కోనిక్ సెక్షన్స్ కాల్క్యులేటర్ - వక్రాలు మరియు ఎక్సెంట్రిసిటీ

ఒక కోనును ఒక విమానంతో కట్ చేస్తే, మీరు అనేక ఆసక్తికరమైన వక్రాలను, కోనిక్ సెక్షన్లను పొందవచ్చు! కోనిక్ సెక్షన్ కాల్క్యులేటర్‌ను ప్రయత్నించి, కోనిక్ సెక్షన్ల రకాలు మరియు వాటి ఎక్సెంట్రిసిటీని ఎలా లెక్కించాలో తెలుసుకోండి, ఇంకా చాలా!

కోణీయ విభాగం

📚

డాక్యుమెంటేషన్

Conic Sections Calculator

Introduction

ఒక కోన్‌ను ఒక ప్లేన్‌తో కట్ చేసినప్పుడు, మీరు కోనిక్ సెక్షన్స్ అని పిలువబడే అనేక ఆసక్తికరమైన వక్రాలను పొందవచ్చు. ఇవి చక్రం, ఎలిప్స్, పరబోలా, మరియు హైపర్‌బోలా. కోనిక్ సెక్షన్స్ గణితంలో ప్రాథమికమైనవి మరియు ఖగోళశాస్త్రం, భౌతిక శాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్ మరియు నిర్మాణం వంటి వివిధ రంగాలలో కనిపిస్తాయి.

మా కోనిక్ సెక్షన్స్ క్యాల్క్యులేటర్ మీకు ఈ ఆసక్తికరమైన వక్రాలను అన్వేషించడానికి అనుమతిస్తుంది, మీ ఇన్‌పుట్ పారామీటర్ల ఆధారంగా వాటి ఎక్సెంట్రిసిటీని లెక్కించడం మరియు వాటి ప్రామాణిక సమీకరణాలను పొందడం ద్వారా. కోనిక్ సెక్షన్స్ యొక్క ప్రపంచంలోకి దూకండి మరియు వాటి ప్రత్యేక లక్షణాలు మరియు అనువర్తనాలను కనుగొనండి.

How to Use This Calculator

కోనిక్ సెక్షన్ రకం ఎంచుకోండి:
- చక్రం
- ఎలిప్స్
- పరబోలా
- హైపర్‌బోలా
అవసరమైన పారామీటర్లను నమోదు చేయండి:
- చక్రం: రేడియస్ ( $r$ ) నమోదు చేయండి.
- ఎలిప్స్: సెమీ-మేజర్ అక్షం ( $a$ ) మరియు సెమీ-మినర్ అక్షం ( $b$ ) నమోదు చేయండి.
- పరబోలా: ఫోకల్ లెంగ్త్ ( $f$ ) నమోదు చేయండి.
- హైపర్‌బోలా: ట్రాన్స్‌వర్స్ అక్షం ( $a$ ) మరియు కన్జుగేట్ అక్షం ( $b$ ) నమోదు చేయండి.
"క్యాల్క్యులేట్"పై క్లిక్ చేయండి:
- ఎక్సెంట్రిసిటీ ( $e$ ) లెక్కించండి.
- కోనిక్ సెక్షన్ యొక్క ప్రామాణిక సమీకరణ.
- వక్రం యొక్క దృశ్య ప్రాతినిధ్యం.
క్యాల్క్యులేటర్ కింద చూపించిన ఫలితాలను సమీక్షించండి.

