Fisher's Exact Test Rechner

Einführung

Der Fisher's Exact Test ist ein statistischer Signifikanztest, der verwendet wird, um festzustellen, ob es nicht-zufällige Assoziationen zwischen zwei kategorialen Variablen bei kleinen Stichprobengrößen gibt. Dieser Fisher's Exact Test Rechner liefert präzise p-Werte für 2×2 Kontingenztafeln, wenn die Stichprobengrößen zu klein sind, damit der Chi-Quadrat-Test zuverlässig ist. Im Gegensatz zu approximativen Tests bietet der Fisher's Exact Test exakte Wahrscheinlichkeitsberechnungen für die Analyse kategorialer Daten.

So verwenden Sie diesen Fisher's Exact Test Rechner

1. Testtyp auswählen: Wählen Sie zwischen einseitigem oder zweiseitigem Fisher's Exact Test
2. Werte der Kontingenztafel eingeben:
   • Zelle A: Anzahl der Erfolge in Gruppe 1
   • Zelle B: Anzahl der Misserfolge in Gruppe 1
   • Zelle C: Anzahl der Erfolge in Gruppe 2
   • Zelle D: Anzahl der Misserfolge in Gruppe 2
3. Berechnen: Klicken Sie, um den exakten p-Wert zu berechnen
4. Ergebnisse interpretieren: Der p-Wert des Fisher's Exact Tests zeigt die statistische Signifikanz an

Der Fisher's Exact Test ist entscheidend, wenn die gesamte Stichprobengröße klein ist (typischerweise n < 1000) oder wenn die erwarteten Häufigkeiten in einer Zelle weniger als 5 betragen.

Eingabevalidierung

Der Fisher's Exact Test Rechner führt umfassende Validierungen durch:

• Alle Zellwerte müssen nicht-negative ganze Zahlen sein
• Mindestens eine Zelle muss einen positiven Wert enthalten
• Die gesamte Stichprobengröße sollte für exakte Testmethoden geeignet sein
• Ungültige Eingaben zeigen Fehlermeldungen mit Korrekturhinweisen an

Fisher's Exact Test Formel

Der Fisher's Exact Test verwendet die hypergeometrische Verteilung, um exakte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen:

Wahrscheinlichkeit für eine spezifische Tabelle: $P = \frac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{a!b!c!d!n!}$

Wo:

• a, b, c, d = Zellwerte in der 2×2 Kontingenztafel
• n = gesamte Stichprobengröße (a+b+c+d)
• ! = Fakultätsnotation

Einseitiger Fisher's Exact Test: $P_{einseitig} = \sum_{i=a}^{\min(r_1,c_1)} \frac{r_1!r_2!c_1!c_2!}{i!(r_1-i)!(c_1-i)!(r_2-c_1+i)!n!}$

Zweiseitiger Fisher's Exact Test: $P_{zweiseitig} = \sum_{P(tabelle) \leq P(beobachtet)} P(tabelle)$

Berechnungsmethode für den Fisher's Exact Test

Der Fisher's Exact Test Rechner implementiert den folgenden Algorithmus:

1. Beobachtete Wahrscheinlichkeit berechnen: Berechnen Sie die hypergeometrische Wahrscheinlichkeit für die eingegebene Kontingenztafel
2. Einseitiger Test: Summieren Sie die Wahrscheinlichkeiten für alle Tabellen mit Ergebnissen, die so extrem oder extremer in die vorhergesagte Richtung sind
3. Zweiseitiger Test: Summieren Sie die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Tabellen mit einer Wahrscheinlichkeit ≤ beobachtete Wahrscheinlichkeit
4. Präzisionsbehandlung: Verwendet logarithmische Berechnungen, um numerische Überläufe bei großen Fakultäten zu verhindern

Der Fisher's Exact Test liefert exakte p-Werte, ohne auf asymptotische Annäherungen angewiesen zu sein, was ihn zum Goldstandard für die Analyse kategorialer Daten bei kleinen Stichproben macht.

Wann man den Fisher's Exact Test verwenden sollte

Der Fisher's Exact Test wird empfohlen, wenn:

1. Kleine Stichprobengrößen: Gesamt n < 1000 oder jede erwartete Zellhäufigkeit < 5
2. Exakte p-Werte benötigt: Wenn präzise Wahrscheinlichkeitsberechnungen erforderlich sind
3. 2×2 Kontingenztafel: Testen der Unabhängigkeit zwischen zwei binären Variablen
4. Medizinische Forschung: Klinische Studien mit kleinen Patientengruppen
5. Qualitätskontrolle: Analyse von Herstellungsfehlern mit begrenzten Proben

Anwendungen des Fisher's Exact Tests:

• A/B-Tests mit kleinen Konversionsproben
• Studien zur Wirksamkeit medizinischer Behandlungen
• Genetische Assoziationsstudien
• Umfrageforschung mit binären Ergebnissen
• Analyse von Bildungsinterventionen

Fisher's Exact Test vs Chi-Quadrat-Test

Wählen Sie den Fisher's Exact Test, wenn die Einschränkungen der Stichprobengröße die Annahmen des Chi-Quadrat-Tests ungültig machen.

