کنک سیکشنز کیلکولیٹر: مختلف اقسام اور ایccentricity حساب کریں

کنک سیکشنز کیلکولیٹر

تعارف

صرف ایک مخروط کو ایک طیارے کے ساتھ کاٹ کر، آپ کو بہت ساری دلچسپ منحنی خطوط مل سکتی ہیں جنہیں کنک سیکشنز کہا جاتا ہے۔ ان میں دایرہ، ایلیپse، پیرابولا، اور ہائپرولا شامل ہیں۔ کنک سیکشنز ریاضی میں بنیادی حیثیت رکھتے ہیں اور مختلف شعبوں جیسے کہ فلکیات، طبیعیات، انجینئرنگ، اور معمار میں نظر آتے ہیں۔

ہمارا کنک سیکشنز کیلکولیٹر آپ کو ان دلچسپ منحنی خطوط کا جائزہ لینے کی اجازت دیتا ہے، آپ کی ان پٹ پیرا میٹرز کی بنیاد پر ان کی ایکسینٹرکٹی اور معیاری مساواتیں نکال کر۔ کنک سیکشنز کی دنیا میں غوطہ لگائیں اور ان کی منفرد خصوصیات اور اطلاقات دریافت کریں۔

اس کیلکولیٹر کا استعمال کیسے کریں

کنک سیکشن کی قسم منتخب کریں:
- دایرہ
- ایلیپse
- پیرابولا
- ہائپرولا
ضروری پیرا میٹرز درج کریں:
- دایرہ: ریڈیس ( $r$ ) درج کریں۔
- ایلیپse: سیمی میجر ایکسس ( $a$ ) اور سیمی منر ایکسس ( $b$ ) درج کریں۔
- پیرابولا: فوکل لمبائی ( $f$ ) درج کریں۔
- ہائپرولا: ٹرانسورس ایکسس ( $a$ ) اور کنجوگیٹ ایکسس ( $b$ ) درج کریں۔
"کیلکولیٹ" پر کلک کریں تاکہ حساب کریں:
- ایکسینٹرکٹی ( $e$ )۔
- کنک سیکشن کی معیاری مساوات۔
- منحنی کی بصری نمائندگی۔
نتائج کا جائزہ لیں جو کیلکولیٹر کے نیچے دکھائے جائیں گے۔

ان پٹ کی توثیق

کیلکولیٹر صارف کی ان پٹ پر درج ذیل چیک کرتا ہے:

مثبت قیمتیں: تمام ان پٹ پیرا میٹرز مثبت حقیقی نمبروں ہونے چاہئیں۔
ایلیپse کی حدود:
- سیمی میجر ایکسس ( $a$ ) کو سیمی منر ایکسس ( $b$ ) سے بڑا یا اس کے برابر ہونا چاہیے۔
ہائپرولا کی حدود:
- ٹرانسورس ایکسس ( $a$ ) کو کنجوگیٹ ایکسس ( $b$ ) سے بڑا ہونا چاہیے۔

اگر غلط ان پٹ فراہم کی گئی تو ایک غلطی کا پیغام دکھایا جائے گا، اور درست ان پٹ درج ہونے تک حسابات کو روکا جائے گا۔

فارمولا

ایکسینٹرکٹی ( $e$ ) ایک اہم پیرا میٹر ہے جو کنک سیکشن کی شکل کی وضاحت کرتا ہے، یہ بتاتا ہے کہ یہ کتنی حد تک دائری شکل سے ہٹتا ہے۔

دائرہ

ایکسینٹرکٹی: $e = 0$
معیاری مساوات: $x^2 + y^2 = r^2$
تفصیل: ایک دائرہ ایک ایلیپse کا خاص کیس ہے جہاں فوکل پوائنٹس مرکز پر ملتے ہیں، جس کے نتیجے میں صفر ایکسینٹرکٹی ہوتی ہے۔

ایلیپse

ایکسینٹرکٹی: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
معیاری مساوات: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
پیرا میٹرز:
- $a$ : سیمی میجر ایکسس (سب سے لمبی شعاع)۔
- $b$ : سیمی منر ایکسس (سب سے چھوٹی شعاع)۔
تفصیل: ایک ایلیپse ایک بیضوی شکل ہے جہاں منحنی خطوط پر کسی بھی نقطے سے دو فوکل پوائنٹس تک فاصلوں کا مجموعہ مستقل ہوتا ہے۔

