حاسبة القيم الحرجة للاختبارات الإحصائية الشائعة

حاسبة القيمة الحرجة

المقدمة

القيم الحرجة ضرورية في اختبار الفرضيات الإحصائية. إنها تحدد العتبة التي نرفض عندها الفرضية الصفرية لصالح الفرضية البديلة. من خلال حساب القيمة الحرجة، يمكن للباحثين تحديد ما إذا كانت إحصائية الاختبار تقع ضمن منطقة الرفض واتخاذ قرارات مستنيرة بناءً على بياناتهم.

تساعدك هذه الآلة الحاسبة في العثور على القيم الحرجة ذات الاتجاه الواحد وذات الاتجاهين لأكثر الاختبارات الإحصائية استخدامًا، بما في ذلك اختبار Z، واختبار t، واختبار كاي-تربيع. تدعم مستويات دلالة مختلفة ودرجات حرية، مما يوفر نتائج دقيقة لتحليلاتك الإحصائية.

كيفية استخدام هذه الآلة الحاسبة

اختر نوع الاختبار:
- اختبار Z: لأحجام العينات الكبيرة أو عندما تكون تباين السكان معروفًا.
- اختبار t: عندما تكون حجم العينة صغيرًا وتباين السكان غير معروف.
- اختبار كاي-تربيع: للبيانات الفئوية واختبارات ملاءمة النموذج.
اختر نوع الذيل:
- اختبار ذو اتجاه واحد: يختبر تأثيرًا اتجاهيًا (مثل، أكبر من أو أقل من قيمة معينة).
- اختبار ذو اتجاهين: يختبر أي فرق ذو دلالة بغض النظر عن الاتجاه.
أدخل مستوى الدلالة (( \alpha )):
- قيمة بين 0 و 1 (الخيارات الشائعة هي 0.05، 0.01، 0.10).
- تمثل احتمال رفض الفرضية الصفرية عندما تكون صحيحة (خطأ من النوع الأول).
أدخل درجات الحرية (إذا كان ذلك مناسبًا):
- مطلوب لاختبارات t واختبارات كاي-تربيع.
- لاختبارات t: ( df = n - 1 )، حيث ( n ) هو حجم العينة.
- لاختبارات كاي-تربيع: ( df = ) عدد الفئات ناقص 1.
احسب:
- انقر على زر احسب للحصول على القيمة الحرجة (القيم).
- ستظهر النتيجة القيمة الحرجة (القيم) المقابلة لمدخلاتك.

الصيغة

القيمة الحرجة لاختبار Z

للتوزيع الطبيعي القياسي:

اختبار ذو اتجاه واحد: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$
اختبار ذو اتجاهين: $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)$

حيث:

( \Phi^{-1} ) هو دالة التوزيع التراكمي العكسية (دالة الكم) للتوزيع الطبيعي القياسي.

القيمة الحرجة لاختبار t

لتوزيع t مع ( df ) درجات الحرية:

اختبار ذو اتجاه واحد: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
اختبار ذو اتجاهين: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)$

حيث:

( t^{-1}(p, df) ) هو الكم p لتوزيع t مع ( df ) درجات الحرية.

القيمة الحرجة لاختبار كاي-تربيع

لتوزيع كاي-تربيع مع ( df ) درجات الحرية:

اختبار ذو اتجاه واحد: $\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}$
اختبار ذو اتجاهين (يوفر كل من القيم الحرجة السفلية والعلوية):
- القيمة الحرجة السفلية: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}$
- القيمة الحرجة العلوية: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}$

حيث:

( \chi^2_{p, df} ) هو الكم p لتوزيع كاي-تربيع.

الحساب

تقوم الآلة الحاسبة بالخطوات التالية:

التحقق من المدخلات:
- تتحقق من أن ( \alpha ) بين 0 و 1 (0 < ( \alpha ) < 1).
- تتحقق من أن ( df ) هو عدد صحيح موجب (لاختبار t واختبار كاي-تربيع).
تعديل مستوى الدلالة لنوع الذيل:
- بالنسبة للاختبارات ذات الاتجاهين، يتم تقسيم ( \alpha ) على 2.
حساب القيمة الحرجة (القيم):
- تستخدم دوال التوزيع الإحصائية للعثور على القيم الحرجة.
- تضمن الدقة حتى للقيم المتطرفة من ( \alpha ) و( df ).
عرض النتائج:
- تقدم القيم الحرجة مقربة إلى أربع منازل عشرية.
- بالنسبة للاختبارات ذات الاتجاهين لكاي-تربيع، يتم توفير كل من القيم الحرجة السفلية والعلوية.

