Υπολογιστής Κατανομής Γάμμα

Εισαγωγή

Η κατανομή γάμμα είναι μια συνεχής κατανομή πιθανότητας που χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους τομείς της επιστήμης, της μηχανικής και των οικονομικών. Χαρακτηρίζεται από δύο παραμέτρους: την παράμετρο σχήματος (k ή α) και την παράμετρο κλίμακας (θ ή β). Αυτός ο υπολογιστής σας επιτρέπει να υπολογίσετε διάφορες ιδιότητες της κατανομής γάμμα με βάση αυτές τις εισαγωγικές παραμέτρους.

Τύπος

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) της κατανομής γάμμα δίνεται από:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Όπου:

• x > 0 είναι η τυχαία μεταβλητή
• k > 0 είναι η παράμετρος σχήματος
• θ > 0 είναι η παράμετρος κλίμακας
• Γ(k) είναι η συνάρτηση γάμμα

Η σωρευτική συνάρτηση κατανομής (CDF) είναι:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Όπου γ(k, x/θ) είναι η κατώτερη ατελής συνάρτηση γάμμα.

Οι βασικές ιδιότητες της κατανομής γάμμα περιλαμβάνουν:

1. Μέσος: $E[X] = k\theta$
2. Διακύμανση: $Var[X] = k\theta^2$
3. Σκορ: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Κουρτώση: $3 + \frac{6}{k}$

Πώς να Χρησιμοποιήσετε Αυτόν τον Υπολογιστή

1. Εισάγετε την παράμετρο σχήματος (k ή α)
2. Εισάγετε την παράμετρο κλίμακας (θ ή β)
3. Κάντε κλικ στο "Υπολογισμός" για να υπολογίσετε διάφορες ιδιότητες της κατανομής γάμμα
4. Τα αποτελέσματα θα εμφανίσουν τον μέσο, τη διακύμανση, το σκορ, την κουρτώση και άλλες σχετικές πληροφορίες
5. Θα εμφανιστεί μια απεικόνιση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας

Υπολογισμός

Ο υπολογιστής χρησιμοποιεί τους τύπους που αναφέρθηκαν παραπάνω για να υπολογίσει διάφορες ιδιότητες της κατανομής γάμμα. Ακολουθεί μια βήμα προς βήμα εξήγηση:

1. Επικυρώστε τις εισαγωγικές παραμέτρους (τόσο το k όσο και το θ πρέπει να είναι θετικά)
2. Υπολογίστε τον μέσο: $k\theta$
3. Υπολογίστε τη διακύμανση: $k\theta^2$
4. Υπολογίστε το σκορ: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Υπολογίστε την κουρτώση: $3 + \frac{6}{k}$
6. Υπολογίστε τη μόδα: $(k-1)\theta$ για k ≥ 1, αλλιώς 0
7. Δημιουργήστε σημεία για την καμπύλη PDF χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο
8. Σχεδιάστε την καμπύλη PDF

Αριθμητικές Σκέψεις

Κατά την εφαρμογή των υπολογισμών της κατανομής γάμμα, πρέπει να ληφθούν υπόψη αρκετές αριθμητικές σκέψεις:

1. Για πολύ μικρές παραμέτρους σχήματος (k < 1), η PDF μπορεί να προσεγγίζει το άπειρο καθώς το x προσεγγίζει το 0, γεγονός που μπορεί να προκαλέσει αριθμητική αστάθεια.
2. Για μεγάλες παραμέτρους σχήματος, η συνάρτηση γάμμα Γ(k) μπορεί να γίνει πολύ μεγάλη, προκαλώντας πιθανώς υπερχείλιση. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι σκόπιμο να εργαστείτε με το λογάριθμο της συνάρτησης γάμμα.
3. Κατά τον υπολογισμό της CDF, είναι συχνά πιο αριθμητικά σταθερό να χρησιμοποιείτε εξειδικευμένους αλγορίθμους για την ατελή συνάρτηση γάμμα παρά άμεση ολοκλήρωση της PDF.
4. Για ακραίες τιμές παραμέτρων, μπορεί να είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε επεκτατική αριθμητική ακρίβεια για να διατηρήσετε την ακρίβεια.

