Whiz Tools

क्रिटिकल व्हॅल्यू कॅल्क्युलेटर

परिचय

क्रिटिकल व्हॅल्यूज सांख्यिकीय हायपोथेसिस चाचणीमध्ये महत्त्वाचे आहेत. ते शून्य हायपोथेसिसला पर्यायी हायपोथेसिसच्या बाजूने नकारण्यासाठी आम्ही जे थ्रेशोल्ड ठरवतो ते दर्शवतात. क्रिटिकल व्हॅल्यूची गणना करून, संशोधक त्यांच्या चाचणी आकड्याचे नकारात्मक क्षेत्रात येते की नाही हे ठरवू शकतात आणि त्यांच्या डेटावर आधारित माहितीपूर्ण निर्णय घेऊ शकतात.

हा कॅल्क्युलेटर Z-चाचणी, t-चाचणी आणि चि-स्क्वेअर चाचणी यासह सर्वात सामान्य सांख्यिकीय चाचण्यांसाठी एक-टेल आणि दोन-टेल क्रिटिकल व्हॅल्यू शोधण्यात मदत करतो. हे विविध महत्त्वाच्या पातळ्या आणि स्वतंत्रतेच्या डिग्रींना समर्थन देते, आपल्या सांख्यिकीय विश्लेषणांसाठी अचूक परिणाम प्रदान करते.

या कॅल्क्युलेटरचा वापर कसा करावा

  1. चाचणी प्रकार निवडा:

    • Z-चाचणी: मोठ्या नमुन्यांच्या आकारांसाठी किंवा ज्ञात लोकसंख्येच्या विविधतेसाठी.
    • t-चाचणी: जेव्हा नमुना आकार लहान असतो आणि लोकसंख्येची विविधता ज्ञात नसते.
    • चि-स्क्वेअर चाचणी: श्रेणीबद्ध डेटासाठी आणि चांगल्या-फिट चाचण्यांसाठी.

  2. टेल प्रकार निवडा:

    • एक-टेल चाचणी: दिशात्मक प्रभावासाठी चाचणी (उदा. काही मूल्यापेक्षा मोठा किंवा लहान).
    • दोन-टेल चाचणी: कोणत्याही महत्त्वाच्या फरकासाठी चाचणी, दिशा महत्त्वाची नाही.

  3. महत्त्वाची पातळी (( \alpha )) प्रविष्ट करा:

    • 0 आणि 1 यामध्ये एक मूल्य (सामान्य निवडी 0.05, 0.01, 0.10).
    • शून्य हायपोथेसिसला नकार देण्याची शक्यता दर्शवते जेव्हा ती खरी असते (टाइप I त्रुटी).

  4. स्वतंत्रतेच्या डिग्रींना (असल्यास) प्रविष्ट करा:

    • t-चाचणी आणि चि-स्क्वेअर चाचण्यांसाठी आवश्यक.
    • t-चाचणीसाठी: ( df = n - 1 ), जिथे ( n ) नमुन्याचा आकार आहे.
    • चि-स्क्वेअर चाचणीसाठी: ( df = ) श्रेणींची संख्या कमी 1.

  5. गणना करा:

    • गणना करा बटणावर क्लिक करा जेणेकरून तुम्हाला क्रिटिकल व्हॅल्यू मिळेल.
    • परिणाम तुमच्या इनपुटसाठी संबंधित क्रिटिकल व्हॅल्यू दर्शवेल.

सूत्र

Z-चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यू

सामान्य वितरणासाठी:

  • एक-टेल चाचणी: Zc=Φ−1(1−α)Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)
  • दोन-टेल चाचणी: Zc=Φ−1(1−α2)Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)

जिथे:

  • ( \Phi^{-1} ) हा मानक सामान्य वितरणाचा उलटा संचय वितरण कार्य (quantile function) आहे.

t-चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यू

( df ) स्वतंत्रतेच्या डिग्रींसह t- वितरणासाठी:

  • एक-टेल चाचणी: tc=t−1(1−α,df)t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)
  • दोन-टेल चाचणी: tc=t−1(1−α2,df)t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)

जिथे:

  • ( t^{-1}(p, df) ) हा ( df ) स्वतंत्रतेच्या डिग्रींसह t- वितरणाचा p-था quantile आहे.

