מחשבון ערכים קריטיים לבדיקות סטטיסטיות שונות

מחשבון ערכים קריטיים

מבוא

ערכים קריטיים הם חיוניים בבדיקת השערות סטטיסטיות. הם מגדירים את הסף שבו אנו דוחים את השערת האפס לטובת השערת החלופין. על ידי חישוב הערך הקריטי, חוקרים יכולים לקבוע אם הסטטיסטיקה של המבחן שלהם נופלת בתחום הדחייה ולקבל החלטות מושכלות בהתבסס על הנתונים שלהם.

המחשבון הזה עוזר לך למצוא את הערכים הקריטיים חד-צדדיים ושני-צדדיים עבור המבחנים הסטטיסטיים הנפוצים ביותר, כולל מבחן Z, מבחן t, ומבחן חי-בריבוע. הוא תומך ברמות משמעות שונות ובדרגות חופש, ומספק תוצאות מדויקות לניתוחים הסטטיסטיים שלך.

כיצד להשתמש במחשבון הזה

בחר את סוג המבחן:
- מבחן Z: עבור גדלי דגימה גדולים או שונות אוכלוסייה ידועה.
- מבחן t: כאשר גודל הדגימה קטן והשונות של האוכלוסייה אינה ידועה.
- מבחן חי-בריבוע: עבור נתונים קטגוריאליים ומבחני התאמה.
בחר את סוג הזנב:
- מבחן חד-צדדי: בודק השפעה כיוונית (למשל, יותר גדול או פחות קטן מערך מסוים).
- מבחן שני-צדדי: בודק כל הבדל משמעותי ללא קשר לכיוון.
הכנס את רמת המשמעות (( \alpha )):
- ערך בין 0 ל-1 (בחירות נפוצות הן 0.05, 0.01, 0.10).
- מייצג את הסבירות לדחות את השערת האפס כאשר היא נכונה (שגיאת סוג I).
הכנס את דרגות החופש (אם רלוונטי):
- דרוש עבור מבחני t ומבחני חי-בריבוע.
- עבור מבחני t: ( df = n - 1 ), כאשר ( n ) הוא גודל הדגימה.
- עבור מבחני חי-בריבוע: ( df = ) מספר הקטגוריות פחות 1.
חשב:
- לחץ על כפתור חשב כדי לקבל את הערך הקריטי(ים).
- התוצאה תציג את הערך הקריטי(ים) התואמים לקלטים שלך.

נוסחה

ערך קריטי מבחן Z

עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית:

מבחן חד-צדדי: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$
מבחן שני-צדדי: $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)$

כאשר:

( \Phi^{-1} ) היא פונקציית ההפוכה של פונקציית ההתפלגות המצטברת (פונקציית הקוונטיל) של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

ערך קריטי מבחן t

עבור התפלגות t עם ( df ) דרגות חופש:

מבחן חד-צדדי: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
מבחן שני-צדדי: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)$

כאשר:

( t^{-1}(p, df) ) הוא הקוונטיל ה-p של התפלגות t עם ( df ) דרגות חופש.

ערך קריטי מבחן חי-בריבוע

עבור התפלגות חי-בריבוע עם ( df ) דרגות חופש:

מבחן חד-צדדי: $\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}$
מבחן שני-צדדי (מספק גם ערכים קריטיים תחתונים ועליונים):
- ערך קריטי תחתון: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}$
- ערך קריטי עליון: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}$

כאשר:

( \chi^2_{p, df} ) הוא הקוונטיל ה-p של התפלגות חי-בריבוע.

חישוב

המחשבון מבצע את הצעדים הבאים:

אימות קלטים:
- בודק ש-( \alpha ) הוא בין 0 ל-1 (0 < ( \alpha ) < 1).
- מאמת ש-( df ) הוא מספר שלם חיובי (עבור מבחני t ומבחני חי-בריבוע).
התאמת רמת המשמעות עבור סוג הזנב:
- עבור מבחנים שני-צדדיים, ( \alpha ) מחולק ב-2.
חישוב הערך הקריטי(ים):
- משתמש בפונקציות התפלגות סטטיסטיות כדי למצוא את הערכים הקריטיים.
- מבטיח דיוק גם עבור ערכי ( \alpha ) קיצוניים ו-( df ).
הצגת תוצאות:
- מציג את הערכים הקריטיים מעוגלים לארבע ספרות אחרי הנקודה.
- עבור מבחני חי-בריבוע שני-צדדיים, מסופקים גם הערכים הקריטיים התחתונים והעליונים.

