Kritinės Vertės Skaičiuoklė Statistiniams Testams

Kritinė Vertė Skaičiuoklė

Įvadas

Kritinės vertės yra esminės statistinėje hipotezių testavime. Jos apibrėžia slenkstį, kuriuo mes atmetame nulinę hipotezę ir pereiname prie alternatyvios hipotezės. Apskaičiuodami kritinę vertę, tyrėjai gali nustatyti, ar jų testavimo statistika patenka į atmetimo regioną, ir priimti informuotus sprendimus remdamiesi savo duomenimis.

Ši skaičiuoklė padeda rasti vienpusės ir dvipusės kritinės vertes dažniausiai naudojamiems statistiniams testams, įskaitant Z-testą, t-testą ir Chi-kvadrato testą. Ji palaiko įvairius reikšmingumo lygius ir laipsnius laisvės, teikdama tikslius rezultatus jūsų statistinėms analizėms.

Kaip Naudotis Šia Skaičiuokle

Pasirinkite Testo Tipą:
- Z-testas: Dideliems imties dydžiams arba žinomai populiacijos dispersijai.
- t-testas: Kai imties dydis yra mažas, o populiacijos dispersija nežinoma.
- Chi-kvadrato testas: Kategoriniams duomenims ir tinkamumo testams.
Pasirinkite Uodegos Tipą:
- Vienpusis testas: Testuoja kryptinį poveikį (pvz., didesnis arba mažesnis už tam tikrą vertę).
- Dvipusis testas: Testuoja bet kokį reikšmingą skirtumą, nepriklausomai nuo krypties.
Įveskite Reikšmingumo Lygį (( \alpha )):
- Vertė tarp 0 ir 1 (dažniausiai pasirenkamos 0.05, 0.01, 0.10).
- Atspindi nulinės hipotezės atmetimo, kai ji yra teisinga, tikimybę (I tipo klaida).
Įveskite Laipsnius Laisvės (jei taikoma):
- Reikalinga t-testams ir Chi-kvadrato testams.
- T-testams: ( df = n - 1 ), kur ( n ) yra imties dydis.
- Chi-kvadrato testams: ( df = ) kategorijų skaičius minus 1.
Apskaičiuoti:
- Paspauskite mygtuką Apskaičiuoti, kad gautumėte kritinę vertę(-es).
- Rezultatas bus rodomas kritinė vertė(-s), atitinkanti jūsų įvestis.

Formulė

Z-testo Kritinė Vertė

Standartinei normaliajai distribucijai:

Vienpusis testas: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$
Dvipusis testas: $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)$

Kur:

( \Phi^{-1} ) yra standartinės normaliosios distribucijos atvirkštinė kumuliacinė pasiskirstymo funkcija (kvantilio funkcija).

t-testo Kritinė Vertė

t-distribucijai su ( df ) laipsniais laisvės:

Vienpusis testas: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
Dvipusis testas: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)$

Kur:

( t^{-1}(p, df) ) yra p-th kvantilis t-distribucijoje su ( df ) laipsniais laisvės.

Chi-kvadrato Testo Kritinė Vertė

Chi-kvadrato distribucijai su ( df ) laipsniais laisvės:

Vienpusis testas: $\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}$
Dvipusis testas (teikia tiek apatinę, tiek viršutinę kritines vertes):
- Apatinė kritinė vertė: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}$
- Viršutinė kritinė vertė: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}$

Kur:

( \chi^2_{p, df} ) yra p-th kvantilis Chi-kvadrato distribucijoje.

Apskaičiavimas

Skaičiuoklė atlieka šiuos žingsnius:

Įvesties Validacija:
- Patikrina, ar ( \alpha ) yra tarp 0 ir 1 (0 < ( \alpha ) < 1).
- Patikrina, ar ( df ) yra teigiamas sveikasis skaičius (t-testams ir Chi-kvadrato testams).
Priklausomai nuo Uodegos Tipo, Pakeiskite Reikšmingumo Lygį:
- Dvipusiems testams ( \alpha ) padalijamas iš 2.
Apskaičiuoti Kritinę Vertę(-es):
- Naudoja statistines distribucijų funkcijas, kad rastų kritines vertes.
- Užtikrina tikslumą net ir ekstremaliems ( \alpha ) vertėms ir ( df ).
Rodyti Rezultatus:
- Pateikia kritines vertes, suapvalintas iki keturių dešimtainių vietų.
- Dvipusiems Chi-kvadrato testams pateikiamos tiek apatinės, tiek viršutinės kritinės vertės.

