Calculadora de Valors Crítics per a Tests Estadístics

Calculadora de Valors Crítics

Introducció

Els valors crítics són essencials en les proves d'hipòtesi estadística. Definixen el llindar a partir del qual rebutgem la hipòtesi nul·la a favor de la hipòtesi alternativa. En calcular el valor crític, els investigadors poden determinar si la seva estadística de prova cau dins de la regió de rebuig i prendre decisions informades basades en les seves dades.

Aquesta calculadora t'ajuda a trobar els valors crítics d'una cua i de dues cues per a les proves estadístiques més comunament utilitzades, incloent la prova Z, la prova t i la prova Chi-quadrat. Admet diversos nivells de significació i graus de llibertat, proporcionant resultats precisos per a les teves anàlisis estadístiques.

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

Selecciona el Tipus de Prova:
- Prova Z: Per a tamanys de mostra grans o variància poblacional coneguda.
- Prova t: Quan el tamany de la mostra és petit i la variància poblacional és desconeguda.
- Prova Chi-quadrat: Per a dades categòriques i proves de bondat d'ajust.
Tria el Tipus de Cua:
- Prova d'una cua: Prova per un efecte direccional (per exemple, més gran o més petit que un cert valor).
- Prova de dues cues: Prova per qualsevol diferència significativa independentment de la direcció.
Introdueix el Nivell de Significació (( \alpha )):
- Un valor entre 0 i 1 (les eleccions comunes són 0.05, 0.01, 0.10).
- Representa la probabilitat de rebutjar la hipòtesi nul·la quan és certa (error de tipus I).
Introdueix els Graus de Llibertat (si s'escau):
- Necessari per a les proves t i Chi-quadrat.
- Per a les proves t: ( df = n - 1 ), on ( n ) és el tamany de la mostra.
- Per a les proves Chi-quadrat: ( df = ) nombre de categories menys 1.
Calcula:
- Fes clic al botó Calcular per obtenir el(s) valor(s) crític(s).
- El resultat mostrarà el(s) valor(s) crític(s) corresponent(s) a les teves entrades.

Fórmula

Valor Crític de la Prova Z

Per a la distribució normal estàndard:

Prova d'una cua: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$
Prova de dues cues: $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)$

On:

( \Phi^{-1} ) és la funció inversa de distribució acumulada (funció quantil) de la distribució normal estàndard.

Valor Crític de la Prova t

Per a la distribució t amb ( df ) graus de llibertat:

Prova d'una cua: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
Prova de dues cues: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)$

On:

( t^{-1}(p, df) ) és el p-è quantil de la distribució t amb ( df ) graus de llibertat.

Valor Crític de la Prova Chi-quadrat

Per a la distribució Chi-quadrat amb ( df ) graus de llibertat:

Prova d'una cua: $\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}$
Prova de dues cues (proporciona tant el valor crític inferior com l'uperior):
- Valor crític inferior: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}$
- Valor crític superior: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}$

On:

( \chi^2_{p, df} ) és el p-è quantil de la distribució Chi-quadrat.

Càlcul

La calculadora realitza els següents passos:

Validació de les Entrades:
- Comprova que ( \alpha ) estigui entre 0 i 1 (0 < ( \alpha ) < 1).
- Verifica que ( df ) sigui un enter positiu (per a la prova t i la prova Chi-quadrat).
Ajust del Nivell de Significació per Tipus de Cua:
- Per a les proves de dues cues, ( \alpha ) es divideix per 2.
Calcular el(s) Valor(s) Crític(s):
- Utilitza funcions de distribució estadística per trobar els valors crítics.
- Assegura la precisió fins i tot per a valors extrems de ( \alpha ) i ( df ).
Mostrar Resultats:
- Presenta els valors crítics arrodonits a quatre decimals.
- Per a les proves Chi-quadrat de dues cues, es proporcionen tant els valors crítics inferiors com superiors.

Casos Límit i Consideracions

Nivells de Significació Extrems (( \alpha ) proper a 0 o 1):
- Els valors crítics s'aproximen a la infinitud a mesura que ( \alpha ) s'aproxima a 0.
- Quan ( \alpha ) és extremadament petit (per exemple, menys de ( 10^{-10} )), el valor crític pot ser computacionalment infinit o indefinit.
- Gestió: La calculadora mostrarà 'Infinit' o 'Indefinit' per a tals casos. Els usuaris han d'interpretar aquests resultats amb cura i considerar si tals nivells de significació extrems són apropiats per a la seva anàlisi.
Graus de Llibertat Grans (( df )):
- A mesura que ( df ) augmenta, la distribució t i la distribució Chi-quadrat s'aproximen a la distribució normal.
- Per a ( df ) molt grans, els valors crítics poden esdevenir indefinits a causa de limitacions computacionals.
- Gestió: La calculadora proporciona advertències quan ( df ) supera els límits computacionals pràctics. Considera utilitzar la prova Z com a aproximació en tals casos.
Graus de Llibertat Petits (( df \leq 1 )):
- Per a ( df = 1 ), la distribució t i la distribució Chi-quadrat tenen cua pesada.
- Els valors crítics poden ser molt grans o indefinits.
- Gestió: La calculadora alerta els usuaris si ( df ) és massa petit per obtenir resultats fiables.
Proves d'una Cua vs. Proves de Dues Cues:
- Seleccionar el tipus de cua correcte és crucial per obtenir valors crítics precisos.
- L'ús incorrecte pot portar a conclusions incorrectes en les proves d'hipòtesi.
- Orientació: Assegura't que la teva pregunta de recerca s'alineï amb el tipus de cua escollit.