चि-स्क्वेअर चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यू

( df ) स्वतंत्रतेच्या डिग्रींसह चि-स्क्वेअर वितरणासाठी:

  • एक-टेल चाचणी: χc2=χ1−α,df2\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}
  • दोन-टेल चाचणी (दोन्ही कमी आणि उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू प्रदान करते):
    • कमी क्रिटिकल व्हॅल्यू: χlower2=χα/2,df2\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}
    • उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू: χupper2=χ1−α/2,df2\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}

जिथे:

  • ( \chi^2_{p, df} ) हा ( df ) स्वतंत्रतेच्या डिग्रींसह चि-स्क्वेअर वितरणाचा p-था quantile आहे.

गणना

कॅल्क्युलेटर खालील चरण पार पडतो:

  1. इनपुट वैधता:

    • तपासतो की ( \alpha ) 0 आणि 1 यामध्ये आहे (0 < ( \alpha ) < 1).
    • t-चाचणी आणि चि-स्क्वेअर चाचणीसाठी ( df ) एक सकारात्मक संपूर्ण संख्या आहे का ते सत्यापित करतो.

  2. टेल प्रकारासाठी महत्त्वाची पातळी समायोजित करा:

    • दोन-टेल चाचण्यांसाठी, ( \alpha ) 2 ने विभागले जाते.

  3. क्रिटिकल व्हॅल्यूची गणना करा:

    • क्रिटिकल व्हॅल्यू शोधण्यासाठी सांख्यिकीय वितरण कार्ये वापरतो.
    • अत्यंत ( \alpha ) मूल्ये आणि ( df ) साठी अचूकता सुनिश्चित करतो.

  4. परिणाम दर्शवा:

    • चार दशांश स्थळांपर्यंत गोल केलेल्या क्रिटिकल व्हॅल्यू दर्शवितो.
    • दोन-टेल चि-स्क्वेअर चाचण्यांसाठी, कमी आणि उच्च दोन्ही क्रिटिकल व्हॅल्यू प्रदान केले जातात.

कडव्या प्रकरणे आणि विचार

  • अत्यंत महत्त्वाची पातळ्या (( \alpha ) 0 किंवा 1 च्या जवळ):

    • ( \alpha ) 0 च्या जवळ जात असताना क्रिटिकल व्हॅल्यू अनंताकडे जातात.
    • जेव्हा ( \alpha ) अत्यंत लहान असते (उदा. ( 10^{-10} ) पेक्षा कमी), क्रिटिकल व्हॅल्यू संगणकीयदृष्ट्या अनंत किंवा अपरिभाषित असू शकते.
    • हँडलिंग: कॅल्क्युलेटर अशा प्रकरणांसाठी 'अनंत' किंवा 'अपरिभाषित' प्रदर्शित करेल. वापरकर्त्यांनी या परिणामांचे काळजीपूर्वक अर्थ लावावे आणि त्यांच्या विश्लेषणासाठी अशा अत्यंत महत्त्वाच्या पातळ्या योग्य आहेत का ते विचारावे.

  • मोठ्या स्वतंत्रतेच्या डिग्री (( df )):

    • ( df ) वाढल्यास, t- वितरण आणि चि-स्क्वेअर वितरण सामान्य वितरणाकडे जातात.
    • अत्यंत मोठ्या ( df ) साठी, क्रिटिकल व्हॅल्यू संगणकीय मर्यादांमुळे अपरिभाषित होऊ शकते.
    • हँडलिंग: कॅल्क्युलेटर व्यावहारिक संगणकीय मर्यादांना पार करणाऱ्या ( df ) साठी चेतावणी प्रदान करतो. अशा प्रकरणांमध्ये Z-चाचणी वापरण्याचा विचार करा.

  • लहान स्वतंत्रतेच्या डिग्री (( df \leq 1 )):

    • ( df = 1 ) साठी, t- वितरण आणि चि-स्क्वेअर वितरणात भारी टेल्स असतात.
    • क्रिटिकल व्हॅल्यू खूप मोठी किंवा अपरिभाषित असू शकते.
    • हँडलिंग: कॅल्क्युलेटर वापरकर्त्यांना सूचित करतो की ( df ) विश्वसनीय परिणामांसाठी खूप लहान आहे.

  • एक-टेल आणि दोन-टेल चाचण्या:

    • योग्य टेल प्रकार निवडणे क्रिटिकल व्हॅल्यूसाठी महत्त्वाचे आहे.
    • चुकीचा वापर हायपोथेसिस चाचणीमध्ये चुकीचे निष्कर्ष देऊ शकतो.
    • मार्गदर्शन: आपल्या संशोधन प्रश्नाचे सुनिश्चित करा की ते निवडलेल्या टेल प्रकाराशी संबंधित आहे.

