Конусний перетин

Калькулятор конічних перетинів

Вступ

Просто розрізаючи конус площиною, ви можете отримати багато цікавих кривих, відомих як конічні перетини. До них належать коло, еліпс, парабола та гіпербола. Конічні перетини є основоположними в математиці і з'являються в різних галузях, таких як астрономія, фізика, інженерія та архітектура.

Наш Калькулятор конічних перетинів дозволяє вам досліджувати ці захоплюючі криві, обчислюючи їх ексцентриситет та виводячи їх стандартні рівняння на основі ваших вхідних параметрів. Пориньте у світ конічних перетинів і відкрийте їх унікальні властивості та застосування.

Як користуватися цим калькулятором

Виберіть тип конічного перетину:
- Коло
- Еліпс
- Парабола
- Гіпербола
Введіть необхідні параметри:
- Коло: Введіть Радіус ( $r$ ).
- Еліпс: Введіть Півосі ( $a$ ) та Півосі ( $b$ ).
- Парабола: Введіть Фокусну відстань ( $f$ ).
- Гіпербола: Введіть Пересічну вісь ( $a$ ) та Супутню вісь ( $b$ ).
Натисніть "Обчислити" для обчислення:
- Ексцентриситету ( $e$ ).
- Стандартного рівняння конічного перетину.
- Візуального подання кривої.
Перегляньте результати, що відображаються нижче калькулятора.

Перевірка введення

Калькулятор виконує такі перевірки на введених даних:

Позитивні значення: Всі вхідні параметри повинні бути позитивними дійсними числами.
Обмеження для еліпса:
- Піввісь ( $a$ ) повинна бути більшою або рівною півосі ( $b$ ).
Обмеження для гіперболи:
- Пересічна вісь ( $a$ ) повинна бути більшою за супутню вісь ( $b$ ).

Якщо введено недійсні дані, з'явиться повідомлення про помилку, і обчислення буде зупинено, поки не буде введено дійсні дані.

Формула

Ексцентриситет ( $e$ ) є ключовим параметром, який визначає форму конічного перетину, вказуючи, наскільки він відхиляється від кола.

Коло

Ексцентриситет: $e = 0$
Стандартне рівняння: $x^2 + y^2 = r^2$
Опис: Коло є особливим випадком еліпса, де фокусні точки збігаються в центрі, що призводить до нульового ексцентриситету.

Еліпс

Ексцентриситет: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Стандартне рівняння: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Параметри:
- $a$ : Піввісь (найдовший радіус).
- $b$ : Піввісь (найкоротший радіус).
Опис: Еліпс — це овальна форма, де сума відстаней від будь-якої точки на кривій до двох фокусних точок є сталою.

Парабола

Ексцентриситет: $e = 1$
Стандартне рівняння (відкривається вправо): $y^2 = 4 f x$
Параметри:
- $f$ : Фокусна відстань (відстань від вершини до фокусу).
Опис: Парабола є симетричною відкритою площинною кривою, утвореною перетином конуса з площиною, паралельною його боці.

Гіпербола

Ексцентриситет: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Стандартне рівняння: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Параметри:
- $a$ : Пересічна вісь (відстань від центру до вершини вздовж осі x).
- $b$ : Супутня вісь (пов'язана з відстанню між асимптотами).
Опис: Гіпербола складається з двох окремих кривих, званих гілками, і різниця відстаней від будь-якої точки на кривій до двох фокусних точок є сталою.

Обчислення

Ось як калькулятор обчислює ексцентриситет і рівняння:

Для кола:
- Ексцентриситет: $e = 0$ .
- Рівняння: $x^2 + y^2 = r^2$ .
Для еліпса:
- Перевірка: $a \geq b$ .
- Ексцентриситет: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Рівняння: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Для параболи:
- Ексцентриситет: $e = 1$ .
- Рівняння: $y^2 = 4 f x$
Для гіперболи:
- Перевірка: $a > b$ .
- Ексцентриситет: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Рівняння: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Крайні випадки:

Еліпс стає колом: Коли $a = b$ , еліпс спрощується до кола з $e = 0$ .
Недійсні введення:
- Негативні або нульові значення є недійсними.
- Для еліпсів і гіпербол, якщо $b > a$ , обчислення не можуть продовжуватися.

Одиниці та точність

Одиниці: Одиниці є довільними, але повинні бути послідовними (наприклад, всі в метрах, сантиметрах).
Точність:
- Обчислення використовують арифметику з подвійною точністю.
- Ексцентриситет відображається до чотирьох десяткових знаків.
- Рівняння зберігають таку ж точність, як і вхідні параметри.

