ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

ಪರಿಚಯ

ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಇವು ಶೂನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರವಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಹುದ್ದೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮೂಲಕ, ಸಂಶೋಧಕರು ತಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕಾರ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಬರುವುದೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ತಮ್ಮ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಮಾಹಿತಿ ಪಡೆದ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ Z-ಪರೀಕ್ಷೆ, t-ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗಾಗಿ ಒಂದೇ-ತಿರುವು ಮತ್ತು ಎರಡು-ತಿರುವು ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ, ನಿಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಗಾಗಿ ಶುದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು

ಪರೀಕ್ಷಾ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ:
- Z-ಪರೀಕ್ಷೆ: ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ತಿಳಿದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ.
- t-ಪರೀಕ್ಷೆ: ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಸಣ್ಣವಾಗಿದ್ದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಾಗ.
- ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆ: ವರ್ಗೀಯ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ.
ತಿರುವು ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ:
- ಒಂದೇ-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ: ದಿಕ್ಕಿನ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ).
- ಎರಡು-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ: ದಿಕ್ಕಿನ ಪರಿಗಣನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ.
ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟವನ್ನು (( \alpha )) ನಮೂದಿಸಿ:
- 0 ಮತ್ತು 1 ನಡುವೆ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು 0.05, 0.01, 0.10).
- ಶೂನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸತ್ಯವಾಗಿರುವಾಗ ತಿರಸ್ಕಾರ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಟೈಪ್ I ದೋಷ).
ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ):
- t-ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
- t-ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ: ( df = n - 1 ), ಅಲ್ಲಿ ( n ) ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ.
- ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ: ( df = ) ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1 ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಹೆಚ್ಚುಮಟ್ಟಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:
- ನಿಮ್ಮ ಇನ್ಪುಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹೆಚ್ಚುಮಟ್ಟಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ.
- ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿಮ್ಮ ಇನ್ಪುಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರ

Z-ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ

ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಗೆ:

ಒಂದೇ-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$
ಎರಡು-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ: $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)$

ಅಲ್ಲಿ:

( \Phi^{-1} ) ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ (ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್).

t-ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ

( df ) ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವುಳ್ಳ t-ವಿತರಣೆಗೆ:

ಒಂದೇ-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
ಎರಡು-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)$

ಅಲ್ಲಿ:

( t^{-1}(p, df) ) ( df ) ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವುಳ್ಳ t-ವಿತರಣೆಯ p-ನೇ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್.

ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ

( df ) ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವುಳ್ಳ ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಗೆ:

ಒಂದೇ-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ: $\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}$
ಎರಡು-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ (ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ):
- ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}$
- ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}$

ಅಲ್ಲಿ:

( \chi^2_{p, df} ) ( df ) ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವುಳ್ಳ ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯ p-ನೇ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್.

ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಈ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ:

ಇನ್ಪುಟ್ ಪರಿಶೀಲನೆ:
- ( \alpha ) 0 ಮತ್ತು 1 (0 < ( \alpha ) < 1) ನಡುವೆ ಇದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.
- t-ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ( df ) ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.
ತಿರುವು ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:
- ಎರಡು-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗಾಗಿ, ( \alpha ) 2 ರಿಂದ ಹಂಚಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:
- ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.
- ಅತ್ಯಂತ ( \alpha ) ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ( df ) ಗೆ ಶುದ್ಧತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿ:
- ನಾಲ್ಕು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಸುತ್ತುವರಿಯ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.
- ಎರಡು-ತಿರುವು ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ, ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.