वापर केसेस

क्रिटिकल व्हॅल्यूज विविध क्षेत्रांमध्ये वापरले जातात:

  1. शैक्षणिक संशोधन:

    • प्रयोग आणि अभ्यासांमध्ये हायपोथेसिसची चाचणी.
    • परिणामांच्या सांख्यिकीय महत्त्वाची निश्चिती.

  2. गुणवत्ता आश्वासन:

    • उत्पादन प्रक्रियांचे निरीक्षण.
    • अनियमितता शोधण्यासाठी नियंत्रण चार्ट वापरणे.

  3. आरोग्य आणि औषध:

    • नवीन उपचार किंवा औषधांच्या प्रभावीतेचे मूल्यांकन.
    • क्लिनिकल चाचणी परिणामांचे विश्लेषण.

  4. वित्त आणि अर्थशास्त्र:

    • बाजारातील ट्रेंड आणि आर्थिक निर्देशकांचे मूल्यांकन.
    • डेटा-आधारित गुंतवणूक निर्णय घेणे.

पर्याय

  • p-मूल्य:

    • फायदे:
      • निरीक्षित मूल्याच्या किमान तीव्रतेसाठी प्राप्त करण्याची अचूक संभाव्यता प्रदान करते.
      • कठोर कट ऑफच्या ऐवजी अधिक सूक्ष्म निर्णय घेण्यास अनुमती देते.
    • तोटा:
      • चुकीच्या अर्थाने वापरले जाऊ शकते; लहान p-मूल्य प्रभावाच्या आकाराचे किंवा त्याच्या महत्त्वाचे मोजमाप करत नाही.
      • नमुना आकारावर अवलंबून; मोठे नमुने तुच्छ प्रभावांसाठी लहान p-मूल्य देऊ शकतात.

  • विश्वास अंतर:

    • फायदे:
      • खरे पॅरामीटर कुठे असावे याची संभाव्यता दर्शवणारा मूल्यांचा एक श्रेणी प्रदान करते.
      • अंदाजाची अचूकता याबद्दल माहिती देते.
    • तोटा:
      • हायपोथेसिस चाचणीसाठी थेट वापरले जात नाही.
      • परिणामांचे अर्थ लावणे कठीण असू शकते जर विश्वास अंतर ओलांडले.

  • बायसेनियन पद्धती:

    • फायदे:
      • विश्लेषणात पूर्वज्ञान किंवा विश्वास समाविष्ट करते.
      • पॅरामीटर अंदाजाचा संभाव्यता वितरण प्रदान करते.
    • तोटा:
      • पूर्व वितरणांचे विशिष्टकरण आवश्यक आहे, जे व्यक्तिपरक असू शकते.
      • जटिल मॉडेलसाठी संगणकीयदृष्ट्या तीव्र.

  • गैर-पॅरामेट्रिक चाचण्या:

    • फायदे:
      • विशिष्ट वितरणाचा गृहितक घेत नाही.
      • जेव्हा डेटा पॅरामेट्रिक चाचण्यांच्या गृहितकांचे पालन करत नाही तेव्हा उपयुक्त.
    • तोटा:
      • पॅरामेट्रिक चाचण्यांच्या गृहितकांचे पालन करत असताना सामान्यतः कमी शक्ती असते.
      • परिणामांचे अर्थ लावणे कमी सोपे असू शकते.

इतिहास

क्रिटिकल व्हॅल्यूजचा विकास सांख्यिकीय अनुमानाच्या विकासासोबत संबंधित आहे:

  • 20 व्या शतकाची सुरुवात:

    • कार्ल पियर्सन ने 1900 मध्ये चि-स्क्वेअर चाचणीची ओळख करून दिली, चांगल्या-फिट चाचणीसाठी आधारभूत.
    • विलियम गोस्सेट (उपनाम "स्टुडंट") ने 1908 मध्ये लहान नमुन्यांच्या आकारांसाठी t- वितरण विकसित केले.

  • रोनाल्ड फिशर:

    • 1920 च्या दशकात, फिशरने सांख्यिकीय हायपोथेसिस चाचणीच्या संकल्पनेला औपचारिक स्वरूप दिले.
    • "महत्त्वाची पातळी" हा शब्द वापरला आणि योग्य क्रिटिकल व्हॅल्यू निवडण्यावर जोर दिला.

  • संगणनातील प्रगती:

    • संगणकांच्या आगमनामुळे विविध वितरणांसाठी क्रिटिकल व्हॅल्यूची अचूक गणना करणे शक्य झाले.
    • सांख्यिकीय सॉफ्टवेअर आता जलद आणि अचूक परिणाम प्रदान करते, संशोधनात व्यापक वापरास सुलभ करते.