Input Validation

క్యాల్క్యులేటర్ వినియోగదారు ఇన్‌పుట్‌లపై క్రింది తనిఖీలు నిర్వహిస్తుంది:

సానుకూల విలువలు: అన్ని ఇన్‌పుట్ పారామీటర్లు సానుకూల వాస్తవ సంఖ్యలు కావాలి.
ఎలిప్స్ పరిమితులు:
- సెమీ-మేజర్ అక్షం ( $a$ ) సెమీ-మినర్ అక్షం ( $b$ ) కన్నా ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉండాలి.
హైపర్‌బోలా పరిమితులు:
- ట్రాన్స్‌వర్స్ అక్షం ( $a$ ) కన్జుగేట్ అక్షం ( $b$ ) కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

చెల్లని ఇన్‌పుట్‌లు అందించినప్పుడు, ఒక పొరపాటు సందేశం ప్రదర్శించబడుతుంది మరియు చెల్లని ఇన్‌పుట్‌లు నమోదు చేయడం వరకు లెక్కింపులు ఆపివేయబడతాయి.

Formula

ఎక్సెంట్రిసిటీ ( $e$ ) ఒక కోనిక్ సెక్షన్ యొక్క ఆకారాన్ని నిర్వచించే కీలక పారామీటర్, ఇది అది చక్రాకారంగా ఉండటానికి ఎంత దూరంగా ఉందో సూచిస్తుంది.

Circle

ఎక్సెంట్రిసిటీ: $e = 0$
ప్రామాణిక సమీకరణ: $x^2 + y^2 = r^2$
వివరణ: ఒక చక్రం అనేది ఎలిప్స్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం, అందులో ఫోకల్ పాయింట్లు కేంద్రంలో కలుస్తాయి, ఇది జీరో ఎక్సెంట్రిసిటీని కలిగిస్తుంది.

Ellipse

ఎక్సెంట్రిసిటీ: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
ప్రామాణిక సమీకరణ: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
పారామీటర్లు:
- $a$ : సెమీ-మేజర్ అక్షం (చిన్నది).
- $b$ : సెమీ-మినర్ అక్షం (చిన్నది).
వివరణ: ఒక ఎలిప్స్ అనేది ఒక అండాకార ఆకారం, దీనిలో వక్రం పై ఉన్న ఏ పాయింట్ నుండి రెండు ఫోకల్ పాయింట్లకు దూరాల సమాహారం స్థిరంగా ఉంటుంది.

Parabola

ఎక్సెంట్రిసిటీ: $e = 1$
ప్రామాణిక సమీకరణ (కుడి వైపు తెరవడం): $y^2 = 4 f x$
పారామీటర్లు:
- $f$ : ఫోకల్ లెంగ్త్ (వెర్సెస్ నుండి ఫోకస్ వరకు దూరం).
వివరణ: ఒక పరబోలా అనేది ఒక సిమ్మెట్రికల్ ఓపెన్ ప్లేన్ వక్రం, ఇది ఒక కోన్‌ను దాని పక్కకు సమాంతరంగా ఉన్న ప్లేన్‌తో కట్ చేసినప్పుడు ఏర్పడుతుంది.

Hyperbola

ఎక్సెంట్రిసిటీ: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
ప్రామాణిక సమీకరణ: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
పారామీటర్లు:
- $a$ : ట్రాన్స్‌వర్స్ అక్షం (కేంద్రం నుండి x-అక్షం పక్కన ఒక శిఖరం వరకు దూరం).
- $b$ : కన్జుగేట్ అక్షం (అసిమ్ప్టోట్స్ మధ్య దూరంతో సంబంధం).
వివరణ: ఒక హైపర్‌బోలా రెండు వేరు వక్రాలను కలిగి ఉంటుంది, వాటిని బ్రాంచ్‌లు అని పిలుస్తారు, మరియు వక్రం పై ఉన్న ఏ పాయింట్ నుండి రెండు ఫోకల్ పాయింట్లకు దూరాల తేడా స్థిరంగా ఉంటుంది.

