Calculateur de Demi-Vie | Calculer la Décroissance Radioactive et le Métabolisme des Médicaments

Qu’est-ce que la demi-vie ?

La demi-vie est le temps nécessaire pour qu’une quantité tombe à la moitié de sa valeur initiale. Un calculateur de demi-vie détermine ce temps à partir d’une constante de désintégration, ou détermine la constante de désintégration à partir d’une demi-vie connue. Cette notion s’applique aux isotopes radioactifs, aux médicaments qui quittent l’organisme et à tout autre processus qui décroît de façon exponentielle.

La demi-vie ne dépend pas de la quantité de matière présente. L’uranium 238 a une demi-vie d’environ 4,5 milliards d’années, que l’échantillon pèse un kilogramme ou ne représente que la part d’un atome au sein d’une grande population. Seule la constante de désintégration de la substance détermine la demi-vie.

Formule de la demi-vie

La formule standard est :

t½ = ln(2) / λ

• t½ est la demi-vie, exprimée dans l’unité de temps utilisée pour λ.
• ln(2) est le logarithme népérien de 2, soit environ 0,6931.
• λ (lambda) est la constante de désintégration, c’est-à-dire la fraction de la substance qui se désintègre par unité de temps.

Cette formule découle de l’équation de la décroissance exponentielle :

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Ici, N₀ est la quantité initiale, N(t) est la quantité restante après un temps t, et e est le nombre d’Euler, soit environ 2,718. En posant N(t) égal à N₀/2 et en résolvant par rapport à t, on obtient t½ = ln(2)/λ. Une constante de désintégration plus élevée signifie une demi-vie plus courte ; une constante plus faible signifie une demi-vie plus longue.

Unités de la constante de désintégration

La constante de désintégration λ se mesure en unité de temps inverse, par exemple par seconde, par jour ou par an. Elle doit correspondre à l’unité de temps souhaitée pour le résultat. Une constante exprimée « par jour » mais interprétée comme « par heure » rend le résultat faux d’un facteur 24 ; vérifier les unités en premier évite donc que les erreurs se propagent dans le calcul.

Comment calculer une demi-vie

1. Trouvez la constante de désintégration. Recherchez λ pour la substance ou déduisez-la de données mesurées, en notant soigneusement son unité de temps.
2. Divisez ln(2) par λ. Le résultat, t½ = ln(2)/λ, est la demi-vie dans la même unité de temps que λ.
3. Vérifiez l’ordre de grandeur du résultat. Un isotope médical ne devrait pas avoir une demi-vie d’un million d’années ; un isotope géologique ne devrait pas avoir une demi-vie mesurée en jours. Un résultat très éloigné de la plage attendue indique généralement une incohérence d’unités.

Pour les isotopes à très longue durée de vie, λ s’écrit souvent en notation scientifique, par exemple 1,55 × 10⁻¹⁰ par an pour l’uranium 238. La plupart des calculateurs, y compris celui-ci, acceptent cette valeur soit sous forme d’exposant, soit sous la forme « 1.55e-10 ». Le calculateur affiche la demi-vie avec quatre décimales et trace la courbe de désintégration sur cinq demi-vies.

Exemples détaillés

Exemple 1 : datation au carbone 14

Le carbone 14 a une constante de désintégration d’environ 1,21 × 10⁻⁴ par an, ce qui correspond à sa demi-vie mesurée de 5 730 ans.

t½ = ln(2) / (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 5 728 ans

Le petit écart par rapport à 5 730 vient de l’arrondi de λ à trois chiffres significatifs.

Les organismes vivants échangent continuellement du carbone avec l’atmosphère, ce qui maintient constant leur taux de carbone 14. Après la mort, cet échange cesse et le carbone 14 déjà présent commence à se désintégrer selon ce rythme. La comparaison du carbone 14 restant avec le carbone 12 stable permet aux scientifiques d’estimer depuis combien de temps un organisme est mort. La méthode est précise jusqu’à environ 30 000 ans et donne des dates raisonnables jusqu’à environ 50 000 ans. Au-delà, il reste trop peu de carbone 14 pour le mesurer.

Exemple 2 : iode 131 en médecine

L’iode 131, utilisé dans le traitement et l’imagerie de la thyroïde, a une demi-vie d’environ 8 jours. Sa constante de désintégration est d’environ 0,0862 par jour.

t½ = ln(2) / 0,0862 ≈ 8,04 jours

Après environ 8 jours, la moitié d’une dose administrée d’iode 131 s’est désintégrée. Dix demi-vies, soit environ 80 jours, ramènent la radioactivité à environ un millième du niveau initial (1/2¹⁰ = 1/1,024).

Exemple 3 : taux d’élimination d’un médicament

Un médicament est éliminé de l’organisme à un taux de 0,2 par heure.

t½ = ln(2) / 0,2 ≈ 3,47 heures

La moitié du médicament quitte la circulation sanguine en environ 3,5 heures. Les médecins utilisent ce chiffre pour espacer les doses. Un intervalle trop court peut laisser le médicament s’accumuler jusqu’à des niveaux toxiques. Un intervalle trop long laisse le taux tomber sous la plage utile.

Grandeurs associées

Quelques autres termes décrivent le même processus de désintégration sous des angles différents.

