروط مع مستوى موازٍ لجانبه.

فرطبيعي

الانحراف: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
المعادلة القياسية: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
المعلمات:
- $a$ : المحور الطولي (المسافة من المركز إلى رأس على طول المحور السيني).
- $b$ : المحور المرافق (مرتبط بالمسافة بين الأسيمتوتات).
الوصف: يتكون الفرطبيعي من منحنيين منفصلين يُطلق عليهما الفروع، والفرق في المسافات من أي نقطة على المنحنى إلى نقطتين بؤريتين ثابت.

الحساب

إليك كيفية حساب الآلة الحاسبة للانحراف والمعادلات:

بالنسبة للدائرة:
- الانحراف: $e = 0$ .
- المعادلة: $x^2 + y^2 = r^2$ .
بالنسبة للقطع الناقص:
- التحقق: $a \geq b$ .
- الانحراف: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- المعادلة: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
بالنسبة للقطع المكافئ:
- الانحراف: $e = 1$ .
- المعادلة: $y^2 = 4 f x$
بالنسبة للفرطبيعي:
- التحقق: $a > b$ .
- الانحراف: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- المعادلة: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

الحالات الحدية:

القطع الناقص يصبح دائرة: عندما $a = b$ ، يبسط القطع الناقص إلى دائرة مع $e = 0$ .
المدخلات غير الصالحة:
- القيم السالبة أو الصفر غير صالحة.
- بالنسبة للقطع الناقص والفرطبيعي، إذا كان $b > a$ ، لا يمكن متابعة الحسابات.

الوحدات والدقة

الوحدات: الوحدات تعسفية ولكن يجب أن تكون متسقة (مثل: جميعها بالمتر، السنتيمتر).
الدقة:
- تستخدم الحسابات حسابات عددية مزدوجة الدقة.
- يتم عرض الانحراف حتى أربع منازل عشرية.
- تحافظ المعادلات على نفس دقة معلمات الإدخال.

حالات الاستخدام

تتمتع الأقسام المخروطية بتطبيقات واسعة النطاق:

علم الفلك:
- المدارات الكوكبية هي قطع ناقصة، مع الشمس في أحد البؤر.
- مسارات المذنبات يمكن أن تكون قطع مكافئة أو فرطبيعية.
الفيزياء:
- المرايا القطعية تركز الضوء والأمواج الصوتية.
- تصف المسارات الفرطبيعية حركات معينة للجسيمات.
الهندسة:
- تصميم الأطباق الفضائية والتلسكوبات باستخدام الأشكال القطعية.
- أبراج التبريد الفرطبيعية في محطات الطاقة من أجل الكفاءة الهيكلية.
العمارة:
- الأقواس القطعية في الجسور والمباني لجاذبية جمالية وقوة.
- المنحنيات القطعية في الجسور المعلقة.
البصريات:
- أشكال العدسات المستندة إلى الأقسام المخروطية لتصحيح الشذوذ البصري.

البدائل

قد يتم اعتبار منحنيات وأشكال أخرى اعتمادًا على التطبيق:

الأشكال الدائرية: حسابات أبسط عندما لا تكون دقة الأقسام المخروطية مطلوبة.
منحنيات سبلاين: تستخدم في الرسوم البيانية الحاسوبية لأشكال معقدة.
منحنيات بيزير: تستخدم في التصميم والرسوم المتحركة لمنحنيات سلسة وقابلة للتوسع.

التاريخ

تعود استكشافات الأقسام المخروطية إلى أكثر من ألفي عام:

ميناخمس (حوالي 350 قبل الميلاد): وصف لأول مرة الأقسام المخروطية أثناء محاولته حل مشكلة تكرار المكعب.
إقليدس وأرخميدس: درسوا مزيدًا من خصائص الأقسام المخروطية.
أبولونيوس من بيرغا (حوالي 200 قبل الميلاد): المعروف باسم "الهندسي العظيم"، كتب العمل الأساسي "الأقسام المخروطية"، الذي وضع الأساس لدراسة الأقسام المخروطية.
يوهانس كيبلر (القرن السابع عشر): اكتشف أن الكواكب تتحرك في مدارات قطع ناقص، صاغ قوانينه الثلاثة للحركة الكوكبية.
إسحاق نيوتن: استخدم الأقسام المخروطية في قانون الجاذبية العامة لوصف الحركات السماوية.

لقد لعبت الأقسام المخروطية دورًا محوريًا في تقدم الرياضيات والفيزياء والهندسة، مما أثر على التكنولوجيات الحديثة وفهم العلوم.

أمثلة

Excel (VBA)

1' دالة VBA لحساب الانحراف لفرطبيعي
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' الاستخدام في Excel:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

بايثون

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("معلمات غير صالحة: تأكد من أن a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## مثال على الاستخدام:
10a = 5.0  # نصف المحور الرئيسي
11b = 3.0  # نصف المحور الثانوي
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"الانحراف للقطع الناقص: {ecc:.4f}")
14

جافا سكريبت

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("معلمات غير صالحة: يجب أن يكون a >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// مثال على الاستخدام:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`الانحراف: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

ماتلاب

1% سكربت MATLAB لحساب الانحراف لقطع مكافئ
2% بالنسبة للقطع المكافئ، يكون الانحراف دائمًا 1
3e = 1;
4fprintf('الانحراف للقطع المكافئ: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"الانحراف للقطع المكافئ: {eccentricity}");
14    }
15}
16

جافا

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("الانحراف للدائرة: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

راست

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("معلمات غير صالحة: يجب أن يكون a > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("الانحراف: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("خطأ: {}", e),
15    }
16}
17

أمثلة عددية

دائرة:
- نصف القطر ( $r$ ): 5 وحدات
- الانحراف ( $e$ ): $0$
- المعادلة: $x^2 + y^2 = 25$
قطع ناقص:
- نصف المحور الرئيسي ( $a$ ): 5 وحدات
- نصف المحور الثانوي ( $b$ ): 3 وحدات
- الانحراف ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- المعادلة: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
قطع مكافئ:
- طول البؤرة ( $f$ ): 2 وحدات
- الانحراف ( $e$ ): $1$
- المعادلة: $y^2 = 8 x$
فرطبيعي:
- المحور الطولي ( $a$ ): 5 وحدات
- المحور المرافق ( $b$ ): 3 وحدات
- الانحراف ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- المعادلة: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

حاسبة الأقسام المخروطية: استكشف الأنواع وخصائصها

قطاع مخروطي

الوثائق