מקרים קיצוניים ושיקולים

רמות משמעות קיצוניות (( \alpha ) קרוב ל-0 או 1):
- הערכים הקריטיים מתקרבים לאינסוף כאשר ( \alpha ) מתקרב ל-0.
- כאשר ( \alpha ) הוא קיצוני מאוד (למשל, פחות מ-( 10^{-10} )), הערך הקריטי עשוי להיות אינסופי או לא מוגדר.
- טיפול: המחשבון יציג 'אינסוף' או 'לא מוגדר' עבור מקרים כאלה. המשתמשים צריכים לפרש תוצאות אלו בזהירות ולשקול אם רמות משמעות קיצוניות כאלה מתאימות לניתוח שלהם.
דרגות חופש גדולות (( df )):
- ככל ש-( df ) גדל, התפלגות t והתפלגות חי-בריבוע מתקרבות להתפלגות נורמלית.
- עבור ( df ) מאוד גדולים, הערכים הקריטיים עשויים להיות לא מוגדרים עקב מגבלות חישוביות.
- טיפול: המחשבון מספק אזהרות כאשר ( df ) חורג מגבולות חישוביים מעשיים. שקול להשתמש במבחן Z כהערכה במקרים כאלה.
דרגות חופש קטנות (( df \leq 1 )):
- עבור ( df = 1 ), להתפלגות t ולהתפלגות חי-בריבוע יש זנבות כבדים.
- הערכים הקריטיים יכולים להיות מאוד גדולים או לא מוגדרים.
- טיפול: המחשבון מזהיר את המשתמשים אם ( df ) קטן מדי עבור תוצאות מהימנות.
מבחנים חד-צדדיים מול שני-צדדיים:
- בחירת סוג הזנב הנכון היא קריטית עבור ערכים קריטיים מדויקים.
- שימוש שגוי יכול להוביל למסקנות שגויות בבדיקת השערות.
- הנחיה: ודא ששאלת המחקר שלך מתאימה לסוג הזנב הנבחר.

שימושים

ערכים קריטיים משמשים בתחומים שונים:

מחקר אקדמי:
- בדיקת השערות בניסויים ובמחקרים.
- קביעת משמעות סטטיסטית של תוצאות.
בקרת איכות:
- ניטור תהליכי ייצור.
- שימוש בגרפים לשליטה כדי לגלות אנומליות.
בריאות ורפואה:
- הערכת היעילות של טיפולים או תרופות חדשות.
- ניתוח תוצאות ניסויים קליניים.
כלכלה ופיננסים:
- הערכת מגמות בשוק ואינדיקטורים כלכליים.
- קבלת החלטות השקעה מבוססות נתונים.

חלופות

ערכי p:
- יתרונות:
  - מספקים את הסבירות המדויקת להשגת סטטיסטיקת מבחן לפחות כמו הערך שנצפה.
  - מאפשרים קבלת החלטות מדויקות יותר במקום סף נוקשה.
- חסרונות:
  - יכולים להיות מפורשים בצורה שגויה; ערך p קטן אינו מודד את גודל ההשפעה או את חשיבותה.
  - תלויים בגודל הדגימה; דגימות גדולות עשויות להניב ערכי p קטנים עבור השפעות טריוויאליות.
אינטרוולים של אמון:
- יתרונות:
  - מציעים טווח ערכים שבו הסכום האמיתי סביר שיפול.
  - מספקים מידע על הדיוק של ההערכה.
- חסרונות:
  - אינם משמשים ישירות לבדיקת השערות.
  - פרשנות יכולה להיות מאתגרת אם אינטרוולים חופפים.
שיטות בייסיאניות:
- יתרונות:
  - כוללות ידע או אמונות קודמות בניתוח.
  - מספקות התפלגות סבירות של ההערכה של הפרמטר.
- חסרונות:
  - דורשות הגדרת התפלגויות קודמות, מה שעלול להיות סובייקטיבי.
  - אינן מתאימות למודלים מורכבים.
מבחנים לא פרמטריים:
- יתרונות:
  - אינם מניחים התפלגות ספציפית.
  - שימושיים כאשר הנתונים אינם עומדים בהנחות של מבחנים פרמטריים.
- חסרונות:
  - בדרך כלל פחות חזקים ממבחנים פרמטריים כאשר ההנחות מתקיימות.
  - פרשנות של תוצאות עשויה להיות פחות ברורה.