Beispiele für den Fisher's Exact Test

Beispiel 1: Studie zur medizinischen Behandlung

• Behandelte Patienten, die sich verbesserten: 8 (Zelle A)
• Behandelte Patienten, die sich nicht verbesserten: 2 (Zelle B)
• Kontrollpatienten, die sich verbesserten: 3 (Zelle C)
• Kontrollpatienten, die sich nicht verbesserten: 7 (Zelle D)
• p-Wert des Fisher's Exact Tests: 0.0524

Beispiel 2: Qualitätskontrollanalyse

• Defekte Artikel von Maschine A: 1 (Zelle A)
• Gute Artikel von Maschine A: 19 (Zelle B)
• Defekte Artikel von Maschine B: 6 (Zelle C)
• Gute Artikel von Maschine B: 14 (Zelle D)
• p-Wert des Fisher's Exact Tests: 0.0456

Codebeispiele für den Fisher's Exact Test

1# Python-Implementierung mit scipy
2from scipy.stats import fisher_exact
3
4# 2x2 Kontingenztafel
5table = [[8, 2],
6         [3, 7]]
7
8# Zweiseitiger Fisher's Exact Test
9odds_ratio, p_value = fisher_exact(table, alternative='two-sided')
10print(f"p-Wert des Fisher's Exact Tests: {p_value:.4f}")
11

1# R-Implementierung
2# Kontingenztafel erstellen
3table <- matrix(c(8, 2, 3, 7), nrow = 2, byrow = TRUE)
4
5# Fisher's Exact Test
6result <- fisher.test(table)
7print(paste("p-Wert:", result$p.value))
8

1// JavaScript-Implementierung (vereinfacht)
2function fisherExactTest(a, b, c, d, testType) {
3    // Verwendet die hypergeometrische Verteilung
4    // Implementierung entspricht unserem Rechner
5    return calculateFishersExactTest(a, b, c, d, testType);
6}
7

Interpretation des Fisher's Exact Tests

Interpretation des p-Werts:

• p < 0.001: Extrem starke Beweise gegen die Nullhypothese
• p < 0.01: Sehr starke Beweise gegen die Nullhypothese
• p < 0.05: Starke Beweise gegen die Nullhypothese (signifikant)
• p ≥ 0.05: Unzureichende Beweise, um die Nullhypothese abzulehnen

Überlegungen zur Effektgröße:

• Kleine Stichproben können große Effektgrößen, aber nicht signifikante p-Werte aufweisen
• Berücksichtigen Sie Konfidenzintervalle zusammen mit den Ergebnissen des Fisher's Exact Tests
• Klinische Signifikanz vs. statistische Signifikanz

Häufig gestellte Fragen

Wofür wird der Fisher's Exact Test verwendet? Der Fisher's Exact Test bestimmt, ob eine signifikante Assoziation zwischen zwei kategorialen Variablen in einer 2×2 Kontingenztafel besteht, insbesondere wenn die Stichprobengrößen klein sind.

Wann sollte ich den Fisher's Exact Test anstelle des Chi-Quadrat-Tests verwenden? Verwenden Sie den Fisher's Exact Test, wenn Ihre gesamte Stichprobengröße weniger als 1000 beträgt oder wenn eine erwartete Zellhäufigkeit weniger als 5 beträgt.

Was ist der Unterschied zwischen einseitigem und zweiseitigem Fisher's Exact Test? Einseitige Tests prüfen auf eine Assoziation in eine bestimmte Richtung (vorgegebene Hypothese), während zweiseitige Tests auf jede Assoziation ohne gerichtete Vorhersage prüfen.

Kann der Fisher's Exact Test Tabellen größer als 2×2 verarbeiten? Der Standard-Fisher's Exact Test ist für 2×2 Tabellen konzipiert. Für größere Kontingenztafeln verwenden Sie die Freeman-Halton-Erweiterung oder andere exakte Tests.

Ist der Fisher's Exact Test immer genauer als der Chi-Quadrat-Test? Der Fisher's Exact Test liefert exakte p-Werte, was ihn für kleine Stichproben genauer macht. Für große Stichproben ist der Chi-Quadrat-Test jedoch rechnerisch effizient mit vernachlässigbarem Genauigkeitsverlust.

Welche Annahmen trifft der Fisher's Exact Test? Der Fisher's Exact Test geht von festen Randtotalen, der Unabhängigkeit der Beobachtungen und davon aus, dass die Daten einer hypergeometrischen Verteilung folgen.

Wie interpretiere ich die Konfidenzintervalle des Fisher's Exact Tests? Konfidenzintervalle für das Odds Ratio geben den Bereich plausibler Effektgrößen an. Wenn das Intervall 1.0 ausschließt, ist die Assoziation statistisch signifikant.

Kann ich den Fisher's Exact Test für gepaarte Daten verwenden? Nein, der Fisher's Exact Test ist für unabhängige Gruppen. Verwenden Sie stattdessen den McNemar-Test für gepaarte kategoriale Daten.

Referenzen und weiterführende Literatur

1. Fisher, R.A. (1922). "Zur Interpretation von χ² aus Kontingenztafeln und zur Berechnung von P." Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87-94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). "Hinweis zu einer exakten Behandlung von Kontingenz-, Anpassungs- und anderen Signifikanzproblemen." Biometrika, 38(1/2), 141-149.
3. Agresti, A. (2018). "Eine Einführung in die Analyse kategorialer Daten" (3. Aufl.). Wiley.
4. McDonald, J.H. (2014). "Handbuch der biologischen Statistik" (3. Aufl.). Sparky House Publishing.

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