Calculateur de Demi-Vie | Calculer la Décroissance Radioactive et le Métabolisme des Médicaments

Qu’est-ce que la demi-vie ?

La demi-vie est le temps nécessaire pour qu’une quantité diminue jusqu’à la moitié de sa valeur initiale. Ce calculateur de demi-vie fonctionne dans un seul sens : saisissez une constante de désintégration et il renvoie la demi-vie. Ce concept s’applique aux isotopes radioactifs, aux médicaments éliminés par l’organisme et à tout autre processus qui décroît de manière exponentielle.

La demi-vie ne dépend pas de la quantité de matière présente. L’uranium-238 a une demi-vie d’environ 4,5 milliards d’années, que l’échantillon pèse un kilogramme ou qu’il ne représente qu’un atome au sein d’une grande population. Seule la constante de désintégration de la substance détermine la demi-vie.

Formule de la demi-vie

La formule standard est la suivante :

t½ = ln(2) / λ

• t½ est la demi-vie, exprimée dans l’unité de temps utilisée pour λ.
• ln(2) est le logarithme népérien de 2, soit environ 0,6931.
• λ (lambda) est la constante de désintégration, c’est-à-dire la fraction de la substance qui se désintègre par unité de temps.

Cette formule découle de l’équation de la décroissance exponentielle :

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Ici, N₀ est la quantité initiale, N(t) est la quantité restante après un temps t, et e est le nombre d’Euler, soit environ 2,718. En posant N(t) égal à N₀/2 et en résolvant par rapport à t, on obtient t½ = ln(2)/λ. Une constante de désintégration plus élevée signifie une demi-vie plus courte ; une constante plus faible signifie une demi-vie plus longue.

Unités de la constante de désintégration

La constante de désintégration λ se mesure en unité de temps inverse, par exemple par seconde, par jour ou par an. Elle doit correspondre à l’unité de temps souhaitée pour le résultat. Une constante exprimée « par jour » mais interprétée comme « par heure » rend le résultat faux d’un facteur 24 ; vérifier les unités en premier évite donc que les erreurs se propagent dans le calcul.

Comment calculer une demi-vie

1. Trouvez la constante de désintégration. Recherchez λ pour la substance ou déduisez-la de données mesurées, en notant soigneusement son unité de temps.
2. Divisez ln(2) par λ. Le résultat, t½ = ln(2)/λ, est la demi-vie dans la même unité de temps que λ.
3. Vérifiez l’ordre de grandeur du résultat. Un isotope médical ne devrait pas avoir une demi-vie d’un million d’années ; un isotope géologique ne devrait pas avoir une demi-vie mesurée en jours. Un résultat très éloigné de la plage attendue indique généralement une incohérence d’unités.

Pour les isotopes à très longue durée de vie, λ est souvent écrit en notation scientifique, par exemple 1,54 × 10⁻¹⁰ par an pour l’uranium-238. Le champ de la constante de désintégration accepte cette valeur en notation e, saisie sous la forme 1.54e-10.

Ce que montre ce calculateur

Le calculateur demande deux valeurs. La quantité initiale est la quantité présente au temps zéro, dans l’unité choisie par l’utilisateur, et elle doit être au moins égale à 0,1. La constante de désintégration est λ, exprimée par unité de temps.

Le résultat est la demi-vie, affichée avec quatre décimales, dans la même unité de temps que λ. En dessous, une phrase reformule le résultat comme le temps nécessaire pour que la quantité initiale diminue jusqu’à sa moitié. Une constante de désintégration nulle ou négative est refusée, car ln(2)/0 n’a pas de valeur.

Le graphique représente N(t) = N₀ × e^(−λt) du temps zéro à cinq demi-vies, à l’aide de 101 points régulièrement espacés. Après cinq demi-vies, il reste 1/32 de la quantité initiale, soit environ 3,1 %. La courbe peut être téléchargée sous forme de feuille de calcul avec un pas choisi par l’utilisateur.

Exemple de calcul

Exemple 1 : datation au carbone-14

Le carbone-14 a une constante de désintégration d’environ 1,21 × 10⁻⁴ par an.

t½ = ln(2) / (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 5 730 ans

Les organismes vivants échangent continuellement du carbone avec l’atmosphère, ce qui maintient constant leur taux de carbone-14. Après leur mort, ces échanges cessent et le carbone-14 déjà présent commence à se désintégrer selon ce rythme. La comparaison entre le carbone-14 restant et le carbone-12 stable permet aux scientifiques d’estimer depuis combien de temps un organisme est mort. La méthode devient peu fiable au-delà d’environ 60 000 ans, car il ne reste alors plus assez de carbone-14 pour effectuer une mesure précise.

Exemple 2 : iode-131 en médecine

L’iode-131, utilisé pour le traitement et l’imagerie de la thyroïde, a une constante de désintégration d’environ 0,0862 par jour.

t½ = ln(2) / 0,0862 ≈ 8,04 jours

Après environ 8 jours, la moitié d’une dose administrée d’iode-131 s’est désintégrée. Dix demi-vies, soit environ 80 jours, réduisent la radioactivité à environ un millième de son niveau initial, ce dont les hôpitaux tiennent compte pour planifier les mesures de sécurité des patients et la remise en service des chambres.

Exemple 3 : taux d’élimination d’un médicament

Un médicament est éliminé de l’organisme à un taux de 0,2 par heure.

t½ = ln(2) / 0,2 ≈ 3,47 heures

La moitié du médicament quitte la circulation sanguine en environ 3,5 heures. Les médecins utilisent cette valeur pour espacer les doses afin que la concentration du médicament reste dans une plage thérapeutique : un intervalle trop court risque d’entraîner une accumulation jusqu’à des niveaux toxiques, tandis qu’un intervalle trop long laisse la concentration tomber sous le seuil d’efficacité.

