מחשבון קוניקות - חישוב סוגי קוניקות ואקצנטריות

מחשבון קוניקיות

מבוא

רק על ידי חיתוך חרוט עם מישור, ניתן לקבל הרבה עקומות מעניינות הידועות בשם קוניקיות. אלה כוללות את המעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה. קוניקיות הן יסודיות במתמטיקה ומופיעות בתחומים שונים כמו אסטרונומיה, פיזיקה, הנדסה ואדריכלות.

המחשבון שלנו לקוניקיות מאפשר לך לחקור את העקומות המרתקות הללו על ידי חישוב האקסצנטריות שלהן והפקת המשוואות הסטנדרטיות שלהן בהתבסס על פרמטרי הקלט שלך. צלול לעולם הקוניקיות וגלה את המאפיינים הייחודיים שלהן ואת היישומים שלהן.

כיצד להשתמש במחשבון זה

בחר את סוג הקוניקיה:
- מעגל
- אליפסה
- פרבולה
- היפרבולה
הזן את הפרמטרים הנדרשים:
- מעגל: הזן את הרדיוס ( $r$ ).
- אליפסה: הזן את הציר הראשי ( $a$ ) ואת הציר המשני ( $b$ ).
- פרבולה: הזן את האורך הפוקלי ( $f$ ).
- היפרבולה: הזן את הציר ההטרוס ( $a$ ) ואת הציר הקונjugate ( $b$ ).
לחץ על "חשב" כדי לחשב:
- את האקסצנטריות ( $e$ ).
- את המשוואה הסטנדרטית של הקוניקיה.
- ייצוג חזותי של העקומה.
סקור את התוצאות המוצגות מתחת למחשבון.

אימות קלט

המחשבון מבצע את הבדיקות הבאות על קלטי המשתמש:

ערכים חיוביים: כל פרמטרי הקלט חייבים להיות מספרים ממשיים חיוביים.
מגבלות אליפסה:
- הציר הראשי ( $a$ ) חייב להיות גדול או שווה לציר המשני ( $b$ ).
מגבלות היפרבולה:
- הציר ההטרוס ( $a$ ) חייב להיות גדול מהציר הקונjugate ( $b$ ).

אם ניתנים קלטים לא תקינים, תוצג הודעת שגיאה, והחישובים יופסקו עד שיינתנו קלטים תקינים.

נוסחה

האקסצנטריות ( $e$ ) היא פרמטר מפתח המגדיר את צורת הקוניקיה, ומצביעה על כמה היא שונה מעיגול.

מעגל

אקסצנטריות: $e = 0$
משוואה סטנדרטית: $x^2 + y^2 = r^2$
תיאור: מעגל הוא מקרה מיוחד של אליפסה שבו הנקודות הפוקליות מתמזגות במרכז, מה שמוביל לאקסצנטריות אפסית.

אליפסה

אקסצנטריות: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
משוואה סטנדרטית: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
פרמטרים:
- $a$ : ציר ראשי (הרדיוס הארוך ביותר).
- $b$ : ציר משני (הרדיוס הקצר ביותר).
תיאור: אליפסה היא צורת ביצה שבה סכום המרחקים מכל נקודה על העקומה לשתי נקודות פוקליות הוא קבוע.

פרבולה

אקסצנטריות: $e = 1$
משוואה סטנדרטית (נפתחת ימינה): $y^2 = 4 f x$
פרמטרים:
- $f$ : אורך פוקלי (מרחק מה vertex לפוקוס).
תיאור: פרבולה היא עקומה סימטרית פתוחה הנוצרת על ידי חיתוך חרוט עם מישור המקביל לצד שלו.

היפרבולה

אקסצנטריות: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
משוואה סטנדרטית: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
פרמטרים:
- $a$ : ציר הטרוס (מרחק מהמרכז לvertex לאורך ציר ה-x).
- $b$ : ציר קונjugate (קשור למרחק בין האסימפטוטות).
תיאור: היפרבולה מורכבת משתי עקומות נפרדות הנקראות סניפים, וההפרש של המרחקים מכל נקודה על העקומה לשתי נקודות פוקליות הוא קבוע.

חישוב

כך המחשבון מחשב את האקסצנטריות והמשוואות:

למעגל:
- אקסצנטריות: $e = 0$ .
- משוואה: $x^2 + y^2 = r^2$ .
לאליפסה:
- בדוק: $a \geq b$ .
- אקסצנטריות: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- משוואה: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
לפרבולה:
- אקסצנטריות: $e = 1$ .
- משוואה: $y^2 = 4 f x$
להיפרבולה:
- בדוק: $a > b$ .
- אקסצנטריות: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- משוואה: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

מקרי קצה:

אליפסה הופכת למעגל: כאשר $a = b$ , האליפסה מתפשטת למעגל עם $e = 0$ .
קלטים לא תקינים:
- ערכים שליליים או אפס הם לא תקינים.
- עבור אליפסות והיפרבולות, אם $b > a$ , החישובים לא יכולים להתקדם.