उदाहरणे

उदाहरण 1: Z-चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूची गणना (एक-टेल)

परिस्थिती: एक कंपनी चाचणी घेते की नवीन प्रक्रिया उत्पादन वेळ कमी करते. त्यांनी ( \alpha = 0.05 ) ठरवले.

उपाय:

  • क्रिटिकल व्हॅल्यू: Zc=Φ−1(1−α)=Φ−1(0.95)≈1.6449Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449

कोड उदाहरण:

पायथन
import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
print(f"क्रिटिकल व्हॅल्यू (Z_c): {Z_c:.4f}")
जावास्क्रिप्ट
// Z-चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूसाठी जावास्क्रिप्ट उदाहरण
function calculateZCriticalValue(alpha) {
  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
}

const alpha = 0.05;
const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
console.log(`क्रिटिकल व्हॅल्यू (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);

टीप: सांख्यिकीय कार्यांसाठी jStat लायब्ररी आवश्यक आहे.

एक्सेल
' Z-चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूसाठी एक्सेल सूत्र
' एका सेलमध्ये, प्रविष्ट करा:
=NORM.S.INV(1 - 0.05)

' परिणाम:
' 1.6449 परत करतो

उदाहरण 2: t-चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूची गणना (दोन-टेल)

परिस्थिती: एक संशोधक 20 सहभागींसह प्रयोग करतो (( df = 19 )) आणि ( \alpha = 0.01 ) वापरतो.

उपाय:

  • क्रिटिकल व्हॅल्यू: tc=t−1(1−α2,df)=t−1(0.995,19)≈2.8609t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609

कोड उदाहरण:

R
alpha <- 0.01
df <- 19
t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
print(paste("क्रिटिकल व्हॅल्यू (t_c):", round(t_c, 4)))
MATLAB
alpha = 0.01;
df = 19;
t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('क्रिटिकल व्हॅल्यू (t_c): %.4f\n', t_c);
जावास्क्रिप्ट
// t-चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूसाठी जावास्क्रिप्ट उदाहरण
function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
}

const alpha = 0.01;
const df = 19;
const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
console.log(`क्रिटिकल व्हॅल्यू (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);

टीप: सांख्यिकीय कार्यांसाठी jStat लायब्ररी आवश्यक आहे.

एक्सेल
' t-चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूसाठी एक्सेल सूत्र (दोन-टेल)
' एका सेलमध्ये, प्रविष्ट करा:
=T.INV.2T(0.01, 19)

' परिणाम:
' 2.8609 परत करतो

उदाहरण 3: चि-स्क्वेअर चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूजची गणना (दोन-टेल)

परिस्थिती: एक विश्लेषक 5 श्रेणींमध्ये निरीक्षित डेटा चांगला-फिट चाचणीसाठी चाचणी घेतो (( df = 4 )) ( \alpha = 0.05 ) वर.

उपाय:

  • कमी क्रिटिकल व्हॅल्यू: χlower2=χα/2,df2=χ0.025,42≈0.7107\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107
  • उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू: χupper2=χ1−α/2,df2=χ0.975,42≈11.1433\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433

कोड उदाहरण:

पायथन
import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
df = 4
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
print(f"कमी क्रिटिकल व्हॅल्यू: {chi2_lower:.4f}")
print(f"उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू: {chi2_upper:.4f}")
MATLAB
alpha = 0.05;
df = 4;
chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('कमी क्रिटिकल व्हॅल्यू: %.4f\n', chi2_lower);
fprintf('उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू: %.4f\n', chi2_upper);
जावास्क्रिप्ट
// चि-स्क्वेअर चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूसाठी जावास्क्रिप्ट उदाहरण
function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
  return { lower, upper };
}

const alpha = 0.05;
const df = 4;
const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
console.log(`कमी क्रिटिकल व्हॅल्यू: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
console.log(`उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);

टीप: सांख्यिकीय कार्यांसाठी jStat लायब्ररी आवश्यक आहे.

एक्सेल
' चि-स्क्वेअर चाचणी क्रिटिकल व्हॅल्यूसाठी एक्सेल सूत्र (दोन-टेल)
' कमी क्रिटिकल व्हॅल्यू (एका सेलमध्ये):
=CHISQ.INV(0.025, 4)

' उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू (दुसऱ्या सेलमध्ये):
=CHISQ.INV(0.975, 4)

' परिणाम:
' कमी क्रिटिकल व्हॅल्यू: 0.7107
' उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू: 11.1433

उदाहरण 4: अत्यंत मूल्ये हाताळणे (कडव्या प्रकरण)

परिस्थिती: एक चाचणी अत्यंत लहान महत्त्वाच्या पातळीवर ( \alpha = 0.0001 ) आणि ( df = 1 ) सह केली जाते.