ಎಡ್ಜ್ ಕೇಸ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆಗಳು

ಅತೀ ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟಗಳು (( \alpha ) 0 ಅಥವಾ 1 ಗೆ ಹತ್ತಿರ):
- ( \alpha ) 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾದಾಗ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಸೀಮಿತವಾಗುತ್ತವೆ.
- ( \alpha ) ಅತ್ಯಂತ ಸಣ್ಣ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ( 10^{-10} ) ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ) ಇದ್ದಾಗ, ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವು ಗಣಕದ ಅಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು.
- ನಿರ್ವಹಣೆ: ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ 'ಅಸೀಮಿತ' ಅಥವಾ 'ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಲ್ಲ' ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಳಕೆದಾರರು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಇಂತಹ ಅತೀ ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟಗಳು ತಮ್ಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ.
ದೊಡ್ಡ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ (( df )):
- ( df ) ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, t-ವಿತರಣಾ ಮತ್ತು ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಗಳು ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತವೆ.
- ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ( df ) ಗೆ, ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗಣಕದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರುವುದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು.
- ನಿರ್ವಹಣೆ: ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಾತ್ಮಕ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿಸುವಾಗ ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ Z-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಬಳಸಲು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಸಣ್ಣ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ (( df \leq 1 )):
- ( df = 1 ) ಗೆ, t-ವಿತರಣಾ ಮತ್ತು ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಗೆ ಭಾರಿ ತಲೆಯುಳ್ಳವು.
- ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು.
- ನಿರ್ವಹಣೆ: ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗಾಗಿ ( df ) ಬಹಳ ಸಣ್ಣವಾಗಿದ್ದಾಗ ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಎಚ್ಚರಿಸುತ್ತದೆ.
ಒಂದೇ-ತಿರುವು ಮತ್ತು ಎರಡು-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು:
- ಸರಿಯಾದ ತಿರುವು ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿದೆ.
- ದುರ್ಬಳಕೆ ತಪ್ಪು ನಿರ್ಣಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.
- ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ: ನಿಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಶ್ನೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ತಿರುವು ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಬಳಕೆದಾರಿಕೆಗಳು

ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಸಂಶೋಧನೆ:
- ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ.
- ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ.
ಗುಣಮಟ್ಟದ ಖಾತರಿ:
- ಉತ್ಪಾದನಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡುವುದು.
- ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ನಿಯಂತ್ರಣ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಆರೋಗ್ಯ ಮತ್ತು ವೈದ್ಯಕೀಯ:
- ಹೊಸ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ಅಥವಾ ಔಷಧಿಗಳ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು.
- ಕ್ಲಿನಿಕಲ್ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಾಡುವುದು.
ಹಣಕಾಸು ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕತೆ:
- ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು.
- ಡೇಟಾ ಆಧಾರಿತ ಹೂಡಿಕೆ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು.

ಪರ್ಯಾಯಗಳು

p-ಮೌಲ್ಯಗಳು:
- ಪರಿಶ್ರಮಗಳು:
  - ಗಮನಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಖಚಿತವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.
  - ಖಚಿತವಾದ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.
- ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:
  - ತಪ್ಪಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಸಣ್ಣ p-ಮೌಲ್ಯವು ಪರಿಣಾಮದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಥವಾ ಅದರ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ.
  - ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ; ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳು ತಾರತಮ್ಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಸಣ್ಣ p-ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.
ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಅಂತರಗಳು:
- ಪರಿಶ್ರಮಗಳು:
  - ನಿಜವಾದ ಪರಿಮಾಣವು ಬೀಳುವ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿದೆ.
  - ಅಂದಾಜಿನ ಶುದ್ಧತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.
- ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:
  - ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
  - ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಬಹುದು.
ಬೇಸಿಯನ್ ವಿಧಾನಗಳು:
- ಪರಿಶ್ರಮಗಳು:
  - ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಜ್ಞಾನ ಅಥವಾ ನಂಬಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ.
  - ಪರಿಮಾಣದ ಅಂದಾಜಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.
- ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:
  - ಹಿಂದಿನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದು ವಿಷಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು.
  - ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಗಣಕೀಯವಾಗಿ ತೀವ್ರವಾಗಿದೆ.
ನಾನ್-ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು:
- ಪರಿಶ್ರಮಗಳು:
  - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
  - ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದಾಗ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.
- ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:
  - ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗಿಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿ.
  - ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾಗಿರಬಹುದು.

ಇತಿಹಾಸ

ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಣಯದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ:

ಮೂಡಲ 20ನೇ ಶತಮಾನ:
- ಕಾರ್ಲ ಪಿಯರ್ಸನ್ 1900 ರಲ್ಲಿ ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಉತ್ತಮತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಹಾಕಿದರು.
- ವಿಲ್ಲಿಯಂ ಗೋಸೆಟ್ (ಪೆನಾಮ್ "ಸ್ಟುಡೆಂಟ್") 1908 ರಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ t-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.
ರೊನಾಲ್ಡ್ ಫಿಷರ್:
- 1920 ರಲ್ಲಿ, ಫಿಷರ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಧಿಕೃತಗೊಳಿಸಿದರು.
- "ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟ" ಎಂಬ ಶಬ್ದವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಒತ್ತಿಸಿದರು.
ಗಣಕದಲ್ಲಿ ಸುಧಾರಣೆಗಳು:
- ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಉದಯವು ವಿವಿಧ ವಿತರಣಾ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿಖರ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಧ್ಯಮಾಡಿತು.
- ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಈಗ ಶೀಘ್ರ ಮತ್ತು ಶುದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1: Z-ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು (ಒಂದೇ-ತಿರುವು)

ದೃಶ್ಯ: ಒಂದು ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಾಸರಿ ಉತ್ಪಾದನಾ ಸಮಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆಯೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ಅವರು ( \alpha = 0.05 ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಉತ್ತರ:

ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಪೈಥಾನ್

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
print(f"ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ (Z_c): {Z_c:.4f}")

ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್

// Z-ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಉದಾಹರಣೆ
function calculateZCriticalValue(alpha) {
  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
}

const alpha = 0.05;
const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
console.log(`ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);

ಗಣಕೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ jStat ಗ್ರಂಥಾಲಯವನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್

' Z-ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸೂತ್ರ
' ಒಂದು ಕೋಶದಲ್ಲಿ, ನಮೂದಿಸಿ:
=NORM.S.INV(1 - 0.05)

' ಫಲಿತಾಂಶ:
' 1.6449 ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2: t-ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು (ಎರಡು-ತಿರುವು)

ದೃಶ್ಯ: ಒಂದು ಸಂಶೋಧಕ 20 ಭಾಗವಹಿಸುವವರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾನೆ (( df = 19 )) ಮತ್ತು ( \alpha = 0.01 ) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾನೆ.

ಉತ್ತರ:

ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609$

ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

R

alpha <- 0.01
df <- 19
t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
print(paste("ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ (t_c):", round(t_c, 4)))

MATLAB

alpha = 0.01;
df = 19;
t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ (t_c): %.4f\n', t_c);

ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್

// t-ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಉದಾಹರಣೆ
function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
}

const alpha = 0.01;
const df = 19;
const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
console.log(`ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);

ಗಣಕೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ jStat ಗ್ರಂಥಾಲಯವನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್

' t-ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ (ಎರಡು-ತಿರುವು) ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸೂತ್ರ
' ಒಂದು ಕೋಶದಲ್ಲಿ, ನಮೂದಿಸಿ:
=T.INV.2T(0.01, 19)

' ಫಲಿತಾಂಶ:
' 2.8609 ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು (ಎರಡು-ತಿರುವು)

ದೃಶ್ಯ: ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಕ 5 ವರ್ಗಗಳ ಮೂಲಕ ಗಮನಿತ ಡೇಟಾ ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾನೆ (( df = 4 )) ( \alpha = 0.05 ) ನಲ್ಲಿ.