Calculation

క్యాల్క్యులేటర్ ఎలా ఎక్సెంట్రిసిటీ మరియు సమీకరణలను లెక్కించాలో ఇక్కడ ఉంది:

చక్రం కోసం:
- ఎక్సెంట్రిసిటీ: $e = 0$ .
- సమీకరణ: $x^2 + y^2 = r^2$ .
ఎలిప్స్ కోసం:
- తనిఖీ: $a \geq b$ .
- ఎక్సెంట్రిసిటీ: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- సమీకరణ: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
పరబోలా కోసం:
- ఎక్సెంట్రిసిటీ: $e = 1$ .
- సమీకరణ: $y^2 = 4 f x$
హైపర్‌బోలా కోసం:
- తనిఖీ: $a > b$ .
- ఎక్సెంట్రిసిటీ: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- సమీకరణ: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

ఎడ్జ్ కేసులు:

ఎలిప్స్ ఒక చక్రంగా మారుతుంది: $a = b$ అయితే, ఎలిప్స్ చక్రంగా సరళీకృతమవుతుంది $e = 0$ .
చెల్లని ఇన్‌పుట్‌లు:
- నెగటివ్ లేదా జీరో విలువలు చెల్లని ఉంటాయి.
- ఎలిప్స్ మరియు హైపర్‌బోలా కోసం, $b > a$ అయితే, లెక్కింపులు కొనసాగించలేవు.

Units and Precision

యూనిట్స్: యూనిట్లు అనిశ్చితమైనవి కానీ సమానంగా ఉండాలి (ఉదా: అన్ని మీటర్లలో, సెంటీమీటర్లలో).
ప్రెసిషన్:
- లెక్కింపులు డబుల్-ప్రెసిషన్ ఫ్లోటింగ్-పాయింట్ అంకెలను ఉపయోగిస్తాయి.
- ఎక్సెంట్రిసిటీ నాలుగు దశాంశాల స్థాయికి ప్రదర్శించబడుతుంది.
- సమీకరణలు ఇన్‌పుట్ పారామీటర్లతో సమానమైన ప్రెసిషన్‌ను నిర్వహిస్తాయి.

Use Cases

కోనిక్ సెక్షన్స్ విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి:

ఖగోళశాస్త్రం:
- గ్రహాల చుట్టూ ఎలిప్టికల్ కక్ష్యలు, సూర్యుడు ఒక ఫోకస్ వద్ద ఉంటాడు.
- కామెట్ మార్గాలు పరబోలిక్ లేదా హైపర్‌బోలా కావచ్చు.
భౌతిక శాస్త్రం:
- పరబోలిక్ అద్దాలు కాంతి మరియు ధ్వని తరంగాలను కేంద్రీకరించడానికి ఉపయోగిస్తాయి.
- హైపర్‌బోలా పథకాలు కొన్ని కణాల కదలికలను వివరిస్తాయి.
ఇంజనీరింగ్:
- పరబోలిక్ ఆకారాలను ఉపయోగించి ఉపగ్రహ డిష్‌లు మరియు టెలిస్కోప్‌లను రూపొందించడం.
- శక్తి ప్లాంట్లలో హైపర్‌బోలిక్ కూలింగ్ టవర్లు నిర్మాణ సమర్థత కోసం.
నిర్మాణం:
- భవనాలు మరియు బ్రిడ్జీలలో ఎలిప్టికల్ ఆర్చ్‌లు అందం మరియు శక్తి కోసం.
- సస్పెన్షన్ బ్రిడ్జీలలో పరబోలిక్ వక్రాలు.
ఆప్టిక్స్:
- ఆప్టికల్ అబెరేషన్లను సరిదిద్దడానికి కోనిక్ సెక్షన్స్ ఆధారంగా లెన్స్ ఆకారాలు.

Alternatives

అనువర్తనాన్ని బట్టి ఇతర వక్రాలు మరియు ఆకారాలను పరిగణించవచ్చు:

చక్రాకార ఆకారాలు: కోనిక్ సెక్షన్స్ యొక్క ఖచ్చితత్వం అవసరం లేకపోతే సరళమైన లెక్కింపులు.
స్ప్లైన్ వక్రాలు: కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్‌లో సంక్లిష్ట ఆకారాల కోసం ఉపయోగిస్తారు.
బెజియర్ వక్రాలు: డిజైన్ మరియు యానిమేషన్‌లో మృదువైన, స్కేలబుల్ వక్రాల కోసం ఉపయోగిస్తారు.