उपाय:

  • एक-टेल t-चाचणीसाठी: tc=t−1(1−α,df)t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)

  • क्रिटिकल व्हॅल्यू अत्यंत मोठ्या संख्येकडे जाते.

कोड उदाहरण (पायथन):

import scipy.stats as stats

alpha = 0.0001
df = 1
t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"क्रिटिकल व्हॅल्यू (t_c): {t_c}")

परिणाम:

आउटपुट एक अत्यंत मोठा क्रिटिकल व्हॅल्यू दर्शवेल, दर्शवितो की अशा लहान ( \alpha ) आणि कमी ( df ) सह, क्रिटिकल व्हॅल्यू अत्यंत उच्च आहे, संभाव्यतः अनंताकडे जात आहे. हे दर्शवते की अत्यंत इनपुट्स संगणकीय आव्हानांमध्ये कसे बदलू शकतात.

कॅल्क्युलेटरमध्ये हाताळणे:

कॅल्क्युलेटर अशा प्रकरणांसाठी 'अनंत' किंवा 'अपरिभाषित' परत करेल आणि वापरकर्त्याला महत्त्वाच्या पातळ्या समायोजित करण्याचा विचार करण्यास सुचवेल किंवा पर्यायी पद्धती वापरण्यासाठी विचार करेल.

दृश्यता

क्रिटिकल व्हॅल्यूज समजून घेण्यात वितरण वक्र आणि छायांकित नकारात्मक क्षेत्रांचे दृश्यांकन मदत करते.

सामान्य वितरण (Z-चाचणी)

z f(z)

0 1.96 मानक सामान्य वितरण नकारात्मक क्षेत्र स्वीकृती क्षेत्र क्रिटिकल व्हॅल्यू

क्रिटिकल व्हॅल्यूस दर्शविणारे मानक सामान्य वितरणाचे SVG आरेख. क्रिटिकल व्हॅल्यूच्या पलीकडे असलेला क्षेत्र नकारात्मक क्षेत्र दर्शवितो. x-आयाम z-स्कोअर दर्शवतो, आणि y-आयाम संभाव्यता घनता कार्य f(z) दर्शवतो.

t-डिस्ट्रिब्यूशन

t f(t)

0 -2.101 2.101 t-डिस्ट्रिब्यूशन (df = 20) डावे नकारात्मक क्षेत्र उजवे नकारात्मक क्षेत्र स्वीकृती क्षेत्र क्रिटिकल व्हॅल्यू क्रिटिकल व्हॅल्यू

त-डिस्ट्रिब्यूशन दर्शविणारे SVG आरेख, निर्दिष्ट स्वतंत्रतेच्या डिग्रीसह क्रिटिकल व्हॅल्यू दर्शवितो. विशेषतः, t-डिस्ट्रिब्यूशन सामान्य वितरणाच्या तुलनेत जड टेल्स आहे.

चि-स्क्वेअर वितरण

χ²L χ²U

χ² संभाव्यता घनता चि-स्क्वेअर वितरण दोन-टेल चाचणी

दोन-टेल चाचणीसाठी कमी आणि उच्च क्रिटिकल व्हॅल्यू दर्शविणारे चि-स्क्वेअर वितरणाचे SVG आरेख. वितरण उजवीकडे झुकलेले आहे.

टीप: SVG आरेख सामग्रीमध्ये समाविष्ट आहेत जेणेकरून समजून घेण्यात मदत होईल. प्रत्येक आरेख अचूकपणे लेबल केलेले आहे, आणि रंग Tailwind CSS च्या अनुरूप निवडले गेले आहेत.

संदर्भ

  1. पियर्सन, के. (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. Philosophical Magazine Series 5, 50(302), 157–175. लिंक

  2. स्टुडंट (गोस्सेट, डब्ल्यू. एस.) (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1), 1–25. लिंक

  3. फिशर, आर. ए. (1925). Statistical Methods for Research Workers. एडिनबर्ग: ओलिव्हर & बॉयड.

  4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. क्रिटिकल व्हॅल्यूज. लिंक

  5. विकिपीडिया. क्रिटिकल व्हॅल्यू. लिंक

संबंधित साधने

Z-स्कोर कॅल्क्युलेटर: डेटा पॉइंटसाठी मानक स्कोर
कोन व्हॉल्यूम गणक - पूर्ण आणि कापलेले कोन गणना करा
कच्चा स्कोअर कॅल्क्युलेटर: सांख्यिकी विश्लेषण साधन
Feedback