Kraštutiniai Atvejai ir Apsvarstymai

Ekstremalūs Reikšmingumo Lygiai (( \alpha ) artimas 0 arba 1):
- Kritinės vertės artėja prie begalybės, kai ( \alpha ) artėja prie 0.
- Kai ( \alpha ) yra ekstremaliai mažas (pvz., mažesnis nei ( 10^{-10} )), kritinė vertė gali būti skaičiavimo prasme begalinė arba neapibrėžta.
- Tvarkymas: Skaičiuoklė rodys 'Begalybė' arba 'Neapibrėžta' tokiems atvejams. Vartotojai turėtų atsargiai interpretuoti šiuos rezultatus ir apsvarstyti, ar tokie ekstremalūs reikšmingumo lygiai yra tinkami jų analizei.
Dideli Laipsniai Laisvės (( df )):
- Didėjant ( df ), t-distribucija ir Chi-kvadrato distribucija artėja prie normaliosios distribucijos.
- Labai dideliems ( df ) kritinės vertės gali tapti neapibrėžtos dėl skaičiavimo apribojimų.
- Tvarkymas: Skaičiuoklė pateikia įspėjimus, kai ( df ) viršija praktinius skaičiavimo ribas. Tokiais atvejais apsvarstykite galimybę naudoti Z-testą kaip aproksimaciją.
Maži Laipsniai Laisvės (( df \leq 1 )):
- Kai ( df = 1 ), t-distribucija ir Chi-kvadrato distribucija turi sunkius uodegas.
- Kritinės vertės gali būti labai didelės arba neapibrėžtos.
- Tvarkymas: Skaičiuoklė įspėja vartotojus, jei ( df ) yra per mažas patikimiems rezultatams.
Vienpusiai vs. Dvipusiai Testai:
- Teisingo uodegos tipo pasirinkimas yra esminis tiksliai kritinėms vertėms.
- Netinkamas naudojimas gali lemti neteisingas išvadas hipotezių testavime.
- Gairės: Užtikrinkite, kad jūsų tyrimo klausimas atitiktų pasirinktą uodegos tipą.

Naudojimo Atvejai

Kritinės vertės naudojamos įvairiose srityse:

Akademiniai Tyrimai:
- Hipotezių testavimas eksperimentuose ir studijose.
- Statistinio reikšmingumo nustatymas rezultatams.
Kokybės Užtikrinimas:
- Gamybos procesų stebėjimas.
- Naudojant kontrolės diagramas anomalijoms aptikti.
Sveikata ir Medicina:
- Naujų gydymo metodų ar vaistų efektyvumo vertinimas.
- Klinikinės tyrimų rezultatų analizė.
Finansai ir Ekonomika:
- Rinkos tendencijų ir ekonominių rodiklių vertinimas.
- Duomenimis pagrįstų investicijų sprendimų priėmimas.

Alternatyvos

p-reikšmės:
- Privalumai:
  - Teikia tikslią tikimybę gauti testavimo statistiką, bent jau tokia ekstremali, kaip stebėta vertė.
  - Leidžia nuoseklesnį sprendimų priėmimą, o ne griežtą ribą.
- Trūkumai:
  - Gali būti neteisingai interpretuojama; maža p-reikšmė nematuoja poveikio dydžio ar jo svarbos.
  - Priklauso nuo imties dydžio; didelės imtys gali duoti mažas p-reikšmes trivialiems efektams.
Patikimumo Intervalai:
- Privalumai:
  - Pateikia vertių intervalą, kuriame tikėtina, kad tikras parametras yra.
  - Teikia informaciją apie įverčio tikslumą.
- Trūkumai:
  - Nenaudojami tiesiogiai hipotezių testavimui.
  - Interpretacija gali būti sudėtinga, jei patikimumo intervalai persidengia.
Bayes metodai:
- Privalumai:
  - Įtraukia ankstesnes žinias ar įsitikinimus į analizę.
  - Pateikia tikimybės pasiskirstymą parametro įverčiui.
- Trūkumai:
  - Reikalauja ankstesnių pasiskirstymų specifikacijos, kuri gali būti subjektyvi.
  - Kompiuterinės analizės sudėtingumas sudėtingiems modeliams.
Neparametriniai Testai:
- Privalumai:
  - Nenaudoja specifinės distribucijos prielaidų.
  - Naudingi, kai duomenys neatitinka parametrijų testų prielaidų.
- Trūkumai:
  - Paprastai mažiau galingi nei parametrijų testai, kai prielaidos yra patenkintos.
  - Rezultatų interpretacija gali būti mažiau aiški.