الحالات الحدودية والاعتبارات

مستويات دلالة متطرفة (( \alpha ) بالقرب من 0 أو 1):
- تقترب القيم الحرجة من اللانهاية عندما تقترب ( \alpha ) من 0.
- عندما تكون ( \alpha ) صغيرة جدًا (مثل، أقل من ( 10^{-10} ))، قد تكون القيمة الحرجة غير محددة أو غير قابلة للحساب.
- التعامل: ستعرض الآلة الحاسبة 'Infinity' أو 'Undefined' في مثل هذه الحالات. يجب على المستخدمين تفسير هذه النتائج بعناية والنظر فيما إذا كانت مثل هذه المستويات المتطرفة من الدلالة مناسبة لتحليلهم.
درجات الحرية الكبيرة (( df )):
- مع زيادة ( df )، يقترب توزيع t وتوزيع كاي-تربيع من التوزيع الطبيعي.
- بالنسبة لـ ( df ) الكبيرة جدًا، قد تصبح القيم الحرجة غير محددة بسبب قيود حسابية.
- التعامل: توفر الآلة الحاسبة تحذيرات عندما يتجاوز ( df ) الحدود العملية للحساب. يجب النظر في استخدام اختبار Z كتقريب في مثل هذه الحالات.
درجات الحرية الصغيرة (( df \leq 1 )):
- بالنسبة لـ ( df = 1 )، يمتلك توزيع t وتوزيع كاي-تربيع ذيولًا ثقيلة.
- يمكن أن تكون القيم الحرجة كبيرة جدًا أو غير محددة.
- التعامل: تنبه الآلة الحاسبة المستخدمين إذا كان ( df ) صغيرًا جدًا للحصول على نتائج موثوقة.
اختبارات ذات اتجاه واحد مقابل اختبارات ذات اتجاهين:
- يعد اختيار نوع الذيل الصحيح أمرًا حيويًا للحصول على قيم حرجة دقيقة.
- يمكن أن يؤدي سوء الاستخدام إلى استنتاجات غير صحيحة في اختبار الفرضيات.
- الإرشاد: تأكد من أن سؤال البحث الخاص بك يتماشى مع نوع الذيل المختار.

حالات الاستخدام

تستخدم القيم الحرجة عبر مجالات مختلفة:

البحث الأكاديمي:
- اختبار الفرضيات في التجارب والدراسات.
- تحديد الدلالة الإحصائية للنتائج.
ضمان الجودة:
- مراقبة عمليات الإنتاج.
- استخدام مخططات التحكم لاكتشاف الشذوذ.
الرعاية الصحية والطب:
- تقييم فعالية العلاجات أو الأدوية الجديدة.
- تحليل نتائج التجارب السريرية.
المالية والاقتصاد:
- تقييم اتجاهات السوق ومؤشرات الاقتصاد.
- اتخاذ قرارات استثمارية مستندة إلى البيانات.

البدائل

قيم p:
- الإيجابيات:
  - توفر الاحتمال الدقيق للحصول على إحصائية اختبار على الأقل بنفس شدة القيمة الملحوظة.
  - تسمح باتخاذ قرارات أكثر دقة بدلاً من قطع صارم.
- السلبيات:
  - يمكن أن تُفسر بشكل خاطئ؛ قيمة p صغيرة لا تقيس حجم التأثير أو أهميته.
  - تعتمد على حجم العينة؛ قد تؤدي العينات الكبيرة إلى قيم p صغيرة لتأثيرات تافهة.
فترات الثقة:
- الإيجابيات:
  - تقدم نطاقًا من القيم التي من المحتمل أن يقع فيها المعامل الحقيقي.
  - توفر معلومات حول دقة التقدير.
- السلبيات:
  - لا تستخدم مباشرة لاختبار الفرضيات.
  - يمكن أن تكون التفسيرات صعبة إذا تداخلت فترات الثقة.
طرق بايزي:
- الإيجابيات:
  - تدمج المعرفة أو المعتقدات السابقة في التحليل.
  - توفر توزيع احتمالي لتقدير المعامل.
- السلبيات:
  - تتطلب تحديد توزيعات سابقة، مما قد يكون ذاتيًا.
  - تتطلب حسابات مكثفة للنماذج المعقدة.
اختبارات غير معلمية:
- الإيجابيات:
  - لا تفترض توزيعًا محددًا.
  - مفيدة عندما لا تستوفي البيانات افتراضات الاختبارات المعلمية.
- السلبيات:
  - عمومًا أقل قوة من الاختبارات المعلمية عندما يتم استيفاء الافتراضات.
  - قد تكون تفسير النتائج أقل وضوحًا.