پیرابولا

ایکسینٹرکٹی: $e = 1$
معیاری مساوات (دائیں جانب کھلتا ہوا): $y^2 = 4 f x$
پیرا میٹرز:
- $f$ : فوکل لمبائی (ورٹیکس سے فوکس تک کا فاصلہ)۔
تفصیل: ایک پیرابولا ایک متوازن کھلی طیارہ منحنی ہے جو مخروط کے ایک طیارے کے ساتھ ملنے سے بنتی ہے جو اس کی جانب متوازی ہے۔

ہائپرولا

ایکسینٹرکٹی: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
معیاری مساوات: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
پیرا میٹرز:
- $a$ : ٹرانسورس ایکسس (مرکز سے ایک ورٹیکس تک کا فاصلہ جو x-axis کے ساتھ ہے)۔
- $b$ : کنجوگیٹ ایکسس (ایسمپٹوٹ کے درمیان فاصلے سے متعلق)۔
تفصیل: ایک ہائپرولا دو الگ الگ منحنی خطوط پر مشتمل ہے جسے شاخیں کہا جاتا ہے، اور منحنی خطوط پر کسی بھی نقطے سے دو فوکل پوائنٹس تک فاصلوں کا فرق مستقل ہوتا ہے۔

حساب

یہاں یہ ہے کہ کیلکولیٹر ایکسینٹرکٹی اور مساواتیں کیسے حساب کرتا ہے:

دایرہ کے لیے:
- ایکسینٹرکٹی: $e = 0$ ۔
- مساوات: $x^2 + y^2 = r^2$ ۔
ایلیپse کے لیے:
- چیک: $a \geq b$ ۔
- ایکسینٹرکٹی: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- مساوات: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
پیرابولا کے لیے:
- ایکسینٹرکٹی: $e = 1$ ۔
- مساوات: $y^2 = 4 f x$
ہائپرولا کے لیے:
- چیک: $a > b$ ۔
- ایکسینٹرکٹی: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- مساوات: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

ایج کیسز:

ایلیپse دائرہ بن جاتا ہے: جب $a = b$ ، تو ایلیپse ایک دائرہ میں سادہ ہو جاتا ہے جس کے ساتھ $e = 0$ ۔
غلط ان پٹ:
- منفی یا صفر کی قیمتیں غلط ہیں۔
- ایلیپse اور ہائپرولا کے لیے، اگر $b > a$ ، تو حسابات جاری نہیں رکھے جا سکتے۔

اکائیوں اور درستگی

اکائیاں: اکائیاں من مانی ہیں لیکن مستقل ہونی چاہئیں (جیسے، تمام میٹر، سینٹی میٹر میں)۔
درستگی:
- حسابات ڈبل-درستگی کی تیرتی نقطہ حسابات کا استعمال کرتے ہیں۔
- ایکسینٹرکٹی کو چار اعشاریہ مقامات تک دکھایا جاتا ہے۔
- مساواتیں ان پٹ پیرا میٹرز کی اسی درستگی کو برقرار رکھتی ہیں۔

استعمال کے کیسز

کنک سیکشنز کے وسیع پیمانے پر اطلاقات ہیں:

فلکیات:
- سیاروں کی مداریں ایلیپٹیکل ہوتی ہیں، سورج ایک فوکل پر ہوتا ہے۔
- دمدار ستاروں کے راستے پیرابولک یا ہائپرولک ہو سکتے ہیں۔
طبیعیات:
- پیرابولک آئینے روشنی اور آواز کی لہروں کو مرکوز کرتے ہیں۔
- ہائپرولک راستے کچھ ذرات کی حرکت کی وضاحت کرتے ہیں۔
انجینئرنگ:
- سیٹلائٹ ڈشز اور دوربینوں کے ڈیزائن میں پیرابولک شکلوں کا استعمال۔
- بجلی گھروں میں ہائپرولک کولنگ ٹاورز کی ساختی کارکردگی۔
معمار:
- پلوں اور عمارتوں میں بیضوی قوسیں جمالیاتی اپیل اور طاقت کے لیے۔
- معلق پلوں میں پیرابولک منحنی خطوط۔
آپٹکس:
- آپٹیکل ابریشن کو درست کرنے کے لیے کنک سیکشنز پر مبنی لینس کی شکلیں۔