Istorija

Kritinių verčių plėtra yra susijusi su statistinės išvados raida:

XX a. Pradžia:
- Karl Pearson pristatė Chi-kvadrato testą 1900 m., padėdamas pamatus tinkamumo testavimui.
- William Gosset (slapyvardžiu "Student") sukūrė t-distribuciją 1908 m. mažoms imtims.
Ronaldas Fisheris:
- 1920-aisiais Fisheris formalizavo statistinio hipotezių testavimo koncepciją.
- Įvedė terminą "reikšmingumo lygis" ir pabrėžė tinkamų kritinių verčių pasirinkimą.
Kompiuterinių Technologijų Pažanga:
- Kompiuterių atsiradimas leido tiksliai apskaičiuoti kritines vertes įvairioms distribucijoms.
- Statistinė programinė įranga dabar teikia greitus ir tikslius rezultatus, palengvindama plačią naudojimą tyrimuose.

Pavyzdžiai

Pavyzdys 1: Z-testo Kritinės Vertės Apskaičiavimas (Vienpusis)

Scenarijus: Įmonė nori patikrinti, ar naujas procesas sumažina vidutinį gamybos laiką. Jie nustato ( \alpha = 0.05 ).

Sprendimas:

Kritinė vertė: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Kodo Pavyzdžiai:

Python

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
print(f"Kritinė Vertė (Z_c): {Z_c:.4f}")

JavaScript

// JavaScript pavyzdys Z-testui kritinei vertei
function calculateZCriticalValue(alpha) {
  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
}

const alpha = 0.05;
const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
console.log(`Kritinė Vertė (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);

Pastaba: Reikia jStat bibliotekos statistinėms funkcijoms.

Excel

' Excel formulė Z-testui kritinei vertei (vienpusis)
' Įrašykite langelyje:
=NORM.S.INV(1 - 0.05)

' Rezultatas:
' Grąžina 1.6449

Pavyzdys 2: t-testo Kritinės Vertės Apskaičiavimas (Dvipusis)

Scenarijus: Tyrėjas atlieka eksperimentą su 20 dalyvių (( df = 19 )) ir naudoja ( \alpha = 0.01 ).

Sprendimas:

Kritinė vertė: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609$

Kodo Pavyzdžiai:

R

alpha <- 0.01
df <- 19
t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
print(paste("Kritinė Vertė (t_c):", round(t_c, 4)))

MATLAB

alpha = 0.01;
df = 19;
t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('Kritinė Vertė (t_c): %.4f\n', t_c);

JavaScript

// JavaScript pavyzdys t-testui kritinei vertei
function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
}

const alpha = 0.01;
const df = 19;
const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
console.log(`Kritinė Vertė (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);

Pastaba: Reikia jStat bibliotekos.

Excel

' Excel formulė t-testui kritinei vertei (dvipusis)
' Įrašykite langelyje:
=T.INV.2T(0.01, 19)

' Rezultatas:
' Grąžina 2.8609

Pavyzdys 3: Chi-kvadrato Testo Kritinių Verčių Apskaičiavimas (Dvipusis)

Scenarijus: Analitikas tikrina stebėtus duomenis su tikėtinomis dažniais per 5 kategorijas (( df = 4 )) esant ( \alpha = 0.05 ).

