शंक्वाकार अनुभाग कैलकुलेटर: विषमता और प्रकार जानें

एक शंकु को एक तल से काटने पर, आप कई दिलचस्प वक्र प्राप्त कर सकते हैं, शंक्वाकार अनुभाग! हमारे शंक्वाकार अनुभाग कैलकुलेटर का प्रयास करें ताकि आप शंक्वाकार अनुभागों के प्रकारों को जान सकें और उनकी विषमता कैसे गणना करें, और भी बहुत कुछ!

कोनिक सेक्शन

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दस्तावेज़ीकरण

शंक्वाकार खंड कैलकुलेटर

परिचय

बस एक शंकु को एक तल से काटकर, आप कई दिलचस्प वक्र प्राप्त कर सकते हैं जिन्हें शंक्वाकार खंड कहा जाता है। इनमें वृत्त, अंडाकार, पैराबोला, और हाइपरबोला शामिल हैं। शंक्वाकार खंड गणित में मौलिक हैं और खगोलशास्त्र, भौतिकी, इंजीनियरिंग, और वास्तुकला जैसे विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं।

हमारा शंक्वाकार खंड कैलकुलेटर आपको आपके इनपुट पैरामीटर के आधार पर उनके असमानता और मानक समीकरणों की गणना करके इन आकर्षक वक्रों का अन्वेषण करने की अनुमति देता है। शंक्वाकार खंडों की दुनिया में गोताखोरी करें और उनके अद्वितीय गुणों और अनुप्रयोगों की खोज करें।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

शंक्वाकार खंड के प्रकार का चयन करें:
- वृत्त
- अंडाकार
- पैराबोला
- हाइपरबोला
आवश्यक पैरामीटर दर्ज करें:
- वृत्त: त्रिज्या ( $r$ ) दर्ज करें।
- अंडाकार: अर्ध-प्रमुख अक्ष ( $a$ ) और अर्ध-लघु अक्ष ( $b$ ) दर्ज करें।
- पैराबोला: केंद्र लंबाई ( $f$ ) दर्ज करें।
- हाइपरबोला: संवहन अक्ष ( $a$ ) और संयोग अक्ष ( $b$ ) दर्ज करें।
"गणना करें" पर क्लिक करें:
- असमानता ( $e$ ) की गणना करें।
- शंक्वाकार खंड का मानक समीकरण।
- वक्र का दृश्य प्रतिनिधित्व।
परिणामों की समीक्षा करें जो कैलकुलेटर के नीचे प्रदर्शित होते हैं।

इनपुट मान्यता

कैलकुलेटर उपयोगकर्ता इनपुट पर निम्नलिखित जांच करता है:

सकारात्मक मान: सभी इनपुट पैरामीटर सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ होनी चाहिए।
अंडाकार सीमाएँ:
- अर्ध-प्रमुख अक्ष ( $a$ ) को अर्ध-लघु अक्ष ( $b$ ) से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
हाइपरबोला सीमाएँ:
- संवहन अक्ष ( $a$ ) को संयोग अक्ष ( $b$ ) से बड़ा होना चाहिए।

यदि अमान्य इनपुट प्रदान किए जाते हैं, तो एक त्रुटि संदेश प्रदर्शित किया जाएगा, और मान्य इनपुट दर्ज किए जाने तक गणनाएँ रोक दी जाएंगी।

सूत्र

असमानता ( $e$ ) एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है जो शंक्वाकार खंड के आकार को परिभाषित करता है, यह दर्शाता है कि यह वृत्त से कितना भिन्न है।

वृत्त

असमानता: $e = 0$
मानक समीकरण: $x^2 + y^2 = r^2$
विवरण: एक वृत्त एक अंडाकार का विशेष मामला है जहाँ फोकल बिंदु केंद्र पर मेल खाते हैं, जिससे असमानता शून्य हो जाती है।

