Whiz Tools

Критичен стойностен калкулатор

Въведение

Критичните стойности са съществени в статистическото хипотетично тестване. Те определят прага, при който отхвърляме нулевата хипотеза в полза на алтернативната хипотеза. Чрез изчисляване на критичната стойност, изследователите могат да определят дали техният тестов статистик попада в региона на отхвърляне и да вземат информирани решения на базата на данните си.

Този калкулатор ви помага да намерите едностранни и двустранни критични стойности за най-често използваните статистически тестове, включително Z-тест, t-тест и тест на хи-квадрат. Той поддържа различни нива на значимост и степени на свобода, предоставяйки точни резултати за вашите статистически анализи.

Как да използвате този калкулатор

  1. Изберете типа тест:

    • Z-тест: За големи размери на пробата или известна популационна дисперсия.
    • t-тест: Когато размерът на пробата е малък и популационната дисперсия е неизвестна.
    • Тест на хи-квадрат: За категорийни данни и тестове за добив на съвпадение.

  2. Изберете типа на опашката:

    • Едностранен тест: Тества за насочен ефект (например, по-голямо или по-малко от определена стойност).
    • Двустранен тест: Тества за всяка значима разлика независимо от посоката.

  3. Въведете нивото на значимост (( \alpha )):

    • Стойност между 0 и 1 (често срещаните избори са 0.05, 0.01, 0.10).
    • Представлява вероятността за отхвърляне на нулевата хипотеза, когато тя е вярна (грешка от тип I).

  4. Въведете степените на свобода (ако е приложимо):

    • Изисква се за t-тестове и тестове на хи-квадрат.
    • За t-тестове: ( df = n - 1 ), където ( n ) е размерът на пробата.
    • За тестове на хи-квадрат: ( df = ) брой категории минус 1.

  5. Изчислете:

    • Кликнете бутона Изчисли, за да получите критичната стойност(и).
    • Резултатът ще покаже критичната стойност(и), съответстваща на вашите входни данни.

Формула

Критична стойност на Z-теста

За стандартното нормално разпределение:

  • Едностранен тест: Zc=Φ−1(1−α)Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)
  • Двустранен тест: Zc=Φ−1(1−α2)Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)

Където:

  • ( \Phi^{-1} ) е обратната кумулативна функция на разпределението (функция на квантилите) на стандартното нормално разпределение.

Критична стойност на t-теста

За t-разпределението с ( df ) степени на свобода:

  • Едностранен тест: tc=t−1(1−α,df)t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)
  • Двустранен тест: tc=t−1(1−α2,df)t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)

Където:

  • ( t^{-1}(p, df) ) е p-тият квантил на t-разпределението с ( df ) степени на свобода.

Критична стойност на теста на хи-квадрат

За хи-квадрат разпределението с ( df ) степени на свобода:

  • Едностранен тест: χc2=χ1−α,df2\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}
  • Двустранен тест (предоставя както долна, така и горна критична стойност):
    • Долна критична стойност: χlower2=χα/2,df2\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}
    • Горна критична стойност: χupper2=χ1−α/2,df2\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}

Където:

  • ( \chi^2_{p, df} ) е p-тият квантил на хи-квадрат разпределението.

Изчисление

Калкулаторът извършва следните стъпки:

  1. Валидиране на входа:

    • Проверява, че ( \alpha ) е между 0 и 1 (0 < ( \alpha ) < 1).
    • Проверява, че ( df ) е положително цяло число (за t-тест и тест на хи-квадрат).

  2. Настройка на нивото на значимост за типа на опашката:

    • За двустранни тестове, ( \alpha ) се разделя на 2.

  3. Изчисляване на критичната стойност(и):

    • Използва статистически функции за разпределение, за да намери критичните стойности.
    • Осигурява точност дори за крайни стойности на ( \alpha ) и ( df ).

  4. Показване на резултатите:

    • Представя критичните стойности, закръглени до четири десетични знака.
    • За двустранни тестове на хи-квадрат, се предоставят както долната, така и горната критична стойност.

Краен случай и съображения

  • Крайни нива на значимост (( \alpha ) близо до 0 или 1):

    • Критичните стойности приближават безкрайност, когато ( \alpha ) приближава 0.
    • Когато ( \alpha ) е изключително малко (например, по-малко от ( 10^{-10} )), критичната стойност може да е компютърно безкрайна или неопределена.
    • Обработка: Калкулаторът ще покаже 'Безкрайност' или 'Неопределено' за такива случаи. Потребителите трябва да интерпретират тези резултати внимателно и да обмислят дали такива крайни нива на значимост са подходящи за техния анализ.

  • Големи степени на свобода (( df )):

    • С увеличаване на ( df ), t-разпределението и хи-квадрат разпределението приближават нормалното разпределение.
    • За много големи ( df ), критичните стойности може да станат неопределени поради компютърни ограничения.
    • Обработка: Калкулаторът предоставя предупреждения, когато ( df ) надвишава практическите компютърни лимити. Обмислете използването на Z-тест като приближение в такива случаи.

