统计临界值计算器：Z检验、t检验与卡方检验

临界值计算器

介绍

临界值在统计假设检验中至关重要。它们定义了我们拒绝零假设以支持备择假设的阈值。通过计算临界值，研究人员可以确定他们的检验统计量是否落在拒绝区域内，并根据数据做出明智的决策。

此计算器帮助您找到最常用统计检验的单尾和双尾临界值，包括 Z 检验、t 检验和卡方检验。它支持各种显著性水平和自由度，为您的统计分析提供准确的结果。

如何使用此计算器

选择检验类型：
- Z 检验：适用于大样本或已知总体方差。
- t 检验：当样本量较小且总体方差未知时使用。
- 卡方检验：用于分类数据和适合度检验。
选择尾部类型：
- 单尾检验：检验方向性效应（例如，大于或小于某个值）。
- 双尾检验：检验无论方向的任何显著差异。
输入显著性水平（( \alpha )）：
- 介于 0 和 1 之间的值（常用选择为 0.05、0.01、0.10）。
- 表示在零假设为真的情况下拒绝零假设的概率（第一类错误）。
输入自由度（如适用）：
- t 检验和卡方检验所需。
- 对于 t 检验：( df = n - 1 )，其中 ( n ) 是样本量。
- 对于卡方检验：( df = ) 类别数减去 1。
计算：
- 点击计算按钮以获得临界值。
- 结果将显示与您的输入对应的临界值。

公式

Z 检验临界值

对于标准正态分布：

单尾检验： $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$
双尾检验： $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)$

其中：

( \Phi^{-1} ) 是标准正态分布的逆累积分布函数（分位数函数）。

t 检验临界值

对于具有 ( df ) 自由度的 t 分布：

单尾检验： $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
双尾检验： $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)$

其中：

( t^{-1}(p, df) ) 是具有 ( df ) 自由度的 t 分布的 p-th 分位数。

卡方检验临界值

对于具有 ( df ) 自由度的卡方分布：

单尾检验： $\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}$
双尾检验（提供上下临界值）：
- 下临界值： $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}$
- 上临界值： $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}$

其中：

( \chi^2_{p, df} ) 是具有 ( df ) 自由度的卡方分布的 p-th 分位数。

计算

计算器执行以下步骤：

输入验证：
- 检查 ( \alpha ) 是否在 0 和 1 之间（0 < ( \alpha ) < 1）。
- 验证 ( df ) 是否为正整数（对于 t 检验和卡方检验）。
根据尾部类型调整显著性水平：
- 对于双尾检验，将 ( \alpha ) 除以 2。
计算临界值：
- 使用统计分布函数查找临界值。
- 确保即使对于极端的 ( \alpha ) 值和 ( df ) 也能保持准确性。
显示结果：
- 结果四舍五入到小数点后四位。
- 对于双尾卡方检验，提供下临界值和上临界值。

边缘情况和注意事项

极端显著性水平（( \alpha ) 接近 0 或 1）：
- 当 ( \alpha ) 接近 0 时，临界值接近无穷大。
- 当 ( \alpha ) 极小（例如，小于 ( 10^{-10} )）时，临界值可能计算为无穷大或未定义。
- 处理：计算器将显示“无穷大”或“未定义”。用户应谨慎解读这些结果，并考虑这种极端显著性水平是否适合他们的分析。
大自由度（( df )）：
- 随着 ( df ) 的增加，t 分布和卡方分布接近正态分布。
- 对于非常大的 ( df )，临界值可能由于计算限制而变得未定义。
- 处理：当 ( df ) 超过实际计算限制时，计算器会提供警告。在这种情况下，考虑使用 Z 检验作为近似值。
小自由度（( df \leq 1 )）：
- 对于 ( df = 1 )，t 分布和卡方分布具有重尾。
- 临界值可能非常大或未定义。
- 处理：如果 ( df ) 太小以至于无法获得可靠结果，计算器会提醒用户。
单尾与双尾检验：
- 选择正确的尾部类型对于准确的临界值至关重要。
- 错误使用可能导致假设检验中的错误结论。
- 指导：确保您的研究问题与所选尾部类型一致。