היסטוריה

ההתפתחות של ערכים קריטיים קשורה להתפתחות ההסקה הסטטיסטית:

תחילת המאה ה-20:
- קרל פירסון הציג את מבחן חי-בריבוע בשנת 1900, והניח את היסודות לבדיקת התאמה.
- וויליאם גוסט (מתחת לשם העט "סטודנט") פיתח את ההתפלגות t בשנת 1908 עבור דגימות קטנות.
רונלד פישר:
- בשנות ה-20, פישר הפך את המושג של בדיקת השערות סטטיסטיות לרשמי.
- הציג את המונח "רמת משמעות" והדגיש את החשיבות של בחירת ערכים קריטיים מתאימים.
התקדמות במחשוב:
- הופעת המחשבים אפשרה חישוב מדויק של ערכים קריטיים עבור התפלגויות שונות.
- תוכנות סטטיסטיות מספקות כעת תוצאות מהירות ומדויקות, ומקלות על השימוש הנרחב במחקר.

דוגמאות

דוגמה 1: חישוב ערך קריטי מבחן Z (חד-צדדי)

סצנריו: חברה רוצה לבדוק אם תהליך חדש מקטין את זמן הייצור הממוצע. הם קובעים ( \alpha = 0.05 ).

פתרון:

ערך קריטי: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

דוגמאות קוד:

פייתון

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
print(f"ערך קריטי (Z_c): {Z_c:.4f}")

JavaScript

// דוגמה ב-JavaScript לערך קריטי מבחן Z
function calculateZCriticalValue(alpha) {
  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
}

const alpha = 0.05;
const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
console.log(`ערך קריטי (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);

הערה: דורש את ספריית jStat עבור פונקציות סטטיסטיות.

Excel

' נוסחת Excel לערך קריטי מבחן Z (חד-צדדי)
' בתא, הכנס:
=NORM.S.INV(1 - 0.05)

' תוצאה:
' מחזירה 1.6449

דוגמה 2: חישוב ערך קריטי מבחן t (שני-צדדי)

סצנריו: חוקר מבצע ניסוי עם 20 משתתפים (( df = 19 )) ומשתמש ב-( \alpha = 0.01 ).

פתרון:

ערך קריטי: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609$

דוגמאות קוד:

R

alpha <- 0.01
df <- 19
t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
print(paste("ערך קריטי (t_c):", round(t_c, 4)))

MATLAB

alpha = 0.01;
df = 19;
t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('ערך קריטי (t_c): %.4f\n', t_c);

JavaScript

// דוגמה ב-JavaScript לערך קריטי מבחן t
function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
}

const alpha = 0.01;
const df = 19;
const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
console.log(`ערך קריטי (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);

הערה: דורש את ספריית jStat עבור פונקציות סטטיסטיות.

Excel

' נוסחת Excel לערך קריטי מבחן t (שני-צדדי)
' בתא, הכנס:
=T.INV.2T(0.01, 19)

' תוצאה:
' מחזירה 2.8609

דוגמה 3: חישוב ערכי קריטיים עבור מבחן חי-בריבוע (שני-צדדי)

סצנריו: אנליסט בודק את ההתאמה של נתונים נצפים עם תדירויות צפויות על פני 5 קטגוריות (( df = 4 )) ברמת משמעות ( \alpha = 0.05 ).

פתרון:

ערך קריטי תחתון: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107$
ערך קריטי עליון: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433$

דוגמאות קוד:

פייתון

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
df = 4
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
print(f"ערך קריטי תחתון: {chi2_lower:.4f}")
print(f"ערך קריטי עליון: {chi2_upper:.4f}")

MATLAB

alpha = 0.05;
df = 4;
chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('ערך קריטי תחתון: %.4f\n', chi2_lower);
fprintf('ערך קריטי עליון: %.4f\n', chi2_upper);

JavaScript

// דוגמה ב-JavaScript לערכי קריטיים עבור מבחן חי-בריבוע
function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
  return { lower, upper };
}

const alpha = 0.05;
const df = 4;
const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
console.log(`ערך קריטי תחתון: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
console.log(`ערך קריטי עליון: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);

הערה: דורש את ספריית jStat עבור פונקציות סטטיסטיות.