Сфери застосування

Конічні перетини мають широке застосування:

Астрономія:
- Планетарні орбіти є еліптичними, з сонцем в одному з фокусів.
- Шляхи комет можуть бути параболічними або гіперболічними.
Фізика:
- Параболічні дзеркала фокусують світлові та звукові хвилі.
- Гіперболічні траєкторії описують певні рухи частинок.
Інженерія:
- Проектування супутникових антен і телескопів, що використовують параболічні форми.
- Гіперболічні охолоджувальні вежі на електростанціях для структурної ефективності.
Архітектура:
- Еліптичні арки в мостах і будівлях для естетичної привабливості та міцності.
- Параболічні криві в підвісних мостах.
Оптика:
- Форми лінз на основі конічних перетинів для корекції оптичних аберацій.

Альтернативи

Інші криві та форми можуть бути розглянуті в залежності від застосування:

Круглі форми: Простішими обчисленнями, коли точність конічних перетинів не є необхідною.
Сплайн-криві: Використовуються в комп'ютерній графіці для складних форм.
Криві Безьє: Використовуються в дизайні та анімації для плавних, масштабованих кривих.

Історія

Дослідження конічних перетинів налічує понад дві тисячі років:

Менехм (близько 350 р. до н.е.): Першим описав конічні перетини, намагаючись розв’язати задачу подвоєння куба.
Евклід та Архімед: Додатково вивчали властивості конічних перетинів.
Апполоній Пергійський (близько 200 р. до н.е.): Відомий як "Великий геометр", написав основоположну працю "Коніки", яка заклала основи вивчення конічних перетинів.
Йоганн Кеплер (17 століття): Відкрив, що планети рухаються по еліптичних орбітах, сформулював свої три закони планетарного руху.
Ісаак Ньютон: Використовував конічні перетини у своєму законі всесвітнього тяжіння для опису небесних рухів.

Конічні перетини відіграли важливу роль у розвитку математики, фізики та інженерії, впливаючи на сучасні технології та наукове розуміння.

Приклади

Excel (VBA)

' VBA Функція для обчислення ексцентриситету гіперболи
Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
    If a <= 0 Or b <= 0 Then
        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
    ElseIf a <= b Then
        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
    Else
        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
    End If
End Function
' Використання в Excel:
' =HyperbolaEccentricity(5, 3)

Python

import math

def ellipse_eccentricity(a, b):
    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
        raise ValueError("Недійсні параметри: Переконайтеся, що a >= b > 0")
    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
    return e

## Приклад використання:
a = 5.0  # Піввісь
b = 3.0  # Піввісь
ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
print(f"Ексцентриситет еліпса: {ecc:.4f}")

JavaScript

function calculateEccentricity(a, b) {
  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
    throw new Error("Недійсні параметри: a повинно бути >= b > 0");
  }
  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
  return e;
}

// Приклад використання:
const a = 5;
const b = 3;
const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
console.log(`Ексцентриситет: ${eccentricity.toFixed(4)}`);

MATLAB

% MATLAB Скрипт для обчислення ексцентриситету параболи
% Для параболи ексцентриситет завжди дорівнює 1
e = 1;
fprintf('Ексцентриситет параболи: %.4f\n', e);

C#

using System;

class ConicSection
{
    public static double ParabolaEccentricity()
    {
        return 1.0;
    }

    static void Main()
    {
        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
        Console.WriteLine($"Ексцентриситет параболи: {eccentricity}");
    }
}

Java

public class ConicSectionCalculator {
    public static double calculateCircleEccentricity() {
        return 0.0;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double e = calculateCircleEccentricity();
        System.out.printf("Ексцентриситет кола: %.4f%n", e);
    }
}

Rust

fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
        Err("Недійсні параметри: a повинно бути > b > 0")
    } else {
        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
    }
}

fn main() {
    let a = 5.0;
    let b = 3.0;
    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
        Ok(eccentricity) => println!("Ексцентриситет: {:.4}", eccentricity),
        Err(e) => println!("Помилка: {}", e),
    }
}

Числові приклади

Коло:
- Радіус ( $r$ ): 5 одиниць
- Ексцентриситет ( $e$ ): $0$
- Рівняння: $x^2 + y^2 = 25$
Еліпс:
- Піввісь ( $a$ ): 5 одиниць
- Піввісь ( $b$ ): 3 одиниці
- Ексцентриситет ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- Рівняння: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
Парабола:
- Фокусна відстань ( $f$ ): 2 одиниці
- Ексцентриситет ( $e$ ): $1$
- Рівняння: $y^2 = 8 x$
Гіпербола:
- Пересічна вісь ( $a$ ): 5 одиниць
- Супутня вісь ( $b$ ): 3 одиниці
- Ексцентриситет ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- Рівняння: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Посилання

Схожі інструменти

Калькулятор для правильного кругового конуса та його параметрів

Калькулятор для обчислення бічної площі конуса

Калькулятор для обчислення діаметра конуса

Калькулятор нахилу конуса для геометричних розрахунків

Калькулятор для розрахунку висоти конуса та радіусу

Калькулятор об'єму конусів та зрізаних конусів