ಉತ್ತರ:

ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107$
ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433$

ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಪೈಥಾನ್

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
df = 4
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
print(f"ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: {chi2_lower:.4f}")
print(f"ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: {chi2_upper:.4f}")

MATLAB

alpha = 0.05;
df = 4;
chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: %.4f\n', chi2_lower);
fprintf('ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: %.4f\n', chi2_upper);

ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್

// ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಉದಾಹರಣೆ
function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
  return { lower, upper };
}

const alpha = 0.05;
const df = 4;
const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
console.log(`ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
console.log(`ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);

ಗಣಕೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ jStat ಗ್ರಂಥಾಲಯವನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್

' ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ (ಎರಡು-ತಿರುವು) ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸೂತ್ರ
' ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ (ಒಂದು ಕೋಶದಲ್ಲಿ):
=CHISQ.INV(0.025, 4)

' ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ (ಮರುಕೋಶದಲ್ಲಿ):
=CHISQ.INV(0.975, 4)

' ಫಲಿತಾಂಶಗಳು:
' ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: 0.7107
' ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ: 11.1433

ಉದಾಹರಣೆ 4: ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು (ಎಡ್ಜ್ ಕೇಸ್)

ದೃಶ್ಯ: ( \alpha = 0.0001 ) ಮತ್ತು ( df = 1 ) ಇರುವ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಒಂದೇ-ತಿರುವು t-ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯತ್ತ ಹಾರುತ್ತದೆ.

ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆ (ಪೈಥಾನ್):

import scipy.stats as stats

alpha = 0.0001
df = 1
t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ (t_c): {t_c}")

ಫಲಿತಾಂಶ:

ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಇಂತಹ ಸಣ್ಣ ( \alpha ) ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ( df ) ಇರುವಾಗ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವು ಅತ್ಯಂತ ಉನ್ನತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣಕೀಯ ಸವಾಲುಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಣೆ:

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ 'ಅಸೀಮಿತ' ಅಥವಾ 'ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಲ್ಲ' ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ದೃಶ್ಯೀಕರಣ

ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ವಿತರಣಾ ವಕ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತಿರಸ್ಕಾರ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣಾ (Z-ಪರೀಕ್ಷೆ)

0 1.96 ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣಾ ತಿರಸ್ಕಾರ ಪ್ರದೇಶ ಸ್ವೀಕಾರ ಪ್ರದೇಶ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ

ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಂತೆ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ SVG ಚಿತ್ರೀಕರಣ. ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಿಸುವ ಪ್ರದೇಶವು ತಿರಸ್ಕಾರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. x-ಅಕ್ಷವು z-ಸ್ಕೋರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು y-ಅಕ್ಷವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು f(z) ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

t-ವಿತರಣಾ

0 -2.101 2.101 t-ವಿತರಣಾ (df = 20) ಎಡ ತಿರಸ್ಕಾರ ಪ್ರದೇಶ ಬಲ ತಿರಸ್ಕಾರ ಪ್ರದೇಶ ಸ್ವೀಕಾರ ಪ್ರದೇಶ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ t-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ SVG ಚಿತ್ರೀಕರಣ, ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಂತೆ. t-ವಿತರಣೆಯ ತಲೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣಾ

χ² ಸಂಭಾವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆ ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣಾ ಎರಡು-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆ

ಎರಡು-ತಿರುವು ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ SVG ಚಿತ್ರೀಕರಣ, ಕೀಳ್ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಂತೆ. ವಿತರಣಾ ಬಲಕ್ಕೆ ತಿರಸ್ಕಾರವಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: SVG ಚಿತ್ರೀಕರಣಗಳು ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಚಿತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಟೇಲ್ವಿಂಡ್ CSS ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

ಪಿಯರ್ಸನ್, ಕೆ. (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. Philosophical Magazine Series 5, 50(302), 157–175. Link
ಸ್ಟುಡೆಂಟ್ (ಗೋಸೆಟ್, ವಿ. ಎಸ್.) (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1), 1–25. Link
ಫಿಷರ್, ಆರ್. ಎ. (1925). Statistical Methods for Research Workers. ಎಡಿಂಬರ್ಗ್: ಓಲಿವರ್ & ಬಾಯ್ಡ್.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Critical Values. Link
ವಿಕಿಪೀಡಿಯ. Critical Value. Link

ಸಂಬಂಧಿತ ಸಾಧನಗಳು

ಜಡ್-ಸ್ಕೋರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ - ಡೇಟಾ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಕೊನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಕತ್ತರಿಸಿದ ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಕಚ್ಚಾ ಅಂಕೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