Χρήσεις

Η κατανομή γάμμα έχει πολλές εφαρμογές σε διάφορους τομείς:

1. Οικονομικά: Μοντελοποίηση κατανομών εισοδήματος, ποσών αξιώσεων ασφάλισης και αποδόσεων περιουσιακών στοιχείων
2. Μετεωρολογία: Ανάλυση προτύπων βροχόπτωσης και άλλων καιρικών φαινομένων
3. Μηχανική: Ανάλυση αξιοπιστίας και μοντελοποίηση χρόνων αποτυχίας
4. Φυσική: Περιγραφή χρόνων αναμονής μεταξύ γεγονότων ραδιενεργού αποσύνθεσης
5. Βιολογία: Μοντελοποίηση αφθονίας ειδών και επιπέδων έκφρασης γονιδίων
6. Επιχειρησιακή Έρευνα: Θεωρία ουρών και διαχείριση αποθεμάτων

Εναλλακτικές

Ενώ η κατανομή γάμμα είναι ευέλικτη, υπάρχουν σχετικές κατανομές που μπορεί να είναι πιο κατάλληλες σε ορισμένες περιπτώσεις:

1. Κατανομή Εκθετική: Μια ειδική περίπτωση της κατανομής γάμμα όταν k = 1
2. Κατανομή Χι-τετράγωνο: Μια ειδική περίπτωση της κατανομής γάμμα με k = n/2 και θ = 2
3. Κατανομή Weibull: Συχνά χρησιμοποιείται ως εναλλακτική στην ανάλυση αξιοπιστίας
4. Κατανομή Λογαριθμικά κανονική: Μια άλλη κοινή επιλογή για την μοντελοποίηση θετικών, ασύμμετρων δεδομένων

Εκτίμηση Παραμέτρων

Όταν εργάζεστε με πραγματικά δεδομένα, είναι συχνά απαραίτητο να εκτιμήσετε τις παραμέτρους της κατανομής γάμμα. Συνήθεις μέθοδοι περιλαμβάνουν:

1. Μέθοδος Μορίων: Ισοστάθμιση δειγματοληπτικών μορίων με θεωρητικά μόρια
2. Εκτίμηση Μέγιστης Πιθανότητας (MLE): Εύρεση παραμέτρων που μεγιστοποιούν την πιθανότητα παρατήρησης των δεδομένων
3. Μπαϊσιανή Εκτίμηση: Ενσωμάτωση προηγούμενης γνώσης σχετικά με τις παραμέτρους

Δοκιμές Υποθέσεων

Η κατανομή γάμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διάφορες δοκιμές υποθέσεων, συμπεριλαμβανομένων:

1. Δοκιμές καλής προσαρμογής για να προσδιορίσουν αν τα δεδομένα ακολουθούν μια κατανομή γάμμα
2. Δοκιμές για την ισότητα παραμέτρων κλίμακας μεταξύ δύο κατανομών γάμμα
3. Δοκιμές για την ισότητα παραμέτρων σχήματος μεταξύ δύο κατανομών γάμμα

Ιστορία

Η κατανομή γάμμα έχει πλούσια ιστορία στα μαθηματικά και τη στατιστική:

• 18ος αιώνας: Ο Λεονάρντ Έιλερ εισήγαγε τη συνάρτηση γάμμα, η οποία σχετίζεται στενά με την κατανομή γάμμα
• 1836: Ο Σιμεόν Ντενί Πουασσόν χρησιμοποίησε μια ειδική περίπτωση της κατανομής γάμμα στο έργο του για τη θεωρία πιθανότητας
• 1920s: Ο Ρόναλντ Φίσερ δημοσίευσε τη χρήση της κατανομής γάμμα στην στατιστική ανάλυση
• Μέσα του 20ού αιώνα: Η κατανομή γάμμα έγινε ευρέως χρησιμοποιούμενη στην ανάλυση αξιοπιστίας και τη δοκιμή ζωής
• Τέλη του 20ού αιώνα έως σήμερα: Οι εξελίξεις στην υπολογιστική ισχύ έχουν διευκολύνει την εργασία με κατανομές γάμμα σε διάφορες εφαρμογές

Παραδείγματα

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα κώδικα για τον υπολογισμό ιδιοτήτων της κατανομής γάμμα:

1' Excel VBA Συνάρτηση για PDF Κατανομής Γάμμα
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Χρήση:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Κατανομή Γάμμα (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Πυκνότητα Πιθανότητας')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Παράδειγμα χρήσης:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Υπολογισμός ιδιοτήτων
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Μέσος: {mean}")
29print(f"Διακύμανση: {variance}")
30print(f"Σκορ: {skewness}")
31print(f"Κουρτώση: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Μέσος: ${mean}`);
19    console.log(`Διακύμανση: ${variance}`);
20    console.log(`Σκορ: ${skewness}`);
21    console.log(`Κουρτώση: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Παράδειγμα χρήσης:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Σχεδιάστε PDF (χρησιμοποιώντας μια υποθετική βιβλιοθήκη σχεδίασης)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν πώς να υπολογίσετε τις ιδιότητες της κατανομής γάμμα και να απεικονίσετε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας χρησιμοποιώντας διάφορες γλώσσες προγραμματισμού. Μπορείτε να προσαρμόσετε αυτές τις συναρτήσεις στις συγκεκριμένες ανάγκες σας ή να τις ενσωματώσετε σε μεγαλύτερα συστήματα στατιστικής ανάλυσης.

Αναφορές

1. "Κατανομή Γάμμα." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Πρόσβαση 2 Αυγ. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.