ماشین‌حساب مقاطع مخروطی و محاسبه بیضوی بودن آن‌ها

ماشین حساب مقاطع مخروطی

مقدمه

با برش یک مخروط با یک صفحه، می‌توانید بسیاری از منحنی‌های جالبی را به‌دست آورید که به‌عنوان مقاطع مخروطی شناخته می‌شوند. این‌ها شامل دایره، بیضی، پاراولا و هایپربولا هستند. مقاطع مخروطی در ریاضیات بنیادی هستند و در زمینه‌های مختلفی مانند نجوم، فیزیک، مهندسی و معماری ظاهر می‌شوند.

ماشین حساب مقاطع مخروطی ما به شما این امکان را می‌دهد که با محاسبه انحراف و استخراج معادلات استاندارد آن‌ها بر اساس پارامترهای ورودی شما، این منحنی‌های جذاب را کشف کنید. به دنیای مقاطع مخروطی وارد شوید و خواص و کاربردهای منحصر به فرد آن‌ها را کشف کنید.

نحوه استفاده از این ماشین حساب

نوع مقطع مخروطی را انتخاب کنید:
- دایره
- بیضی
- پاراولا
- هایپربولا
پارامترهای مورد نیاز را وارد کنید:
- دایره: شعاع ( $r$ ) را وارد کنید.
- بیضی: نیم‌محور بزرگ ( $a$ ) و نیم‌محور کوچک ( $b$ ) را وارد کنید.
- پاراولا: طول کانونی ( $f$ ) را وارد کنید.
- هایپربولا: محور انتقالی ( $a$ ) و محور مزدوج ( $b$ ) را وارد کنید.
روی "محاسبه" کلیک کنید تا محاسبه شود:
- انحراف ( $e$ ).
- معادله استاندارد مقطع مخروطی.
- نمایش بصری منحنی.
نتایج را که در زیر ماشین حساب نمایش داده می‌شود، مرور کنید.

اعتبارسنجی ورودی

ماشین حساب بررسی‌های زیر را بر روی ورودی‌های کاربر انجام می‌دهد:

مقادیر مثبت: همه پارامترهای ورودی باید اعداد حقیقی مثبت باشند.
محدودیت‌های بیضی:
- نیم‌محور بزرگ ( $a$ ) باید بزرگتر یا برابر با نیم‌محور کوچک ( $b$ ) باشد.
محدودیت‌های هایپربولا:
- محور انتقالی ( $a$ ) باید بزرگتر از محور مزدوج ( $b$ ) باشد.

اگر ورودی‌های نامعتبر ارائه شود، یک پیام خطا نمایش داده می‌شود و محاسبات تا زمانی که ورودی‌های معتبر وارد نشود، متوقف خواهد شد.

فرمول

انحراف ( $e$ ) یک پارامتر کلیدی است که شکل یک مقطع مخروطی را تعریف می‌کند و نشان می‌دهد که چقدر از دایره بودن منحرف شده است.

دایره

انحراف: $e = 0$
معادله استاندارد: $x^2 + y^2 = r^2$
توضیح: یک دایره یک حالت خاص از بیضی است که در آن نقاط کانونی در مرکز هم‌پوشانی دارند و نتیجه آن انحراف صفر است.

بیضی

انحراف: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
معادله استاندارد: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
پارامترها:
- $a$ : نیم‌محور بزرگ (بزرگترین شعاع).
- $b$ : نیم‌محور کوچک (کوچکترین شعاع).
توضیح: یک بیضی یک شکل بیضوی است که در آن مجموع فاصله‌ها از هر نقطه روی منحنی به دو نقطه کانونی ثابت است.

پاراولا

انحراف: $e = 1$
معادله استاندارد (باز شدن به سمت راست): $y^2 = 4 f x$
پارامترها:
- $f$ : طول کانونی (فاصله از راس تا کانون).
توضیح: یک پاراولا یک منحنی باز متقارن است که با برش یک مخروط با یک صفحه موازی به سمت آن شکل می‌گیرد.

هایپربولا

انحراف: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
معادله استاندارد: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
پارامترها:
- $a$ : محور انتقالی (فاصله از مرکز تا یک راس در طول محور x).
- $b$ : محور مزدوج (مربوط به فاصله بین تقارن‌ها).
توضیح: یک هایپربولا شامل دو منحنی جداگانه به نام شاخه‌ها است و تفاوت فاصله‌ها از هر نقطه روی منحنی به دو نقطه کانونی ثابت است.

محاسبه

نحوه محاسبه انحراف و معادلات توسط ماشین حساب به این صورت است:

برای دایره:
- انحراف: $e = 0$ .
- معادله: $x^2 + y^2 = r^2$ .
برای بیضی:
- بررسی: $a \geq b$ .
- انحراف: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- معادله: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
برای پاراولا:
- انحراف: $e = 1$ .
- معادله: $y^2 = 4 f x$
برای هایپربولا:
- بررسی: $a > b$ .
- انحراف: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- معادله: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

حالت‌های خاص:

بیضی به دایره تبدیل می‌شود: زمانی که $a = b$ ، بیضی به دایره‌ای با $e = 0$ ساده می‌شود.
ورودی‌های نامعتبر:
- مقادیر منفی یا صفر نامعتبر هستند.
- برای بیضی‌ها و هایپربولاها، اگر $b > a$ ، محاسبات نمی‌توانند ادامه یابند.