用例

临界值在各个领域中得到应用：

学术研究：
- 在实验和研究中检验假设。
- 确定结果的统计显著性。
质量保证：
- 监控生产过程。
- 使用控制图检测异常。
医疗和医学：
- 评估新治疗或药物的有效性。
- 分析临床试验结果。
金融和经济：
- 评估市场趋势和经济指标。
- 基于数据做出投资决策。

替代方案

p 值：
- 优点：
  - 提供获得至少与观察值同样极端的检验统计量的确切概率。
  - 允许更细致的决策，而不是严格的临界值。
- 缺点：
  - 可能被误解；小 p 值并不衡量效应的大小或重要性。
  - 依赖于样本大小；大样本可能会因微不足道的效应而产生小 p 值。
置信区间：
- 优点：
  - 提供一个值范围，真实参数可能落在其中。
  - 提供有关估计精度的信息。
- 缺点：
  - 不直接用于假设检验。
  - 结果的解释可能比较复杂，特别是当置信区间重叠时。
贝叶斯方法：
- 优点：
  - 将先前的知识或信念纳入分析。
  - 提供参数估计的概率分布。
- 缺点：
  - 需要指定先验分布，这可能是主观的。
  - 对于复杂模型，计算量大。
非参数检验：
- 优点：
  - 不假设特定分布。
  - 当数据不满足参数检验的假设时很有用。
- 缺点：
  - 当满足假设时，通常不如参数检验有效。
  - 结果的解释可能不那么直接。

历史

临界值的发展与统计推断的演变密切相关：

20 世纪初：
- 卡尔·皮尔逊在 1900 年引入了卡方检验，为适合度检验奠定了基础。
- 威廉·戈塞特（笔名“学生”）在 1908 年为小样本开发了 t 分布。
罗纳德·费舍尔：
- 在 1920 年代，费舍尔正式化了统计假设检验的概念。
- 引入了“显著性水平”一词，并强调选择适当的临界值。
计算机的进步：
- 计算机的出现使得各种分布的临界值可以精确计算。
- 统计软件现在可以快速准确地提供结果，促进了在研究中的广泛应用。

示例

示例 1：计算 Z 检验临界值（单尾）

场景：一家公司希望测试新过程是否减少了平均生产时间。他们设定 ( \alpha = 0.05 )。

解决方案：

临界值： $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

代码示例：

Python

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
print(f"临界值 (Z_c): {Z_c:.4f}")

JavaScript

// JavaScript 示例用于 Z 检验临界值
function calculateZCriticalValue(alpha) {
  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
}

const alpha = 0.05;
const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
console.log(`临界值 (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);

注意：需要 jStat 库以获取统计函数。

Excel

' Excel 公式用于 Z 检验临界值（单尾）
' 在一个单元格中输入：
=NORM.S.INV(1 - 0.05)

' 结果：
' 返回 1.6449

示例 2：计算 t 检验临界值（双尾）

场景：一位研究人员对 20 名参与者进行实验（( df = 19 )），并使用 ( \alpha = 0.01 )。

解决方案：

临界值： $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609$

代码示例：

R

alpha <- 0.01
df <- 19
t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
print(paste("临界值 (t_c):", round(t_c, 4)))

MATLAB

alpha = 0.01;
df = 19;
t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('临界值 (t_c): %.4f\n', t_c);

JavaScript

// JavaScript 示例用于 t 检验临界值
function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
}

const alpha = 0.01;
const df = 19;
const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
console.log(`临界值 (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);

注意：需要 jStat 库。

Excel

' Excel 公式用于 t 检验临界值（双尾）
' 在一个单元格中输入：
=T.INV.2T(0.01, 19)

' 结果：
' 返回 2.8609

示例 3：计算卡方检验临界值（双尾）

场景：一位分析师在 5 个类别（( df = 4 )）中测试观察数据与预期频率的适合度，显著性水平为 ( \alpha = 0.05 )。

解决方案：

下临界值： $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107$
上临界值： $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433$