अंडाकार

असमानता: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
मानक समीकरण: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
पैरामीटर:
- $a$ : अर्ध-प्रमुख अक्ष (सबसे लंबा त्रिज्या)।
- $b$ : अर्ध-लघु अक्ष (सबसे छोटा त्रिज्या)।
विवरण: एक अंडाकार एक अंडाकार आकार है जहाँ वक्र पर किसी भी बिंदु से दो फोकल बिंदुओं के लिए दूरी का योग स्थिर होता है।

पैराबोला

असमानता: $e = 1$
मानक समीकरण (दाईं ओर खुलता है): $y^2 = 4 f x$
पैरामीटर:
- $f$ : केंद्र से फोकस तक की दूरी (फोकल लंबाई)।
विवरण: एक पैराबोला एक सममित खुली तल वक्र है जो एक शंकु के एक तल के साथ समानांतर कटाव द्वारा बनाई जाती है।

हाइपरबोला

असमानता: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
मानक समीकरण: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
पैरामीटर:
- $a$ : संवहन अक्ष (केंद्र से एक शिखर तक की दूरी)।
- $b$ : संयोग अक्ष (असिम्पटोट्स के बीच की दूरी से संबंधित)।
विवरण: एक हाइपरबोला दो अलग-अलग वक्रों से बनी होती है जिन्हें शाखाएँ कहा जाता है, और वक्र पर किसी भी बिंदु से दो फोकल बिंदुओं के लिए दूरी का अंतर स्थिर होता है।

गणना

यहाँ बताया गया है कि कैलकुलेटर असमानता और समीकरणों की गणना कैसे करता है:

वृत्त के लिए:
- असमानता: $e = 0$ ।
- समीकरण: $x^2 + y^2 = r^2$ ।
अंडाकार के लिए:
- जांच: $a \geq b$ ।
- असमानता: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- समीकरण: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
पैराबोला के लिए:
- असमानता: $e = 1$ ।
- समीकरण: $y^2 = 4 f x$
हाइपरबोला के लिए:
- जांच: $a > b$ ।
- असमानता: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- समीकरण: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

सीमा मामले:

अंडाकार वृत्त बनता है: जब $a = b$ , अंडाकार एक वृत्त में सरल हो जाता है जिसमें $e = 0$ ।
अमान्य इनपुट:
- नकारात्मक या शून्य मान अमान्य हैं।
- अंडाकार और हाइपरबोला के लिए, यदि $b > a$ , तो गणनाएँ आगे नहीं बढ़ सकतीं।

इकाइयाँ और सटीकता

इकाइयाँ: इकाइयाँ मनमानी हैं लेकिन संगत होनी चाहिए (जैसे, सभी मीटर, सेंटीमीटर में)।
सटीकता:
- गणनाएँ डबल-सटीक फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करती हैं।
- असमानता को चार दशमलव स्थानों तक प्रदर्शित किया जाता है।
- समीकरणों में इनपुट पैरामीटर की समान सटीकता बनाए रखी जाती है।

उपयोग के मामले

शंक्वाकार खंडों के व्यापक अनुप्रयोग हैं:

खगोलशास्त्र:
- ग्रहों की कक्षाएँ अंडाकार होती हैं, जिसमें सूर्य एक फोकस पर होता है।
- धूमकेतु के पथ पैराबोलिक या हाइपरबोलिक हो सकते हैं।
भौतिकी:
- पैराबोलिक दर्पण प्रकाश और ध्वनि तरंगों को केंद्रित करते हैं।
- हाइपरबोलिक पथ कुछ कणों की गति का वर्णन करते हैं।
इंजीनियरिंग:
- उपग्रह डिश और टेलीस्कोपों को डिजाइन करना जो पैराबोलिक आकार का उपयोग करते हैं।
- पावर प्लांट में हाइपरबोलिक कूलिंग टॉवर्स संरचनात्मक दक्षता के लिए।
वास्तुकला:
- पुलों और भवनों में अंडाकार मेहराब सौंदर्यात्मक अपील और ताकत के लिए।
- निलंबन पुलों में पैराबोलिक वक्र।
ऑप्टिक्स:
- ऑप्टिकल बुराइयों को सुधारने के लिए शंक्वाकार खंडों पर आधारित लेंस के आकार।

