Kalkulačka pro výpočet kuželoseček a jejich vlastností

Kalkulačka kuželoseček

Úvod

Pouhým řezáním kužele rovinou můžete získat mnoho zajímavých křivek známých jako kuželosečky. Ty zahrnují kruh, elipsu, parabolu a hyperbolu. Kuželosečky jsou základními prvky matematiky a objevují se v různých oblastech, jako je astronomie, fyzika, inženýrství a architektura.

Naše kalkulačka kuželoseček vám umožňuje prozkoumat tyto fascinující křivky tím, že vypočítává jejich excentricitu a odvozuje jejich standardní rovnice na základě vašich vstupních parametrů. Ponořte se do světa kuželoseček a objevte jejich jedinečné vlastnosti a aplikace.

Jak používat tuto kalkulačku

Vyberte typ kuželosečky:
- Kruh
- Elipsa
- Parabola
- Hyperbola
Zadejte požadované parametry:
- Kruh: Zadejte poloměr ( $r$ ).
- Elipsa: Zadejte poloměr velké osy ( $a$ ) a poloměr malé osy ( $b$ ).
- Parabola: Zadejte ohniskovou vzdálenost ( $f$ ).
- Hyperbola: Zadejte transverzální osu ( $a$ ) a konjugátní osu ( $b$ ).
Klikněte na "Vypočítat" pro výpočet:
- Excentricity ( $e$ ).
- Standardní rovnice kuželosečky.
- Vizuální reprezentaci křivky.
Zkontrolujte výsledky zobrazené pod kalkulačkou.

Ověření vstupů

Kalkulačka provádí následující kontroly na uživatelských vstupech:

Pozitivní hodnoty: Všechny vstupní parametry musí být kladná reálná čísla.
Omezení elipsy:
- Poloměr velké osy ( $a$ ) musí být větší nebo roven poloměru malé osy ( $b$ ).
Omezení hyperboly:
- Transverzální osa ( $a$ ) musí být větší než konjugátní osa ( $b$ ).

Pokud jsou poskytnuty neplatné vstupy, zobrazí se chybová zpráva a výpočty budou zastaveny, dokud nebudou zadány platné vstupy.

Vzorec

Excentricita ( $e$ ) je klíčovým parametrem, který definuje tvar kuželosečky a ukazuje, jak moc se odchyluje od kruhu.

Kruh

Excentricita: $e = 0$
Standardní rovnice: $x^2 + y^2 = r^2$
Popis: Kruh je zvláštní případ elipsy, kde se ohniska shodují ve středu, což má za následek nulovou excentricitu.

Elipsa

Excentricita: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Standardní rovnice: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Parametry:
- $a$ : Poloměr velké osy (nejdelší poloměr).
- $b$ : Poloměr malé osy (nejkratší poloměr).
Popis: Elipsa je oválný tvar, kde součet vzdáleností jakéhokoli bodu na křivce k dvěma ohniskům je konstantní.

Parabola

Excentricita: $e = 1$
Standardní rovnice (otevřená doprava): $y^2 = 4 f x$
Parametry:
- $f$ : Ohnisková vzdálenost (vzdálenost od vrcholu k ohnisku).
Popis: Parabola je symetrická otevřená rovinná křivka vytvořená průnikem kužele s rovinou rovnoběžnou s jeho stranou.

Hyperbola

Excentricita: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Standardní rovnice: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Parametry:
- $a$ : Transverzální osa (vzdálenost od středu k vrcholu podél osy x).
- $b$ : Konjugátní osa (vztahující se k vzdálenosti mezi asymptotami).
Popis: Hyperbola se skládá ze dvou oddělených křivek nazývaných větve a rozdíl vzdáleností jakéhokoli bodu na křivce k dvěma ohniskům je konstantní.

Výpočet

Zde je, jak kalkulačka počítá excentricitu a rovnice:

Pro kruh:
- Excentricita: $e = 0$ .
- Rovnice: $x^2 + y^2 = r^2$ .
Pro elipsu:
- Kontrola: $a \geq b$ .
- Excentricita: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Rovnice: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Pro parabolu:
- Excentricita: $e = 1$ .
- Rovnice: $y^2 = 4 f x$
Pro hyperbolu:
- Kontrola: $a > b$ .
- Excentricita: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Rovnice: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Okrajové případy:

Elipsa se stává kruhem: Když $a = b$ , elipsa se zjednoduší na kruh s $e = 0$ .
Neplatné vstupy:
- Negativní nebo nulové hodnoty jsou neplatné.
- U elips a hyperbol, pokud $b > a$ , výpočty nemohou pokračovat.

