Calculadora de Distribució Gamma

Calculadora de Distribució Gamma

Introducció

La distribució gamma és una distribució de probabilitat contínua que s'utilitza àmpliament en diversos camps de la ciència, l'enginyeria i les finances. Es caracteritza per dos paràmetres: el paràmetre de forma (k o α) i el paràmetre d'escala (θ o β). Aquesta calculadora permet calcular diverses propietats de la distribució gamma en funció d'aquests paràmetres d'entrada.

Fórmula

La funció de densitat de probabilitat (PDF) de la distribució gamma es dóna per:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

On:

• x > 0 és la variable aleatòria
• k > 0 és el paràmetre de forma
• θ > 0 és el paràmetre d'escala
• Γ(k) és la funció gamma

La funció de distribució acumulada (CDF) és:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

On γ(k, x/θ) és la funció gamma incompleta inferior.

Les propietats clau de la distribució gamma inclouen:

1. Mitjana: $E[X] = k\theta$
2. Variància: $Var[X] = k\theta^2$
3. Asimetria: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Curtosi: $3 + \frac{6}{k}$

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

1. Introduïu el paràmetre de forma (k o α)
2. Introduïu el paràmetre d'escala (θ o β)
3. Feu clic a "Calcular" per calcular diverses propietats de la distribució gamma
4. Els resultats mostraran la mitjana, la variància, l'asimetria, la curtosi i altra informació rellevant
5. Es mostrarà una visualització de la funció de densitat de probabilitat

Càlcul

La calculadora utilitza les fórmules esmentades anteriorment per calcular diverses propietats de la distribució gamma. Aquí teniu una explicació pas a pas:

1. Valideu els paràmetres d'entrada (tant k com θ han de ser positius)
2. Calculeu la mitjana: $k\theta$
3. Calculeu la variància: $k\theta^2$
4. Calculeu l'asimetria: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Calculeu la curtosi: $3 + \frac{6}{k}$
6. Calculeu el mode: $(k-1)\theta$ per a k ≥ 1, en cas contrari 0
7. Generar punts per a la corba PDF utilitzant la fórmula donada anteriorment
8. Dibuixar la corba PDF

Consideracions Numèriques

En implementar els càlculs de la distribució gamma, s'han de tenir en compte diverses consideracions numèriques:

1. Per a paràmetres de forma molt petits (k < 1), la PDF pot apropar-se a l'infinit a mesura que x s'aproxima a 0, cosa que pot causar inestabilitat numèrica.
2. Per a paràmetres de forma grans, la funció gamma Γ(k) pot arribar a ser molt gran, provocant potencialment un desbordament. En aquests casos, és aconsellable treballar amb el logaritme de la funció gamma.
3. En calcular la CDF, sovint és més numèricament estable utilitzar algoritmes especialitzats per a la funció gamma incompleta en lloc de la integració directa de la PDF.
4. Per a valors de paràmetres extrems, pot ser necessari utilitzar aritmètica de precisió estesa per mantenir l'exactitud.

Casos d'Ús

La distribució gamma té nombroses aplicacions en diversos camps:

1. Finances: Modelar distribucions d'ingressos, quantitats de reclamacions d'assegurança i rendiments d'actius
2. Meteorologia: Analitzar patrons de pluja i altres fenòmens relacionats amb el temps
3. Enginyeria: Anàlisi de fiabilitat i modelatge del temps de fallada
4. Física: Descriure els temps d'espera entre esdeveniments de desintegració radioactiva
5. Biologia: Modelar l'abundància d'espècies i els nivells d'expressió gènica
6. Investigació d'Operacions: Teoria de cues i gestió d'inventaris

Alternatives

Si bé la distribució gamma és versàtil, hi ha distribucions relacionades que podrien ser més adequades en certes situacions:

1. Distribució Exponencial: Un cas especial de la distribució gamma quan k = 1
2. Distribució Chi-quadrat: Un cas especial de la distribució gamma amb k = n/2 i θ = 2
3. Distribució Weibull: Sovint utilitzada com a alternativa en l'anàlisi de fiabilitat
4. Distribució Log-normal: Una altra opció comuna per modelar dades positives i asimètriques

Estimació de Paràmetres

En treballar amb dades del món real, sovint és necessari estimar els paràmetres de la distribució gamma. Els mètodes comuns inclouen:

1. Mètode de Moments: Igualar els moments de la mostra als moments teòrics
2. Estimació de Màxima Versemblança (MLE): Trobar paràmetres que maximitzen la versemblança d'observar les dades
3. Estimació Bayesiana: Incorporar coneixements previs sobre els paràmetres

Proves d'Hipòtesi

La distribució gamma es pot utilitzar en diverses proves d'hipòtesi, incloent:

1. Proves de bondat d'ajust per determinar si les dades segueixen una distribució gamma
2. Proves per a l'igualtat dels paràmetres d'escala entre dues distribucions gamma
3. Proves per a l'igualtat dels paràmetres de forma entre dues distribucions gamma

Història

La distribució gamma té una rica història en matemàtiques i estadística:

• Segle XVIII: Leonhard Euler va introduir la funció gamma, que està estretament relacionada amb la distribució gamma
• 1836: Siméon Denis Poisson va utilitzar un cas especial de la distribució gamma en el seu treball sobre teoria de probabilitats
• Anys 1920: Ronald Fisher va popularitzar l'ús de la distribució gamma en l'anàlisi estadística
• Mitjan segle XX: La distribució gamma es va utilitzar àmpliament en enginyeria de fiabilitat i proves de vida
• Final del segle XX fins al present: Els avenços en la potència de càlcul han facilitat treballar amb distribucions gamma en diverses aplicacions

Exemples

Aquí teniu alguns exemples de codi per calcular propietats de la distribució gamma:

' Funció VBA d'Excel per la PDF de la Distribució Gamma
Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
    Else
        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
    End If
End Function
' Ús:
' =GammaPDF(2, 3, 1)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma

def plot_gamma_distribution(k, theta):
    x = np.linspace(0, 20, 1000)
    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
    
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
    plt.title(f'Distribució Gamma (k={k}, θ={theta})')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('Densitat de Probabilitat')
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.show()

## Exemple d'ús:
k, theta = 2, 2
plot_gamma_distribution(k, theta)

## Calcular propietats
mean = k * theta
variance = k * theta**2
skewness = 2 / np.sqrt(k)
kurtosis = 3 + 6 / k

print(f"Mitjana: {mean}")
print(f"Variància: {variance}")
print(f"Asimetria: {skewness}")
print(f"Curtosi: {kurtosis}")

function gammaFunction(n) {
    if (n === 1) return 1;
    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
}

function gammaPDF(x, k, theta) {
    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
}

function calculateGammaProperties(k, theta) {
    const mean = k * theta;
    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
    const kurtosis = 3 + 6 / k;

    console.log(`Mitjana: ${mean}`);
    console.log(`Variància: ${variance}`);
    console.log(`Asimetria: ${skewness}`);
    console.log(`Curtosi: ${kurtosis}`);
}

// Exemple d'ús:
const k = 2, theta = 2;
calculateGammaProperties(k, theta);

// Dibuixar PDF (utilitzant una biblioteca de gràfics hipotètica)
const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
// plotLine(xValues, yValues);

Aquests exemples demostren com calcular propietats de la distribució gamma i visualitzar la seva funció de densitat de probabilitat utilitzant diversos llenguatges de programació. Podeu adaptar aquestes funcions a les vostres necessitats específiques o integrar-les en sistemes d'anàlisi estadística més grans.

Referències

1. "Distribució Gamma." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Accedit el 2 d'agost de 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.