विकल्प

अन्य वक्र और आकार अनुप्रयोग के आधार पर विचार किए जा सकते हैं:

वृत्ताकार आकार: जब शंक्वाकार खंडों की सटीकता की आवश्यकता नहीं होती है तो सरल गणनाएँ।
स्प्लाइन वक्र: जटिल आकारों के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोग किया जाता है।
बेज़ियर वक्र: डिज़ाइन और एनीमेशन में चिकनी, स्केलेबल वक्रों के लिए उपयोग किया जाता है।

इतिहास

शंक्वाकार खंडों की खोज दो सहस्त्राब्दियों से अधिक समय से चल रही है:

मेनाचमस (लगभग 350 ईसा पूर्व): उन्होंने शंक्वाकार खंडों का पहला वर्णन किया जब उन्होंने घन को दो गुना करने की समस्या को हल करने का प्रयास किया।
यूक्लिड और आर्किमेडीज़: शंक्वाकार खंडों के गुणों का और अध्ययन किया।
अपोलोनियस ऑफ पेरगा (लगभग 200 ईसा पूर्व): "महान ज्यामित्री" के रूप में जाने जाते हैं, उन्होंने "कॉनिक्स" नामक महत्वपूर्ण काम लिखा, जिसने शंक्वाकार खंडों के अध्ययन की नींव रखी।
जोहान्स केप्लर (17वीं सदी): उन्होंने खोज की कि ग्रह अंडाकार कक्षाओं में चलते हैं, अपने तीन ग्रहणीय गति के नियमों का निर्माण करते हुए।
आइज़ैक न्यूटन: उन्होंने शंक्वाकार खंडों का उपयोग अपने सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम में किया ताकि आकाशीय गति का वर्णन किया जा सके।

शंक्वाकार खंडों ने गणित, भौतिकी, और इंजीनियरिंग के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है, आधुनिक तकनीकों और वैज्ञानिक समझ को प्रभावित किया है।

उदाहरण

एक्सेल (VBA)

1' हाइपरबोला की असमानता की गणना के लिए VBA फ़ंक्शन
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' एक्सेल में उपयोग:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

पायथन

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("अमान्य पैरामीटर: सुनिश्चित करें कि a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## उदाहरण उपयोग:
10a = 5.0  # अर्ध-प्रमुख अक्ष
11b = 3.0  # अर्ध-लघु अक्ष
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"अंडाकार की असमानता: {ecc:.4f}")
14

जावास्क्रिप्ट

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("अमान्य पैरामीटर: a को >= b > 0 होना चाहिए");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// उदाहरण उपयोग:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`असमानता: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% पैराबोला की असमानता की गणना के लिए MATLAB स्क्रिप्ट
2% पैराबोला के लिए, असमानता हमेशा 1 होती है
3e = 1;
4fprintf('पैराबोला की असमानता: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"पैराबोला की असमानता: {eccentricity}");
14    }
15}
16

जावा

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("वृत्त की असमानता: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

रस्ट

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("अमान्य पैरामीटर: a को > b > 0 होना चाहिए")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("असमानता: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("त्रुटि: {}", e),
15    }
16}
17

संख्यात्मक उदाहरण

वृत्त:
- त्रिज्या ( $r$ ): 5 इकाइयाँ
- असमानता ( $e$ ): $0$
- समीकरण: $x^2 + y^2 = 25$
अंडाकार:
- अर्ध-प्रमुख अक्ष ( $a$ ): 5 इकाइयाँ
- अर्ध-लघु अक्ष ( $b$ ): 3 इकाइयाँ
- असमानता ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- समीकरण: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
पैराबोला:
- केंद्र लंबाई ( $f$ ): 2 इकाइयाँ
- असमानता ( $e$ ): $1$
- समीकरण: $y^2 = 8 x$
हाइपरबोला:
- संवहन अक्ष ( $a$ ): 5 इकाइयाँ
- संयोग अक्ष ( $b$ ): 3 इकाइयाँ
- असमानता ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- समीकरण: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

संदर्भ

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प्रतिक्रिया

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