  • Малки степени на свобода (( df \leq 1 )):

    • За ( df = 1 ), t-разпределението и хи-квадрат разпределението имат тежки опашки.
    • Критичните стойности могат да бъдат много големи или неопределени.
    • Обработка: Калкулаторът предупреждава потребителите, ако ( df ) е твърде малък за надеждни резултати.

  • Едностранни срещу двустранни тестове:

    • Изборът на правилния тип опашка е от решаващо значение за точните критични стойности.
    • Неправилното използване може да доведе до неправилни заключения в хипотетичното тестване.
    • Напътствия: Уверете се, че вашият изследователски въпрос съответства на избрания тип опашка.

Приложения

Критичните стойности се използват в различни области:

  1. Академични изследвания:

    • Тестване на хипотези в експерименти и проучвания.
    • Определяне на статистическата значимост на резултатите.

  2. Контрол на качеството:

    • Наблюдение на производствени процеси.
    • Използване на контролни графики за откриване на аномалии.

  3. Здравеопазване и медицина:

    • Оценка на ефективността на нови лечения или медикаменти.
    • Анализ на резултатите от клинични изпитвания.

  4. Финанси и икономика:

    • Оценка на пазарни тенденции и икономически индикатори.
    • Вземане на решения за инвестиции на базата на данни.

Алтернативи

  • p-стойности:

    • Предимства:
      • Предоставят точната вероятност за получаване на тестова статистика, поне толкова екстремна, колкото наблюдаваната стойност.
      • Позволяват по-нюансирано вземане на решения, вместо строго разделение.
    • Недостатъци:
      • Могат да бъдат неправилно интерпретирани; малка p-стойност не измерва размера на ефекта или неговата важност.
      • Зависят от размера на пробата; големите проби могат да доведат до малки p-стойности за тривиални ефекти.

  • Доверителни интервали:

    • Предимства:
      • Предоставят диапазон от стойности, в който истинският параметър вероятно ще попадне.
      • Предоставят информация за прецизността на оценката.
    • Недостатъци:
      • Не се използват директно за хипотетично тестване.
      • Интерпретацията може да бъде предизвикателна, ако доверителните интервали се припокриват.

  • Байесови методи:

    • Предимства:
      • Включват предишни знания или убеждения в анализа.
      • Предоставят вероятностно разпределение на оценката на параметъра.
    • Недостатъци:
      • Изискват спецификация на предишни разпределения, което може да бъде субективно.
      • Компютърно интензивни за сложни модели.

  • Непараметрични тестове:

    • Предимства:
      • Не предполагат специфично разпределение.
      • Полезни, когато данните не отговарят на предпоставките на параметричните тестове.
    • Недостатъци:
      • Обикновено по-малко мощни от параметричните тестове, когато предпоставките са изпълнени.
      • Интерпретацията на резултатите може да бъде по-малко ясна.

История

Развитието на критичните стойности е свързано с еволюцията на статистическото извеждане:

  • Началото на 20-ти век:

    • Карл Пиърсън представя теста на хи-квадрат през 1900 г., полагайки основите на тестовете за добив на съвпадение.
    • Уилям Госет (под псевдонима "Студент") разработва t-разпределението през 1908 г. за малки размери на пробата.

  • Роналд Фишър:

    • През 1920-те години Фишър формализира концепцията за статистическото хипотетично тестване.
    • Въведе термина "ниво на значимост" и подчерта важността на избора на подходящи критични стойности.

  • Напредък в компютрите:

    • Появата на компютри позволи прецизно изчисление на критичните стойности за различни разпределения.
    • Статистически софтуер сега предоставя бързи и точни резултати, улеснявайки широко използване в изследванията.

Примери

Пример 1: Изчисляване на критичната стойност на Z-теста (едностранен)

Сценарий: Компания иска да тества дали нов процес намалява средното време за производство. Те задават ( \alpha = 0.05 ).

Решение:

  • Критична стойност: Zc=Φ−1(1−α)=Φ−1(0.95)≈1.6449Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449

Примери с код:

Python
import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
print(f"Критична стойност (Z_c): {Z_c:.4f}")
JavaScript
// Пример на JavaScript за критичната стойност на Z-теста
function calculateZCriticalValue(alpha) {
  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
}

const alpha = 0.05;
const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
console.log(`Критична стойност (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);

Забележка: Изисква библиотеката jStat за статистически функции.

Excel
' Excel формула за критичната стойност на Z-теста (едностранен)
' В клетка, въведете:
=NORM.S.INV(1 - 0.05)

' Резултат:
' Връща 1.6449

Пример 2: Изчисляване на критичната стойност на t-теста (двустранен)

Сценарий: Изследовател провежда експеримент с 20 участници (( df = 19 )) и използва ( \alpha = 0.01 ).

Решение:

  • Критична стойност: tc=t−1(1−α2,df)=t−1(0.995,19)≈2.8609t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609

Примери с код:

R
alpha <- 0.01
df <- 19
t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
print(paste("Критична стойност (t_c):", round(t_c, 4)))
MATLAB
alpha = 0.01;
df = 19;
t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('Критична стойност (t_c): %.4f\n', t_c);
JavaScript
// Пример на JavaScript за критичната стойност на t-теста
function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
}

const alpha = 0.01;
const df = 19;
const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
console.log(`Критична стойност (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);

Забележка: Изисква библиотеката jStat за статистически функции.