代码示例：

Python

import scipy.stats as stats

alpha = 0.05
df = 4
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
print(f"下临界值: {chi2_lower:.4f}")
print(f"上临界值: {chi2_upper:.4f}")

MATLAB

alpha = 0.05;
df = 4;
chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
fprintf('下临界值: %.4f\n', chi2_lower);
fprintf('上临界值: %.4f\n', chi2_upper);

JavaScript

// JavaScript 示例用于卡方检验临界值
function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
  return { lower, upper };
}

const alpha = 0.05;
const df = 4;
const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
console.log(`下临界值: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
console.log(`上临界值: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);

注意：需要 jStat 库。

Excel

' Excel 公式用于卡方检验临界值（双尾）
' 下临界值（在一个单元格中）：
=CHISQ.INV(0.025, 4)

' 上临界值（在另一个单元格中）：
=CHISQ.INV(0.975, 4)

' 结果：
' 下临界值: 0.7107
' 上临界值: 11.1433

示例 4：处理极端值（边缘情况）

场景：进行测试，显著性水平为极小的 ( \alpha = 0.0001 ) 和 ( df = 1 )。

解决方案：

对于单尾 t 检验： $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
临界值接近非常大的数字。

代码示例（Python）：

import scipy.stats as stats

alpha = 0.0001
df = 1
t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"临界值 (t_c): {t_c}")

结果：

输出将显示一个非常大的临界值，表明在如此小的 ( \alpha ) 和低 ( df ) 下，临界值极高，可能接近无穷大。这例证了极端输入可能导致的计算挑战。

在计算器中的处理：

计算器将返回“无穷大”或“未定义”以处理此类情况，并建议用户考虑调整显著性水平或使用替代方法。

可视化

理解临界值通过可视化分布曲线和阴影拒绝区域得到增强。

正态分布（Z 检验）

0 1.96 标准正态分布拒绝区域接受区域临界值

一个 SVG 图示，说明标准正态分布，标记了临界值。临界值以外的区域表示拒绝区域。X 轴表示 z 分数，Y 轴表示概率密度函数 f(z)。

t 分布

0 -2.101 2.101 t 分布 (df = 20) 左拒绝区域右拒绝区域接受区域临界值临界值

一个 SVG 图示，展示了指定自由度的 t 分布，标记了临界值。值得注意的是，t 分布的尾部比正态分布更重。

卡方分布

χ² 概率密度卡方分布双尾检验

一个 SVG 图示，描绘了卡方分布，标记了双尾检验的上下临界值。该分布向右偏斜。

注意：SVG 图示嵌入在内容中以增强理解。每个图示都准确标记，颜色选择与 Tailwind CSS 互补。

参考文献

皮尔逊，K. (1900). 关于给定系统的偏差的标准，相关变量的情况下，合理假设其来自随机抽样的可能性. 哲学杂志系列 5, 50(302), 157–175. 链接
学生（戈塞特，W. S.） (1908). 均值的可能误差. 生物统计学，6(1), 1–25. 链接
费舍尔，R. A. (1925). 研究工作者的统计方法. 爱丁堡：奥利弗与博伊德。
NIST/SEMATECH 电子统计方法手册. 临界值. 链接
维基百科. 临界值. 链接

临界值计算器

介绍

如何使用此计算器

公式

Z 检验临界值

t 检验临界值

卡方检验临界值

计算

边缘情况和注意事项

用例

替代方案

历史

示例

示例 1：计算 Z 检验临界值（单尾）

Python

JavaScript

Excel

示例 2：计算 t 检验临界值（双尾）

R

MATLAB

JavaScript

Excel

示例 3：计算卡方检验临界值（双尾）

Python

MATLAB

JavaScript

Excel

示例 4：处理极端值（边缘情况）

可视化

正态分布（Z 检验）

t 分布

卡方分布

参考文献

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