Jednotky a přesnost

Jednotky: Jednotky jsou libovolné, ale musí být konzistentní (např. všechny v metrech, centimetrech).
Přesnost:
- Výpočty používají aritmetiku s dvojitou přesností.
- Excentricita je zobrazena až na čtyři desetinná místa.
- Rovnice si udržují stejnou přesnost jako vstupní parametry.

Případové studie

Kuželosečky mají široké uplatnění:

Astronomie:
- Planetární orbity jsou eliptické, se sluncem v jednom ohnisku.
- Dráhy komet mohou být parabolické nebo hyperbolické.
Fyzika:
- Parabolické zrcadla zaostřují světlo a zvukové vlny.
- Hyperbolické trajektorie popisují určité pohyby částic.
Inženýrství:
- Navrhování satelitních antén a dalekohledů využívajících parabolické tvary.
- Hyperbolické chladicí věže v elektrárnách pro strukturální efektivitu.
Architektura:
- Eliptické oblouky v mostech a budovách pro estetickou přitažlivost a sílu.
- Parabolické křivky v visutých mostech.
Optika:
- Tvary čoček založené na kuželosečkách pro korekci optických aberací.

Alternativy

Jiné křivky a tvary mohou být zvažovány v závislosti na aplikaci:

Kruhové tvary: Jednodušší výpočty, když není vyžadována přesnost kuželoseček.
Spline křivky: Používají se v počítačové grafice pro složité tvary.
Bezierovy křivky: Používají se v designu a animaci pro hladké, škálovatelné křivky.

Historie

Průzkum kuželoseček sahá více než dvě tisíciletí zpět:

Menaechmus (asi 350 př. n. l.): První popsal kuželosečky při pokusu vyřešit problém zdvojení krychle.
Eukleidés a Archimédés: Další studovali vlastnosti kuželoseček.
Apollonius z Pergy (asi 200 př. n. l.): Známý jako "Velký geometr", napsal zásadní dílo "Kuželosečky", které položilo základy studia kuželoseček.
Johannes Kepler (17. století): Objevil, že planety se pohybují po eliptických orbitách a formuloval své tři zákony planetárního pohybu.
Isaac Newton: Použil kuželosečky ve svém zákonu univerzální gravitace k popisu nebeských pohybů.

Kuželosečky hrály klíčovou roli v pokroku matematiky, fyziky a inženýrství, ovlivňující moderní technologie a vědecké porozumění.

Příklady

Excel (VBA)

1' VBA funkce pro výpočet excentricity hyperboly
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' Použití v Excelu:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

Python

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("Neplatné parametry: Zajistěte, aby a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## Příklad použití:
10a = 5.0  # Poloměr velké osy
11b = 3.0  # Poloměr malé osy
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"Excentricita elipsy: {ecc:.4f}")
14

JavaScript

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("Neplatné parametry: a musí být >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// Příklad použití:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`Excentricita: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% MATLAB skript pro výpočet excentricity paraboly
2% Pro parabolu je excentricita vždy 1
3e = 1;
4fprintf('Excentricita paraboly: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"Excentricita paraboly: {eccentricity}");
14    }
15}
16

Java

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("Excentricita kruhu: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

Rust

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("Neplatné parametry: a musí být > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("Excentricita: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("Chyba: {}", e),
15    }
16}
17

Číselné příklady

Kruh:
- Poloměr ( $r$ ): 5 jednotek
- Excentricita ( $e$ ): $0$
- Rovnice: $x^2 + y^2 = 25$
Elipsa:
- Poloměr velké osy ( $a$ ): 5 jednotek
- Poloměr malé osy ( $b$ ): 3 jednotky
- Excentricita ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- Rovnice: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
Parabola:
- Ohnisková vzdálenost ( $f$ ): 2 jednotky
- Excentricita ( $e$ ): $1$
- Rovnice: $y^2 = 8 x$
Hyperbola:
- Transverzální osa ( $a$ ): 5 jednotek
- Konjugátní osa ( $b$ ): 3 jednotky
- Excentricita ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- Rovnice: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

Kalkulačka pro výpočet kuželoseček a jejich vlastností

Kónická sekce

Dokumentace