Excel
' Excel формула за критичната стойност на t-теста (двустранен)
' В клетка, въведете:
=T.INV.2T(0.01, 19)

' Резултат:
' Връща 2.8609

Пример 3: Изчисляване на критичните стойности на теста на хи-квадрат (двустранен)

Сценарий: Анализатор тества съвпадението на наблюдаваните данни с очакваните честоти в 5 категории (( df = 4 )) на ( \alpha = 0.05 ).

Решение:

  • Долна критична стойност: χlower2=χα/2,df2=χ0.025,42≈0.7107\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107
  • Горна критична стойност: χupper2=χ1−α/2,df2=χ0.975,42≈11.1433\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433

Примери с код:

Python
import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
df = 4
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
print(f"Долна критична стойност: {chi2_lower:.4f}")
print(f"Горна критична стойност: {chi2_upper:.4f}")
MATLAB
alpha = 0.05;
df = 4;
chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('Долна критична стойност: %.4f\n', chi2_lower);
fprintf('Горна критична стойност: %.4f\n', chi2_upper);
JavaScript
// Пример на JavaScript за критичните стойности на теста на хи-квадрат
function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
  return { lower, upper };
}

const alpha = 0.05;
const df = 4;
const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
console.log(`Долна критична стойност: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
console.log(`Горна критична стойност: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);

Забележка: Изисква библиотеката jStat за статистически функции.

Excel
' Excel формули за критичните стойности на теста на хи-квадрат (двустранен)
' Долна критична стойност (в клетка):
=CHISQ.INV(0.025, 4)

' Горна критична стойност (в друга клетка):
=CHISQ.INV(0.975, 4)

' Резултати:
' Долна критична стойност: 0.7107
' Горна критична стойност: 11.1433

Пример 4: Обработка на крайни стойности (краен случай)

Сценарий: Тестът се провежда с много малко ниво на значимост ( \alpha = 0.0001 ) и ( df = 1 ).

Решение:

  • За едностранен t-тест: tc=t−1(1−α,df)t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)

  • Критичната стойност приближава много голямо число.

Пример с код (Python):

import scipy.stats as stats

alpha = 0.0001
df = 1
t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"Критична стойност (t_c): {t_c}")

Резултат:

Изходът ще покаже много голяма критична стойност, което показва, че с такова малко ( \alpha ) и ниско ( df ), критичната стойност е изключително висока, потенциално приближаваща безкрайност. Това илюстрира как крайни входове могат да доведат до компютърни предизвикателства.

Обработка в калкулатора:

Калкулаторът ще върне 'Безкрайност' или 'Неопределено' за такива случаи и ще посъветва потребителя да обмисли коригиране на нивото на значимост или използване на алтернативни методи.

Визуализация

Разбирането на критичните стойности е улеснено чрез визуализиране на кривите на разпределение и сенчестите региони на отхвърляне.

Нормално разпределение (Z-тест)

z f(z)

0 1.96 Стандартно нормално разпределение Регион на отхвърляне Регион на приемане Критична стойност

SVG диаграма, илюстрираща стандартното нормално разпределение с маркирани критични стойности. Областта извън критичната стойност представлява региона на отхвърляне. X-оста представлява z-стойността, а Y-оста представлява функцията на плътността на вероятността f(z).

t-разпределение

t f(t)

0 -2.101 2.101 t-разпределение (df = 20) Ляв регион на отхвърляне Десен регион на отхвърляне Регион на приемане Критична стойност Критична стойност

SVG диаграма, показваща t-разпределението за определени степени на свобода с маркирани критични стойности. Забележително е, че t-разпределението има по-тежки опашки в сравнение с нормалното разпределение.

Хи-квадрат разпределение

χ²L χ²U

χ² Плътност на вероятността Хи-квадрат разпределение Двустранен тест

SVG диаграма, изобразяваща хи-квадрат разпределението с маркирани долни и горни критични стойности за двустранен тест. Разпределението е изкривено надясно.

Забележка: SVG диаграмите са вградени в съдържанието, за да улеснят разбирането. Всяка диаграма е точно етикетирана, а цветовете са избрани да бъдат допълващи на Tailwind CSS.

Референции

  1. Пиърсън, К. (1900). За критерия, че дадена система от отклонения от вероятното в случая на корелирана система от променливи е такава, че може разумно да се предположи, че е произлязла от случайно вземане на проби. Философски списания Серия 5, 50(302), 157–175. Линк

  2. Студент (Госет, У. С.) (1908). Вероятната грешка на средната стойност. Биометрика, 6(1), 1–25. Линк

  3. Фишър, Р. А. (1925). Статистически методи за изследователи. Единбург: Оливър и Бойд.

  4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Критични стойности. Линк

  5. Уикипедия. Критична стойност. Линк

Свързани инструменти

Калкулатор за Z-оценка и статистически анализ на данни
Калкулатор за обем на конуси и отрязани конуси
Калкулатор за изчисляване на сурови оценки и статистики
Feedback