Casos d'Ús

Els valors crítics s'utilitzen en diversos dominis:

Investigació Acadèmica:
- Provar hipòtesis en experiments i estudis.
- Determinar la significació estadística dels resultats.
Assegurança de Qualitat:
- Monitoritzar processos de producció.
- Utilitzar gràfics de control per detectar anomalies.
Salut i Medicina:
- Avaluar l'eficàcia de nous tractaments o medicaments.
- Analitzar els resultats d'assajos clínics.
Finances i Economia:
- Avaluar tendències del mercat i indicadors econòmics.
- Prendre decisions d'inversió basades en dades.

Alternatives

p-valors:
- Pros:
  - Proporcionen la probabilitat exacta d'obtenir una estadística de prova tan extrema com el valor observat.
  - Permeten una presa de decisions més matisada en lloc d'un tall estrictament.
- Contres:
  - Poden ser malinterpretats; un p-valor petit no mesura la magnitud d'un efecte o la seva importància.
  - Depenent de la mida de la mostra; mostres grans poden produir p-valors petits per efectes trivials.
Intervals de Confiança:
- Pros:
  - Ofereixen un rang de valors dins del qual és probable que caigui el veritable paràmetre.
  - Proporcionen informació sobre la precisió de l'estimació.
- Contres:
  - No s'utilitzen directament per a proves d'hipòtesi.
  - La interpretació pot ser complicada si els intervals de confiança s'entrellacen.
Mètodes Bayesians:
- Pros:
  - Incorporen coneixements o creences prèvies en l'anàlisi.
  - Proporcionen una distribució de probabilitat de l'estimació del paràmetre.
- Contres:
  - Requereixen l'especificació de distribucions prèvies, que poden ser subjectives.
  - Intensius en càlcul per a models complexos.
Proves No Paramètriques:
- Pros:
  - No assumeixen una distribució específica.
  - Útils quan les dades no compleixen les suposicions de les proves paramètriques.
- Contres:
  - Generalment menys potents que les proves paramètriques quan es compleixen les suposicions.
  - La interpretació dels resultats pot ser menys directa.

Història

El desenvolupament dels valors crítics està entrellaçat amb l'evolució de la inferència estadística:

Inici del segle XX:
- Karl Pearson va introduir la prova Chi-quadrat el 1900, establint les bases per a les proves de bondat d'ajust.
- William Gosset (sota el pseudònim "Student") va desenvolupar la distribució t el 1908 per a tamanys de mostra petits.
Ronald Fisher:
- A la dècada de 1920, Fisher va formalitzar el concepte de proves d'hipòtesi estadística.
- Va introduir el terme "nivell de significació" i va emfatitzar la selecció de valors crítics apropiats.
Avanços en Computació:
- L'aparició dels ordinadors va permetre el càlcul precís dels valors crítics per a diverses distribucions.
- El programari estadístic ara proporciona resultats ràpids i precisos, facilitant l'ús generalitzat en la recerca.

Exemples

Exemple 1: Calculant un Valor Crític de Prova Z (Una Cua)

Escenari: Una empresa vol provar si un nou procés redueix el temps mitjà de producció. Estableixen ( \alpha = 0.05 ).

Solució:

Valor crític: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Exemples de Codi:

Python

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
print(f"Valor Crític (Z_c): {Z_c:.4f}")

JavaScript

// Exemple de JavaScript per a valor crític de la prova Z
function calculateZCriticalValue(alpha) {
  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
}

const alpha = 0.05;
const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
console.log(`Valor Crític (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);

Nota: Requereix la biblioteca jStat per a funcions estadístiques.

Excel

' Fórmula d'Excel per a valor crític de la prova Z (una cua)
' En una cel·la, introdueix:
=NORM.S.INV(1 - 0.05)

' Resultat:
' Retorna 1.6449

Exemple 2: Calculant un Valor Crític de Prova t (Dues Cues)

Escenari: Un investigador realitza un experiment amb 20 participants (( df = 19 )) i utilitza ( \alpha = 0.01 ).