التاريخ

تتداخل تطوير القيم الحرجة مع تطور الاستدلال الإحصائي:

أوائل القرن العشرين:
- كارل بيرسون قدم اختبار كاي-تربيع في عام 1900، مما وضع الأساس لاختبار ملاءمة النموذج.
- ويليام غوسيت (تحت الاسم المستعار "Student") طور توزيع t في عام 1908 لأحجام العينات الصغيرة.
رونالد فيشر:
- في العشرينيات، رسم فيشر مفهوم اختبار الفرضيات الإحصائية.
- قدم مصطلح "مستوى الدلالة" وأكد على اختيار القيم الحرجة المناسبة.
التطورات في الحوسبة:
- مهدت ظهور الحواسيب الطريق لحساب القيم الحرجة بدقة لمختلف التوزيعات.
- توفر البرمجيات الإحصائية الآن نتائج سريعة ودقيقة، مما يسهل الاستخدام الواسع في البحث.

أمثلة

المثال 1: حساب قيمة اختبار Z الحرجة (ذو اتجاه واحد)

السيناريو: تريد شركة اختبار ما إذا كانت عملية جديدة تقلل من متوسط وقت الإنتاج. قاموا بتحديد ( \alpha = 0.05 ).

الحل:

القيمة الحرجة: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

أمثلة على الشيفرة:

بايثون

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
print(f"القيمة الحرجة (Z_c): {Z_c:.4f}")

جافا سكريبت

// مثال جافا سكريبت لقيمة اختبار Z الحرجة
function calculateZCriticalValue(alpha) {
  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
}

const alpha = 0.05;
const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
console.log(`القيمة الحرجة (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);

ملاحظة: يتطلب مكتبة jStat لدوال الإحصاء.

إكسل

' صيغة إكسل لقيمة اختبار Z الحرجة (ذو اتجاه واحد)
' في خلية، أدخل:
=NORM.S.INV(1 - 0.05)

' النتيجة:
' تعيد 1.6449

المثال 2: حساب قيمة اختبار t الحرجة (ذو اتجاهين)

السيناريو: يجري باحث تجربة مع 20 مشاركًا (( df = 19 )) ويستخدم ( \alpha = 0.01 ).

الحل:

القيمة الحرجة: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609$

أمثلة على الشيفرة:

R

alpha <- 0.01
df <- 19
t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
print(paste("القيمة الحرجة (t_c):", round(t_c, 4)))

MATLAB

alpha = 0.01;
df = 19;
t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('القيمة الحرجة (t_c): %.4f\n', t_c);

جافا سكريبت

// مثال جافا سكريبت لقيمة اختبار t الحرجة
function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
}

const alpha = 0.01;
const df = 19;
const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
console.log(`القيمة الحرجة (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);

ملاحظة: يتطلب مكتبة jStat للإحصاءات.

إكسل

' صيغة إكسل لقيمة اختبار t الحرجة (ذو اتجاهين)
' في خلية، أدخل:
=T.INV.2T(0.01, 19)

' النتيجة:
' تعيد 2.8609

المثال 3: حساب قيم اختبار كاي-تربيع الحرجة (ذو اتجاهين)

السيناريو: يختبر محلل ملاءمة البيانات الملحوظة مع الترددات المتوقعة عبر 5 فئات (( df = 4 )) عند ( \alpha = 0.05 ).

الحل:

القيمة الحرجة السفلية: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107$
القيمة الحرجة العلوية: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433$

أمثلة على الشيفرة:

بايثون

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
df = 4
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
print(f"القيمة الحرجة السفلية: {chi2_lower:.4f}")
print(f"القيمة الحرجة العلوية: {chi2_upper:.4f}")

MATLAB

alpha = 0.05;
df = 4;
chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('القيمة الحرجة السفلية: %.4f\n', chi2_lower);
fprintf('القيمة الحرجة العلوية: %.4f\n', chi2_upper);

جافا سكريبت

// مثال جافا سكريبت لقيم اختبار كاي-تربيع الحرجة
function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
  return { lower, upper };
}

const alpha = 0.05;
const df = 4;
const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
console.log(`القيمة الحرجة السفلية: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
console.log(`القيمة الحرجة العلوية: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);

ملاحظة: يتطلب مكتبة jStat للإحصاءات.