• Constante de désintégration (λ) : elle intervient dans la formule de la demi-vie. Elle est égale à ln(2)/t½ et donne, par unité de temps, la probabilité qu’un atome donné se désintègre.
• Durée de vie moyenne (τ) : c’est le temps moyen pendant lequel une particule existe avant de se désintégrer, égal à 1/λ, soit t½/ln(2). Elle est environ 1,44 fois plus longue que la demi-vie.
• Activité : mesurée en becquerels ou en curies, elle correspond au nombre de désintégrations par seconde dans un échantillon réel. Contrairement à λ, l’activité dépend de la quantité de matière présente : un gramme d’un isotope à courte durée de vie a une activité bien plus élevée qu’un gramme d’un isotope à longue durée de vie.
• Demi-vie effective : elle s’applique dans les organismes vivants, où une substance est éliminée à la fois par désintégration physique et par des processus biologiques tels que l’excrétion. Elle se calcule à partir de 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological et est toujours plus courte que la demi-vie physique seule.

Applications de la demi-vie

Datation radiométrique. Le carbone 14 permet de dater des matières organiques vieilles d’au plus environ 50 000 ans. Des isotopes à plus longue durée de vie permettent de dater des matières plus anciennes : l’uranium 238, qui se désintègre en plomb 206 avec une demi-vie proche de 4,5 milliards d’années, sert à dater les roches formées depuis l’origine de la Terre.

Gestion des déchets nucléaires. Le combustible usé contient un mélange d’isotopes aux demi-vies très différentes. L’iode 131 disparaît en quelques mois. Le plutonium 239 a une demi-vie d’environ 24 110 ans, de sorte que dix demi-vies durent environ 241 000 ans.

Pharmacologie. La demi-vie d’un médicament détermine son schéma posologique. Avec des doses régulières, le taux sanguin augmente sur plusieurs demi-vies, puis se stabilise. Après une dose unique, cinq demi-vies en laissent environ 3 % (1/2⁵ = 1/32).

Médecine nucléaire. Le technétium 99m, dont la demi-vie est d’environ 6 heures, est courant en imagerie diagnostique, car il reste actif assez longtemps pour produire une image mais se désintègre assez vite pour limiter l’exposition du patient aux rayonnements.

Traçage environnemental. Le césium 137 (environ 30 ans) et le strontium 90 (environ 29 ans) servent à suivre la contamination due aux accidents nucléaires, car leurs demi-vies sont assez longues pour persister pendant des décennies mais assez courtes pour finir par disparaître.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la demi-vie, en termes simples ?

La demi-vie est le temps nécessaire pour que la moitié d’une quantité disparaisse ou se transforme en autre chose. Si l’on commence avec 100 grammes d’un isotope radioactif, il reste 50 grammes après une demi-vie, puis 25 grammes après une demi-vie supplémentaire. Ce temps est le même quelle que soit la quantité de matière présente au départ.

Comment calcule-t-on la demi-vie à partir d’une constante de désintégration ?

Divisez ln(2), soit environ 0,693, par la constante de désintégration λ : t½ = ln(2)/λ. Le résultat est exprimé dans l’unité de temps utilisée pour mesurer λ ; une constante par an donne donc une demi-vie en années.

La température ou la pression modifient-elles la demi-vie ?

Non. Les demi-vies radioactives sont déterminées par des processus se produisant à l’intérieur du noyau atomique et ne sont pas affectées par la température, la pression ou l’état chimique. Il en va autrement des demi-vies biologiques ou effectives, qui peuvent varier en fonction de facteurs tels que le métabolisme.

Combien faut-il de demi-vies pour qu’une substance ait pratiquement disparu ?

La décroissance exponentielle n’atteint jamais exactement zéro, mais après 10 demi-vies, il ne reste qu’environ 0,1 % de la quantité initiale, un niveau généralement considéré comme négligeable en pratique.

La demi-vie s’applique-t-elle aux substances qui ne sont pas radioactives ?

Oui. Toute quantité qui décroît de manière exponentielle possède une demi-vie, notamment la caféine éliminée de la circulation sanguine, les médicaments éliminés par l’organisme et certains polluants qui se dégradent dans le sol ou l’eau. La même formule, t½ = ln(2)/λ, s’applique dans chaque cas.

Quelle est la précision de la datation au carbone 14 ?

La datation au carbone 14 est précise pour des échantillons vieux d’au plus environ 30 000 ans et donne des dates raisonnablement précises jusqu’à environ 50 000 ans. Les échantillons plus anciens contiennent trop peu de carbone 14 pour une mesure fiable.

Références

1. OpenStax. Chemistry 2e, 21,3 Radioactive Decay. Désintégration radioactive — t½ = ln 2/λ, N = N₀e^(−λt), demi-vie du carbone 14 de 5 730 ans et λ = 1,21 × 10⁻⁴ par an, plage de datation au carbone 14.
2. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Uranium. Notions de base sur les radionucléides : uranium — demi-vie de l’uranium 238 de 4,47 milliards d’années.
3. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Iodine. Notions de base sur les radionucléides : iode — demi-vie de l’iode 131 de 8 jours.
4. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Plutonium. Notions de base sur les radionucléides : plutonium — demi-vie du plutonium 239 de 24 110 ans.
5. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Technetium-99. Notions de base sur les radionucléides : technétium 99 — demi-vie du technétium 99m de 6 heures.
6. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Cesium-137. Notions de base sur les radionucléides : césium 137 — demi-vie du césium 137 de 30,17 ans.
7. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Strontium-90. Notions de base sur les radionucléides : strontium 90 — demi-vie du strontium 90 de 29 ans.