Sprendimas:

Apatinė kritinė vertė: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107$
Viršutinė kritinė vertė: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433$

Kodo Pavyzdžiai:

Python

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
df = 4
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
print(f"Apatinė Kritinė Vertė: {chi2_lower:.4f}")
print(f"Viršutinė Kritinė Vertė: {chi2_upper:.4f}")

MATLAB

alpha = 0.05;
df = 4;
chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('Apatinė Kritinė Vertė: %.4f\n', chi2_lower);
fprintf('Viršutinė Kritinė Vertė: %.4f\n', chi2_upper);

JavaScript

// JavaScript pavyzdys Chi-kvadrato testui kritinėms vertėms
function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
  return { lower, upper };
}

const alpha = 0.05;
const df = 4;
const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
console.log(`Apatinė Kritinė Vertė: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
console.log(`Viršutinė Kritinė Vertė: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);

Pastaba: Reikia jStat bibliotekos.

Excel

' Excel formulės Chi-kvadrato testui kritinėms vertėms (dvipusis)
' Apatinė kritinė vertė (langelyje):
=CHISQ.INV(0.025, 4)

' Viršutinė kritinė vertė (kitame langelyje):
=CHISQ.INV(0.975, 4)

' Rezultatai:
' Apatinė Kritinė Vertė: 0.7107
' Viršutinė Kritinė Vertė: 11.1433

Pavyzdys 4: Ekstremalių Verčių Tvarkymas (Kraštutinis Atvejis)

Scenarijus: Testas atliekamas su labai mažu reikšmingumo lygiu ( \alpha = 0.0001 ) ir ( df = 1 ).

Sprendimas:

Vienpusio t-testui: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
Kritinė vertė artėja prie labai didelio skaičiaus.

Kodo Pavyzdys (Python):

import scipy.stats as stats

alpha = 0.0001
df = 1
t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"Kritinė Vertė (t_c): {t_c}")

Rezultatas:

Išvestis parodys labai didelę kritinę vertę, nurodydama, kad esant tokiam mažam ( \alpha ) ir žemam ( df ), kritinė vertė yra ekstremaliai didelė, galbūt artėjanti prie begalybės. Tai iliustruoja, kaip ekstremalios įvestys gali sukelti skaičiavimo iššūkius.

Tvarkymas Skaičiuoklėje:

Skaičiuoklė grąžins 'Begalybė' arba 'Neapibrėžta' tokiems atvejams ir patars vartotojui apsvarstyti reikšmingumo lygio koregavimą arba alternatyvių metodų naudojimą.

Vizualizacija

Suprasti kritines vertes padeda vizualizuoti distribucijų kreives ir atmetimo regionus.

Normalioji Distribucija (Z-testas)

0 1.96 Standartinė Normalioji Distribucija Atmetimo Regionas Priėmimo Regionas Kritinė Vertė

SVG diagrama iliustruojanti standartinę normaliąją distribuciją su pažymėtomis kritinėmis vertėmis. Sritis už kritinės vertės atspindi atmetimo regioną. X ašis žymi z-reikšmę, o Y ašis žymi tikimybės tankio funkciją f(z).

t-Distribucija

0 -2.101 2.101 t-Distribucija (df = 20) Kairysis Atmetimo Regionas Dešinysis Atmetimo Regionas Priėmimo Regionas Kritinė Vertė Kritinė Vertė

SVG diagrama rodanti t-distribuciją su nurodytais kritiniais vertėmis. Pastebėtina, kad t-distribucija turi sunkesnes uodegas, palyginti su normalia distribucija.

Chi-kvadrato Distribucija

χ² Tikimybės Tankis Chi-kvadrato Distribucija Dvipusis testas

SVG diagrama vaizduojanti Chi-kvadrato distribuciją su pažymėtomis apatine ir viršutine kritinėmis vertėmis dvipusiam testui. Distribucija yra pasvirusi į dešinę.

Pastaba: SVG diagramos yra įterptos į turinį, kad padėtų suprasti. Kiekviena diagrama yra tiksliai pažymėta, o spalvos pasirinktos taip, kad būtų papildomos Tailwind CSS.

Nuorodos

Pearson, K. (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. Philosophical Magazine Series 5, 50(302), 157–175. Nuoroda
Student (Gosset, W. S.) (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1), 1–25. Nuoroda
Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Kritinės Vertės. Nuoroda
Wikipedia. Kritinė Vertė. Nuoroda

Susiję įrankiai

Z-Score Skaičiuoklė: Apskaičiuokite standartinį įvertinimą

Kūgio tūrio skaičiuoklė ir skaičiavimų įrankis

Bruto balo skaičiuoklė: statistikos ir analizės įrankis