إكسل

' صيغة إكسل لقيم اختبار كاي-تربيع الحرجة (ذو اتجاهين)
' القيمة الحرجة السفلية (في خلية):
=CHISQ.INV(0.025, 4)

' القيمة الحرجة العلوية (في خلية أخرى):
=CHISQ.INV(0.975, 4)

' النتائج:
' القيمة الحرجة السفلية: 0.7107
' القيمة الحرجة العلوية: 11.1433

المثال 4: التعامل مع القيم المتطرفة (الحالة الحدودية)

السيناريو: يتم إجراء اختبار بمستوى دلالة صغير جدًا ( \alpha = 0.0001 ) و( df = 1 ).

الحل:

بالنسبة لاختبار t ذو الاتجاه الواحد: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
تقترب القيمة الحرجة من رقم كبير جدًا.

مثال على الشيفرة (بايثون):

import scipy.stats as stats

alpha = 0.0001
df = 1
t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"القيمة الحرجة (t_c): {t_c}")

النتيجة:

ستظهر النتيجة قيمة حرجة كبيرة جدًا، مما يشير إلى أنه مع مستوى دلالة صغير جدًا ودرجات حرية منخفضة، تقترب القيمة الحرجة من اللانهاية. هذا يوضح كيف يمكن أن تؤدي المدخلات المتطرفة إلى تحديات حسابية.

التعامل في الآلة الحاسبة:

ستعيد الآلة الحاسبة 'Infinity' أو 'Undefined' في مثل هذه الحالات وستنصح المستخدمين بالتفكير في تعديل مستوى الدلالة أو استخدام طرق بديلة.

التصور

يساعد فهم القيم الحرجة من خلال تصور منحنيات التوزيع والمناطق المظللة للرفض.

التوزيع الطبيعي (اختبار Z)

0 1.96 التوزيع الطبيعي القياسي منطقة الرفض منطقة منطقة القبول منطقة القيمة الحرجة

رسم توضيحي بتنسيق SVG يوضح التوزيع الطبيعي القياسي مع تحديد القيم الحرجة. تمثل المنطقة التي تتجاوز القيمة الحرجة منطقة الرفض. يمثل المحور السيني درجة z، ويمثل المحور الصادي دالة كثافة الاحتمال f(z).

توزيع t

0 -2.101 2.101 توزيع t (df = 20) منطقة الرفض اليسرى منطقة منطقة الرفض اليمنى منطقة منطقة القبول منطقة القيمة الحرجة القيمة الحرجة

رسم توضيحي بتنسيق SVG يوضح توزيع t لدرجات حرية محددة مع تحديد القيم الحرجة. من الجدير بالذكر أن توزيع t له ذيول أثقل مقارنة بالتوزيع الطبيعي.

توزيع كاي-تربيع

χ² كثافة الاحتمال توزيع كاي-تربيع اختبار ذو اتجاهين

رسم توضيحي بتنسيق SVG يوضح توزيع كاي-تربيع مع تحديد القيم الحرجة السفلية والعلوية لاختبار ذو اتجاهين. يتميز التوزيع بكونه مائلًا إلى اليمين.

ملاحظة: تم تضمين الرسوم التوضيحية بتنسيق SVG في المحتوى لتعزيز الفهم. كل رسم توضيحي مُعَلَّم بدقة، وتم اختيار الألوان لتكون متوافقة مع Tailwind CSS.

المراجع

بيرسون، ك. (1900). حول المعيار الذي يمكن أن تنشأ منه مجموعة معينة من الانحرافات عن المحتمل في حالة نظام متغيرات مرتبط. مجلة الفلسفة السلسلة 5، 50(302)، 157–175. رابط
Student (غوسيت، و. س.) (1908). الخطأ المحتمل لمتوسط. بيومتركا، 6(1)، 1–25. رابط
فيشر، ر. أ. (1925). طرق إحصائية لعمال البحث. إدنبرة: أوليفر وبويد.
NIST/SEMATECH دليل e-Handbook لطرق الإحصاء. القيم الحرجة. رابط
ويكيبيديا. القيمة الحرجة. رابط

الأدوات ذات الصلة

حاسبة درجة Z - احسب الدرجة المعيارية لأي نقطة بيانات

حاسبة حجم المخاريط الكاملة والمقطوعة بدقة عالية

حاسبة الدرجات الأصلية من المتوسط والانحراف المعياري