Grandeurs associées

Quelques autres termes décrivent le même processus de désintégration sous des angles différents.

• Constante de désintégration (λ) : elle intervient dans la formule de la demi-vie. Elle est égale à ln(2)/t½ et donne, par unité de temps, la probabilité qu’un atome donné se désintègre.
• Durée de vie moyenne (τ) : c’est le temps moyen pendant lequel une particule existe avant de se désintégrer, égal à 1/λ, soit t½/ln(2). Elle est environ 1,44 fois plus longue que la demi-vie.
• Activité : mesurée en becquerels ou en curies, elle correspond au nombre de désintégrations par seconde dans un échantillon réel. Contrairement à λ, l’activité dépend de la quantité de matière présente : un gramme d’un isotope à courte durée de vie a une activité bien plus élevée qu’un gramme d’un isotope à longue durée de vie.
• Demi-vie effective : elle s’applique dans les organismes vivants, où une substance est éliminée à la fois par désintégration physique et par des processus biologiques tels que l’excrétion. Elle se calcule à partir de 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological et est toujours plus courte que la demi-vie physique seule.

Applications de la demi-vie

Datation radiométrique. Le carbone-14 permet de dater des matières organiques âgées jusqu’à environ 60 000 ans. Des isotopes à plus longue durée de vie permettent de dater des matières plus anciennes : l’uranium-238 se désintègre en plomb-206 et, avec une demi-vie proche de 4,5 milliards d’années, il sert à dater les roches formées depuis l’origine de la Terre.

Gestion des déchets nucléaires. Le combustible usé contient un mélange d’isotopes aux demi-vies très différentes. L’iode-131 devient inoffensif en quelques mois, tandis que le plutonium-239, dont la demi-vie est proche de 24 000 ans, nécessite un stockage pendant plusieurs centaines de milliers d’années.

Pharmacologie. La demi-vie d’un médicament détermine son schéma posologique. Une administration régulière permet d’atteindre une concentration sanguine stable après environ cinq demi-vies ; l’élimination d’un médicament de l’organisme jusqu’à un niveau négligeable demande également environ cinq demi-vies.

Médecine nucléaire. Le technétium-99m, dont la demi-vie est d’environ 6 heures, est couramment utilisé en imagerie diagnostique, car il reste actif assez longtemps pour produire une image tout en se désintégrant assez rapidement pour limiter l’exposition du patient aux rayonnements.

Suivi environnemental. Le césium-137 (environ 30 ans) et le strontium-90 (environ 29 ans) servent à suivre la contamination due aux accidents nucléaires, car leur demi-vie est assez longue pour qu’ils persistent pendant des décennies, mais assez courte pour qu’ils finissent par se désintégrer.

Foire aux questions

Qu’est-ce que la demi-vie, en termes simples ?

La demi-vie est le temps nécessaire pour que la moitié d’une quantité disparaisse ou se transforme en autre chose. Si l’on commence avec 100 grammes d’un isotope radioactif, il reste 50 grammes après une demi-vie, puis 25 grammes après une demi-vie supplémentaire. Ce temps est le même quelle que soit la quantité de matière présente au départ.

Comment calcule-t-on la demi-vie à partir d’une constante de désintégration ?

Divisez ln(2), soit environ 0,693, par la constante de désintégration λ : t½ = ln(2)/λ. Le résultat est exprimé dans l’unité de temps utilisée pour mesurer λ ; une constante par an donne donc une demi-vie en années.

La température ou la pression modifient-elles la demi-vie ?

Non. Les demi-vies radioactives sont déterminées par des processus se produisant à l’intérieur du noyau atomique et ne sont pas affectées par la température, la pression ou l’état chimique. Il en va autrement des demi-vies biologiques ou effectives, qui peuvent varier en fonction de facteurs tels que le métabolisme.

Combien faut-il de demi-vies pour qu’une substance ait pratiquement disparu ?

La décroissance exponentielle n’atteint jamais exactement zéro, mais après 10 demi-vies, il ne reste qu’environ 0,1 % de la quantité initiale, un niveau généralement considéré comme négligeable en pratique.

La demi-vie s’applique-t-elle aux substances qui ne sont pas radioactives ?

Oui. Toute quantité qui décroît de manière exponentielle possède une demi-vie, notamment la caféine éliminée de la circulation sanguine, les médicaments éliminés par l’organisme et certains polluants qui se dégradent dans le sol ou l’eau. La même formule, t½ = ln(2)/λ, s’applique dans chaque cas.

Quelle est la précision de la datation au carbone-14 ?

Pour les échantillons âgés de moins d’environ 30 000 ans, les résultats sont généralement précis à quelques centaines d’années près, après étalonnage à l’aide des données des cernes des arbres afin de tenir compte des variations passées du taux de carbone-14 atmosphérique. Au-delà d’environ 60 000 ans, il ne reste plus assez de carbone-14 pour obtenir une mesure fiable.

Références

1. L'Annunziata, Michael F. (2016). Radioactivity: Introduction and History, From the Quantum to Quarks. Elsevier Science. ISBN 978-0444634979.
2. Krane, Kenneth S. (1988). Introductory Nuclear Physics. Wiley. ISBN 978-0471805533.
3. National Institute of Standards and Technology. "Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. International Atomic Energy Agency. "Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html