History

కోనిక్ సెక్షన్స్ యొక్క అన్వేషణ రెండు వేల సంవత్సరాల కంటే ఎక్కువ కాలం క్రితం ప్రారంభమైంది:

మెనేఖ్మస్ (సుమారు 350 BCE): క్యూబ్‌ను డూప్లికేట్ చేయడం కోసం ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు కోనిక్ సెక్షన్స్‌ను మొదటగా వివరించారు.
యూక్లిడ్ మరియు ఆర్కిమీడీస్: కోనిక్ సెక్షన్స్ యొక్క లక్షణాలను మరింత అధ్యయనం చేశారు.
అపోలోనియస్ ఆఫ్ పెర్గ (సుమారు 200 BCE): "గ్రేట్ జియోమెటర్" అని పిలువబడే ఆయన "కోనిక్స్" అనే ప్రాముఖ్యమైన రచనను రాశారు, ఇది కోనిక్ సెక్షన్స్ అధ్యయనానికి పునాది వేసింది.
జోహానెస్ కేప్లర్ (17వ శతాబ్దం): గ్రహాలు ఎలిప్టికల్ కక్ష్యలలో కదులుతున్నాయని కనుగొనడం, ఆయన గ్రహాల కదలికల మూడు నియమాలను రూపొందించారు.
ఐజాక్ న్యూటన్: ఆయన విశ్వవ్యాప్త ఆకర్షణా చట్టంలో కోనిక్ సెక్షన్స్‌ను ఉపయోగించి ఖగోళ కదలికలను వివరించారు.

కోనిక్ సెక్షన్స్ గణిత, భౌతిక శాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్ అభివృద్ధిలో కీలక పాత్ర పోషించాయి, ఆధునిక సాంకేతికతలు మరియు శాస్త్రీయ అవగాహనలను ప్రభావితం చేశాయి.

Examples

Excel (VBA)

1' VBA Function to Calculate Eccentricity of a Hyperbola
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' Usage in Excel:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

Python

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("Invalid parameters: Ensure that a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## Example usage:
10a = 5.0  # Semi-major axis
11b = 3.0  # Semi-minor axis
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"Eccentricity of the ellipse: {ecc:.4f}")
14

JavaScript

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("Invalid parameters: a must be >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// Example usage:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`Eccentricity: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% MATLAB Script to Calculate Eccentricity of a Parabola
2% For a parabola, the eccentricity is always 1
3e = 1;
4fprintf('Eccentricity of the parabola: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"Eccentricity of a parabola: {eccentricity}");
14    }
15}
16

Java

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("Eccentricity of a circle: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

Rust

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("Invalid parameters: a must be > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("Eccentricity: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("Error: {}", e),
15    }
16}
17

Numerical Examples

Circle:
- Radius ( $r$ ): 5 units
- Eccentricity ( $e$ ): $0$
- Equation: $x^2 + y^2 = 25$
Ellipse:
- Semi-major Axis ( $a$ ): 5 units
- Semi-minor Axis ( $b$ ): 3 units
- Eccentricity ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- Equation: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
Parabola:
- Focal Length ( $f$ ): 2 units
- Eccentricity ( $e$ ): $1$
- Equation: $y^2 = 8 x$
Hyperbola:
- Transverse Axis ( $a$ ): 5 units
- Conjugate Axis ( $b$ ): 3 units
- Eccentricity ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- Equation: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

References

💬

ప్రతిస్పందన

💬

ఈ సాధనంపై ప్రతిస్పందన ఇవ్వడం ప్రారంభించడానికి ప్రతిస్పందన టోస్ట్‌ను క్లిక్ చేయండి

🔗

సంబంధిత సాధనాలు

మీ పని ప్రవాహానికి ఉపయోగకరమైన మరిన్ని సాధనాలను కనుగొనండి