יחידות ודיוק

יחידות: יחידות הן שרירותיות אך חייבות להיות עקביות (למשל, כולן במטרים, סנטימטרים).
דיוק:
- חישובים משתמשים באריתמטיקה של נקודה צפה כפולה.
- אקסצנטריות מוצגת עד ארבע ספרות עשרוניות.
- המשוואות שומרות על אותו דיוק כמו פרמטרי הקלט.

שימושים

לקוניקיות יש יישומים רחבים:

אסטרונומיה:
- מסלולי כוכבי לכת הם אליפטיים, עם השמש באחת הפוקליות.
- מסלולי קומטים יכולים להיות פרבוליים או היפרבוליים.
פיזיקה:
- מראות פרבוליות ממקדות אור וגלי קול.
- מסלולים היפרבוליים מתארים תנועות של חלקיקים מסוימים.
הנדסה:
- תכנון אנטנות לווייניות ומטלסקופים המשתמשים בצורות פרבוליות.
- מגדלי קירור היפרבוליים בתחנות כוח עבור יעילות מבנית.
אדריכלות:
- קשתות אליפטיות בגשרים ובבניינים עבור מראה אסתטי וחוזק.
- עקומות פרבוליות בגשרים תלויים.
אופטיקה:
- צורות עדשות המבוססות על קוניקיות לתיקון סטיות אופטיות.

חלופות

עקומות וצורות אחרות עשויות להתחשב בהתאם ליישום:

צורות מעגליות: חישובים פשוטים יותר כאשר דיוק הקוניקיות אינו נדרש.
עקומות ספלין: משמשות בגרפיקה ממוחשבת עבור צורות מורכבות.
עקומות בזייר: משמשות בעיצוב ואנימציה עבור עקומות חלקות וניתנות להרחבה.

היסטוריה

החקירה של קוניקיות מתארכת למעלה משני אלפים שנה:

מניאכמוס (סביבות 350 לפני הספירה): תיאר לראשונה קוניקיות תוך כדי ניסיון לפתור את בעיית הכפלת הקוביה.
אוקלידס וארכימדס: חקרו עוד את המאפיינים של קוניקיות.
אפולוניוס מפרגה (סביבות 200 לפני הספירה): ידוע כ"גיאומטר הגדול", הוא כתב את העבודה המהותית "קוניקות", שהניחה את היסודות לחקר הקוניקיות.
יוהנס קפלר (המאה ה-17): גילה שכוכבי לכת נעים במסלולים אליפטיים, והניח את שלושת חוקי התנועה הפלנטרית שלו.
אייזק ניוטון: השתמש בקוניקיות בחוק הכבידה האוניברסלית שלו כדי לתאר תנועות שמימיות.

קוניקיות שיחקו תפקיד מרכזי בהתקדמות המתמטיקה, הפיזיקה וההנדסה, והשפיעו על טכנולוגיות מודרניות והבנה מדעית.

דוגמאות

Excel (VBA)

1' פונקציית VBA לחישוב אקסצנטריות של היפרבולה
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' שימוש ב-Excel:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

Python

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("פרמטרים לא תקינים: ודא ש-a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## דוגמת שימוש:
10a = 5.0  # ציר ראשי
11b = 3.0  # ציר משני
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"אקסצנטריות של האליפסה: {ecc:.4f}")
14

JavaScript

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("פרמטרים לא תקינים: a חייב להיות >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// דוגמת שימוש:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`אקסצנטריות: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% סקריפט MATLAB לחישוב אקסצנטריות של פרבולה
2% עבור פרבולה, האקסצנטריות היא תמיד 1
3e = 1;
4fprintf('אקסצנטריות של הפרבולה: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"אקסצנטריות של פרבולה: {eccentricity}");
14    }
15}
16

Java

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("אקסצנטריות של מעגל: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

Rust

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("פרמטרים לא תקינים: a חייב להיות > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("אקסצנטריות: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("שגיאה: {}", e),
15    }
16}
17

דוגמאות מספריות

מעגל:
- רדיוס ( $r$ ): 5 יחידות
- אקסצנטריות ( $e$ ): $0$
- משוואה: $x^2 + y^2 = 25$
אליפסה:
- ציר ראשי ( $a$ ): 5 יחידות
- ציר משני ( $b$ ): 3 יחידות
- אקסצנטריות ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- משוואה: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
פרבולה:
- אורך פוקלי ( $f$ ): 2 יחידות
- אקסצנטריות ( $e$ ): $1$
- משוואה: $y^2 = 8 x$
היפרבולה:
- ציר הטרוס ( $a$ ): 5 יחידות
- ציר קונjugate ( $b$ ): 3 יחידות
- אקסצנטריות ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- משוואה: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

מחשבון קוניקות - חישוב סוגי קוניקות ואקצנטריות

קטע קוני

תיעוד