واحدها و دقت

واحدها: واحدها دلخواه هستند اما باید سازگار باشند (مثلاً همه در متر، سانتی‌متر).
دقت:
- محاسبات از حساب شناور با دقت دوگانه استفاده می‌کنند.
- انحراف تا چهار رقم اعشار نمایش داده می‌شود.
- معادلات همان دقت را به عنوان پارامترهای ورودی حفظ می‌کنند.

موارد استفاده

مقاطع مخروطی کاربردهای گسترده‌ای دارند:

نجوم:
- مدار سیارات بیضوی هستند، با خورشید در یکی از کانون‌ها.
- مسیرهای دنباله‌دار می‌توانند پارابولیک یا هایپربولیک باشند.
فیزیک:
- آینه‌های پارابولیک نور و امواج صوتی را متمرکز می‌کنند.
- مسیرهای هایپربولیک توصیف‌کننده حرکات خاص ذرات هستند.
مهندسی:
- طراحی دیش‌های ماهواره‌ای و تلسکوپ‌ها با استفاده از اشکال پارابولیک.
- برج‌های خنک‌کننده هایپربولیک در نیروگاه‌ها برای کارایی ساختاری.
معماری:
- قوس‌های بیضوی در پل‌ها و ساختمان‌ها برای جذابیت و استحکام.
- منحنی‌های پارابولیک در پل‌های معلق.
اپتیک:
- اشکال لنز بر اساس مقاطع مخروطی برای اصلاح ناهنجاری‌های اپتیکی.

گزینه‌های دیگر

ممکن است بسته به کاربرد، منحنی‌ها و اشکال دیگری نیز در نظر گرفته شوند:

اشکال دایره‌ای: محاسبات ساده‌تر زمانی که دقت مقاطع مخروطی مورد نیاز نیست.
منحنی‌های اسپلاین: در گرافیک کامپیوتری برای اشکال پیچیده استفاده می‌شوند.
منحنی‌های بزیه: در طراحی و انیمیشن برای منحنی‌های نرم و مقیاس‌پذیر به کار می‌روند.

تاریخچه

کاوش در مقاطع مخروطی به بیش از دو هزاره پیش برمی‌گردد:

منخسماس (حدود ۳۵۰ قبل از میلاد): اولین بار مقاطع مخروطی را توصیف کرد در حالی که سعی در حل مشکل دو برابر کردن مکعب داشت.
اوکید و آرشمیدس: خواص مقاطع مخروطی را بیشتر مطالعه کردند.
آپولونیوس از پرگا (حدود ۲۰۰ قبل از میلاد): به عنوان "هندسه‌دان بزرگ" شناخته می‌شود، او اثر مهم "مقاطع مخروطی" را نوشت که پایه‌گذار مطالعه مقاطع مخروطی بود.
یوهانس کپلر (قرن ۱۷): کشف کرد که سیارات در مدارهای بیضوی حرکت می‌کنند و سه قانون حرکت سیاره‌ای خود را فرمول‌بندی کرد.
آیزاک نیوتن: از مقاطع مخروطی در قانون جاذبه عمومی خود برای توصیف حرکات آسمانی استفاده کرد.

مقاطع مخروطی نقش محوری در پیشرفت ریاضیات، فیزیک و مهندسی ایفا کرده و بر فناوری‌های مدرن و درک علمی تأثیر گذاشته‌اند.

مثال‌ها

اکسل (VBA)

1' تابع VBA برای محاسبه انحراف یک هایپربولا
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' استفاده در اکسل:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

پایتون

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("پارامترهای نامعتبر: اطمینان حاصل کنید که a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## استفاده مثال:
10a = 5.0  # نیم‌محور بزرگ
11b = 3.0  # نیم‌محور کوچک
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"انحراف بیضی: {ecc:.4f}")
14

جاوااسکریپت

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("پارامترهای نامعتبر: a باید >= b > 0 باشد");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// استفاده مثال:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`انحراف: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

متلب

1% اسکریپت متلب برای محاسبه انحراف یک پارابولا
2% برای یک پارابولا، انحراف همیشه 1 است
3e = 1;
4fprintf('انحراف پارابولا: %.4f\n', e);
5

سی#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"انحراف یک پارابولا: {eccentricity}");
14    }
15}
16

جاوا

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("انحراف یک دایره: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

راست

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("پارامترهای نامعتبر: a باید > b > 0 باشد")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("انحراف: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("خطا: {}", e),
15    }
16}
17

مثال‌های عددی

دایره:
- شعاع ( $r$ ): 5 واحد
- انحراف ( $e$ ): $0$
- معادله: $x^2 + y^2 = 25$
بیضی:
- نیم‌محور بزرگ ( $a$ ): 5 واحد
- نیم‌محور کوچک ( $b$ ): 3 واحد
- انحراف ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- معادله: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
پاراولا:
- طول کانونی ( $f$ ): 2 واحد
- انحراف ( $e$ ): $1$
- معادله: $y^2 = 8 x$
هایپربولا:
- محور انتقالی ( $a$ ): 5 واحد
- محور مزدوج ( $b$ ): 3 واحد
- انحراف ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- معادله: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

ماشین‌حساب مقاطع مخروطی و محاسبه بیضوی بودن آن‌ها

مقطع مخروطی

مستندات