متبادل

دیگر منحنی خطوط اور شکلیں درخواست کے لحاظ سے غور کی جا سکتی ہیں:

دایرہ شکلیں: جب کنک سیکشنز کی درستگی کی ضرورت نہ ہو تو سادہ حسابات۔
اسپلائن منحنی: کمپیوٹر گرافکس میں پیچیدہ شکلوں کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔
بیزیر منحنی: ڈیزائن اور متحرک تصاویر میں ہموار، اسکیل ایبل منحنی کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔

تاریخ

کنک سیکشنز کی تلاش دو ہزار سال سے زیادہ پرانی ہے:

مینیکمس (تقریباً 350 قبل مسیح): مکعب کو دوگنا کرنے کے مسئلے کو حل کرنے کی کوشش کرتے ہوئے کنک سیکشنز کی پہلی وضاحت کی۔
یوریدس اور آرکی میڈیز: کنک سیکشنز کی خصوصیات کا مزید مطالعہ کیا۔
اپولونیئس آف پرگا (تقریباً 200 قبل مسیح): "عظیم جیومیٹر" کے طور پر جانے جاتے ہیں، انہوں نے "کنکس" نامی اہم کام لکھا، جو کنک سیکشنز کے مطالعے کی بنیاد رکھی۔
جان کیپلر (17ویں صدی): دریافت کی کہ سیارے ایلیپٹیکل مداروں میں حرکت کرتے ہیں، اپنی سیاروی حرکت کے تین قوانین وضع کیے۔
آئزک نیوٹن: اپنے عالمی کشش ثقل کے قانون میں کنک سیکشنز کا استعمال کرتے ہوئے آسمانی حرکات کی وضاحت کی۔

کنک سیکشنز نے ریاضی، طبیعیات، اور انجینئرنگ کی ترقی میں اہم کردار ادا کیا ہے، جدید ٹیکنالوجیز اور سائنسی تفہیم پر اثر انداز ہوا ہے۔

مثالیں

ایکسل (VBA)

1' VBA فنکشن ہائپرولا کی ایکسینٹرکٹی کا حساب کرنے کے لیے
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' ایکسل میں استعمال:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

پائتھون

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("غلط پیرا میٹرز: یہ یقینی بنائیں کہ a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## مثال کے استعمال:
10a = 5.0  # سیمی میجر ایکسس
11b = 3.0  # سیمی منر ایکسس
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"ایلیپse کی ایکسینٹرکٹی: {ecc:.4f}")
14

جاوا اسکرپٹ

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("غلط پیرا میٹرز: a کو >= b > 0 ہونا چاہیے");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// مثال کے استعمال:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`ایکسینٹرکٹی: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

میٹلیب

1% ہائپرولا کی ایکسینٹرکٹی کا حساب کرنے کے لیے میٹلیب اسکرپٹ
2% ایک پیرابولا کے لیے، ایکسینٹرکٹی ہمیشہ 1 ہوتی ہے
3e = 1;
4fprintf('پیرابولا کی ایکسینٹرکٹی: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"پیرابولا کی ایکسینٹرکٹی: {eccentricity}");
14    }
15}
16

جاوا

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("دایرہ کی ایکسینٹرکٹی: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

رسٹ

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("غلط پیرا میٹرز: a کو > b > 0 ہونا چاہیے")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("ایکسینٹرکٹی: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("غلطی: {}", e),
15    }
16}
17

عددی مثالیں

دایرہ:
- ریڈیس ( $r$ ): 5 اکائی
- ایکسینٹرکٹی ( $e$ ): $0$
- مساوات: $x^2 + y^2 = 25$
ایلیپse:
- سیمی میجر ایکسس ( $a$ ): 5 اکائی
- سیمی منر ایکسس ( $b$ ): 3 اکائی
- ایکسینٹرکٹی ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- مساوات: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
پیرابولا:
- فوکل لمبائی ( $f$ ): 2 اکائی
- ایکسینٹرکٹی ( $e$ ): $1$
- مساوات: $y^2 = 8 x$
ہائپرولا:
- ٹرانسورس ایکسس ( $a$ ): 5 اکائی
- کنجوگیٹ ایکسس ( $b$ ): 3 اکائی
- ایکسینٹرکٹی ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- مساوات: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

کنک سیکشنز کیلکولیٹر: مختلف اقسام اور ایccentricity حساب کریں

مخروطی سیکشن

دستاویزات