Solució:

Valor crític: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609$

Exemples de Codi:

R

alpha <- 0.01
df <- 19
t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
print(paste("Valor Crític (t_c):", round(t_c, 4)))

MATLAB

alpha = 0.01;
df = 19;
t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('Valor Crític (t_c): %.4f\n', t_c);

JavaScript

// Exemple de JavaScript per a valor crític de la prova t
function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
}

const alpha = 0.01;
const df = 19;
const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
console.log(`Valor Crític (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);

Nota: Requereix la biblioteca jStat.

Excel

' Fórmula d'Excel per a valor crític de la prova t (dues cues)
' En una cel·la, introdueix:
=T.INV.2T(0.01, 19)

' Resultat:
' Retorna 2.8609

Exemple 3: Calculant Valors Crítics de la Prova Chi-quadrat (Dues Cues)

Escenari: Un analista prova l'ajust de dades observades amb freqüències esperades en 5 categories (( df = 4 )) a ( \alpha = 0.05 ).

Solució:

Valor crític inferior: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107$
Valor crític superior: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433$

Exemples de Codi:

Python

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
df = 4
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
print(f"Valor Crític Inferior: {chi2_lower:.4f}")
print(f"Valor Crític Superior: {chi2_upper:.4f}")

MATLAB

alpha = 0.05;
df = 4;
chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('Valor Crític Inferior: %.4f\n', chi2_lower);
fprintf('Valor Crític Superior: %.4f\n', chi2_upper);

JavaScript

// Exemple de JavaScript per a valors crítics de la prova Chi-quadrat
function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
  return { lower, upper };
}

const alpha = 0.05;
const df = 4;
const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
console.log(`Valor Crític Inferior: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
console.log(`Valor Crític Superior: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);

Nota: Requereix la biblioteca jStat.

Excel

' Fórmules d'Excel per a valors crítics de la prova Chi-quadrat (dues cues)
' Valor crític inferior (en una cel·la):
=CHISQ.INV(0.025, 4)

' Valor crític superior (en una altra cel·la):
=CHISQ.INV(0.975, 4)

' Resultats:
' Valor Crític Inferior: 0.7107
' Valor Crític Superior: 11.1433

Exemple 4: Gestió de Valors Extrems (Cas Límit)

Escenari: Es realitza una prova amb un nivell de significació molt petit ( \alpha = 0.0001 ) i ( df = 1 ).

Solució:

Per a una prova t d'una cua: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
El valor crític s'aproxima a un nombre molt gran.

Exemple de Codi (Python):

import scipy.stats as stats

alpha = 0.0001
df = 1
t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"Valor Crític (t_c): {t_c}")

Resultat:

La sortida mostrarà un valor crític molt gran, indicant que amb un ( \alpha ) tan petit i un ( df ) baix, el valor crític és extremadament alt, potencialment apropant-se a la infinitud. Això exemplifica com les entrades extremes poden portar a desafiaments computacionals.

Gestió en la Calculadora:

La calculadora retornarà 'Infinit' o 'Indefinit' per a tals casos i aconsellarà a l'usuari que consideri ajustar el nivell de significació o utilitzar mètodes alternatius.

Visualització

Entendre els valors crítics es facilita visualitzant les corbes de distribució i les regions de rebuig ombrejades.

Distribució Normal (Prova Z)

0 1.96 Distribució Normal Estàndard Regió de Rebuig Regió d' Acceptació Valor Crític

Un diagrama SVG que il·lustra la distribució normal estàndard amb el(s) valor(s) crític(s) marcats. L'àrea més enllà del valor crític representa la regió de rebuig. L'eix X representa el valor z, i l'eix Y representa la funció de densitat de probabilitat f(z).

Distribució t

0 -2.101 2.101 Distribució t (df = 20) Regió de Rebuig Esquerra Regió de Rebuig Dreta Regió d' Acceptació Valor Crític Valor Crític

Un diagrama SVG que mostra la distribució t per a uns graus de llibertat especificats amb el(s) valor(s) crític(s) marcats. Notablement, la distribució t té cues més pesades en comparació amb la distribució normal.

Distribució Chi-quadrat

χ² Densitat de Probabilitat Distribució Chi-quadrat Prova de dues cues

Un diagrama SVG que representa la distribució Chi-quadrat amb els valors crítics inferiors i superiors marcats per a una prova de dues cues. La distribució està desplaçada a la dreta.

Nota: Els diagrames SVG estan incrustats en el contingut per millorar la comprensió. Cada diagrama està etiquetat amb precisió, i els colors són escollits per ser complementaris a Tailwind CSS.

Referències

Pearson, K. (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. Philosophical Magazine Series 5, 50(302), 157–175. Enllaç
Student (Gosset, W. S.) (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1), 1–25. Enllaç
Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Valors Crítics. Enllaç
Wikipedia. Valor Crític. Enllaç

Eines relacionades

Calculadora de Z-Score per a Anàlisi Estadística

Calculadora de volum de cons i cons truncats

Calculadora de Puntuació Bruta per a Estadístiques