Excel

' נוסחאות Excel עבור ערכי קריטיים מבחן חי-בריבוע (שני-צדדי)
' ערך קריטי תחתון (בתא):
=CHISQ.INV(0.025, 4)

' ערך קריטי עליון (בתא אחר):
=CHISQ.INV(0.975, 4)

' תוצאות:
' ערך קריטי תחתון: 0.7107
' ערך קריטי עליון: 11.1433

דוגמה 4: טיפול בערכים קיצוניים (מקרה קצה)

סצנריו: מתבצע מבחן עם רמת משמעות מאוד קטנה ( \alpha = 0.0001 ) ו-( df = 1 ).

פתרון:

עבור מבחן t חד-צדדי: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
הערך הקריטי מתקרב למספר מאוד גדול.

דוגמת קוד (פייתון):

import scipy.stats as stats

alpha = 0.0001
df = 1
t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"ערך קריטי (t_c): {t_c}")

תוצאה:

הפלט יראה ערך קריטי מאוד גדול, מה שמעיד שבשימוש ברמת ( \alpha ) כה קטנה ו-( df ) נמוך, הערך הקריטי הוא מאוד גבוה, פוטנציאלית מתקרב לאינסוף. זה מדגים כיצד קלטים קיצוניים יכולים להוביל לאתגרים חישוביים.

טיפול במחשבון:

המחשבון יחזיר 'אינסוף' או 'לא מוגדר' עבור מקרים כאלה ויעודד את המשתמש לשקול להתאים את רמת המשמעות או להשתמש בשיטות חלופיות.

ויזואליזציה

הבנת הערכים הקריטיים מועילה על ידי ויזואליזציה של עקומות ההתפלגות ואזורי הדחייה המוצלים.

התפלגות נורמלית (מבחן Z)

0 1.96 התפלגות נורמלית סטנדרטית אזור דחייה אזור אזור קבלה אזור ערך קריטי

דיאגרמת SVG הממחישה את ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית עם הערך הקריטי(ים) מסומנים. האזור שמעבר לערך הקריטי מייצג את אזור הדחייה. ציר ה-X מייצג את ציון ה-z, וציר ה-Y מייצג את פונקציית הצפיפות ההסתברותית f(z).

התפלגות t

0 -2.101 2.101 התפלגות t (df = 20) אזור דחייה שמאלי אזור אזור דחייה ימני אזור אזור קבלה אזור ערך קריטי ערך קריטי

דיאגרמת SVG המראה את ההתפלגות t עבור דרגת חופש ספציפית עם הערך הקריטי(ים) מסומנים. יש לציין שההתפלגות t יש לה זנבות כבדים יותר בהשוואה להתפלגות הנורמלית.

התפלגות חי-בריבוע

χ² צפיפות הסתברות התפלגות חי-בריבוע מבחן שני-צדדי

דיאגרמת SVG המתארת את התפלגות חי-בריבוע עם ערכי קריטיים תחתון ועליון מסומנים עבור מבחן שני-צדדי. ההתפלגות היא מעוקלת ימינה.

הערה: הדיאגרמות SVG מוטמעות בתוכן כדי לשפר את ההבנה. כל דיאגרמה מסומנת במדויק, והצבעים נבחרים להיות משלימים ל-Tailwind CSS.

מקורות

פירסון, ק. (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. Philosophical Magazine Series 5, 50(302), 157–175. קישור
סטודנט (גוסט, וו. ס.) (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1), 1–25. קישור
פישר, ר. א. (1925). Statistical Methods for Research Workers. אדינבורו: אוליבר ובוייד.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Critical Values. קישור
ויקיפדיה. Critical Value. קישור

כלי קשורים

מחשבון ז-סקור לחישוב ציון תקני וסטטיסטיקה

מחשבון לנפח חרוטים מלאים וחרוטים מקוצרים

מחשבון ציון גולמי - קבע את נקודת הנתונים המקורית