מחשבון התפלגות גמא

מבוא

התפלגות גמא היא התפלגות הסתברות רציפה שמשמשת רבות בתחומים שונים של מדע, הנדסה ופיננסים. היא מאופיינת בשני פרמטרים: פרמטר הצורה (k או α) ופרמטר הסקלה (θ או β). מחשבון זה מאפשר לך לחשב תכונות שונות של התפלגות גמא בהתבסס על הפרמטרים הקלטים הללו.

נוסחה

פונקציית הצפיפות ההסתברותית (PDF) של התפלגות גמא נתונה על ידי:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

איפה:

• x > 0 הוא המשתנה האקראי
• k > 0 הוא פרמטר הצורה
• θ > 0 הוא פרמטר הסקלה
• Γ(k) היא פונקציית גמא

פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF) היא:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

איפה γ(k, x/θ) היא פונקציית הגמא החסרה הנמוכה.

תכונות מפתח של התפלגות גמא כוללות:

1. ממוצע: $E[X] = k\theta$
2. שונות: $Var[X] = k\theta^2$
3. אסימטריה: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. קרטוזיס: $3 + \frac{6}{k}$

כיצד להשתמש במחשבון זה

1. הכנס את פרמטר הצורה (k או α)
2. הכנס את פרמטר הסקלה (θ או β)
3. לחץ על "חשב" כדי לחשב תכונות שונות של התפלגות גמא
4. התוצאות יראו את הממוצע, השונות, האסימטריה, הקרטוזיס ומידע רלוונטי נוסף
5. תוצג ויזואליזציה של פונקציית הצפיפות ההסתברותית

חישוב

המחשבון משתמש בנוסחאות המוזכרות לעיל כדי לחשב תכונות שונות של התפלגות גמא. הנה הסבר שלב אחר שלב:

1. אמת את פרמטרי הקלט (גם k וגם θ חייבים להיות חיוביים)
2. חשב את הממוצע: $k\theta$
3. חשב את השונות: $k\theta^2$
4. חשב את האסימטריה: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. חשב את הקרטוזיס: $3 + \frac{6}{k}$
6. חשב את המודוס: $(k-1)\theta$ עבור k ≥ 1, אחרת 0
7. צור נקודות עבור עקומת ה-PDF באמצעות הנוסחה שניתנה לעיל
8. צייר את עקומת ה-PDF

שיקולים מספריים

בעת יישום חישובי התפלגות גמא, יש לקחת בחשבון מספר שיקולים מספריים:

1. עבור פרמטרי צורה מאוד קטנים (k < 1), ה-PDF יכול להתקרב לאינסוף כאשר x מתקרב ל-0, מה שעלול לגרום לאי יציבות מספרית.
2. עבור פרמטרי צורה גדולים, פונקציית הגמא Γ(k) יכולה להיות מאוד גדולה, מה שעלול לגרום ל-overflow. במקרים כאלה, מומלץ לעבוד עם הלוגריתם של פונקציית הגמא.
3. בעת חישוב ה-CDF, לעיתים קרובות יותר יציב מספרית להשתמש באלגוריתמים מיוחדים לפונקציית הגמא החסרה במקום אינטגרציה ישירה של ה-PDF.
4. עבור ערכי פרמטרים קיצוניים, ייתכן שיהיה צורך להשתמש באריתמטיקה של דיוק מורחב כדי לשמור על דיוק.

מקרים לשימוש

התפלגות גמא יש לה יישומים רבים בתחומים שונים:

1. פיננסים: מודלים של התפלגויות הכנסות, סכומי תביעות ביטוח, ותשואות נכסים
2. מטאורולוגיה: ניתוח דפוסי משקעים ותופעות מזג האוויר אחרות
3. הנדסה: ניתוח אמינות ודוגמנות זמני כישלון
4. פיזיקה: תיאור זמני המתנה בין אירועים של התפרקות רדיו-אקטיבית
5. ביולוגיה: מודלים של שפע מינים ורמות ביטוי גנים
6. מחקר תפעולי: תורת התורים וניהול מלאי

חלופות

בעוד שהתפלגות גמא היא רב-תכליתית, ישנן התפלגויות קשורות שעשויות להיות מתאימות יותר במצבים מסוימים:

1. התפלגות אקספוננציאלית: מקרה מיוחד של התפלגות גמא כאשר k = 1
2. התפלגות חי-ריבוע: מקרה מיוחד של התפלגות גמא עם k = n/2 ו-θ = 2
3. התפלגות ויבול: לעיתים קרובות משמשת כחלופה בניתוח אמינות
4. התפלגות לוגריתמית-נורמלית: בחירה נפוצה נוספת לדוגמנות נתונים חיוביים מעוקבים

הערכת פרמטרים

בעת עבודה עם נתונים מהעולם האמיתי, לעיתים יש צורך להעריך את הפרמטרים של התפלגות גמא. שיטות נפוצות כוללות:

1. שיטת הרגעים: השוואת רגעים לדוגמה לרגעים תיאורטיים
2. הערכת מקסימום הלikelihood (MLE): מציאת פרמטרים הממקסמים את הסבירות של תצפיות הנתונים
3. הערכה בייסיאנית: שילוב ידע קודם על פרמטרים

בדיקות השערות

התפלגות גמא יכולה לשמש במגוון בדיקות השערות, כולל:

1. בדיקות טובת התאמה כדי לקבוע אם נתונים עוקבים אחרי התפלגות גמא
2. בדיקות להשוואת פרמטרי סקלה בין שתי התפלגויות גמא
3. בדיקות להשוואת פרמטרי צורה בין שתי התפלגויות גמא

היסטוריה

להתפלגות גמא יש היסטוריה עשירה במתמטיקה ובסטטיסטיקה:

• המאה ה-18: לאונרד אוילר הציג את פונקציית הגמא, שהיא קשורה באופן הדוק להתפלגות גמא
• 1836: סימאון דניס פואסון השתמש במקרה מיוחד של התפלגות גמא בעבודתו על תיאוריה הסתברותית
• שנות ה-1920: רונלד פישר הפך את השימוש בהתפלגות גמא לפופולרי בניתוח סטטיסטי
• אמצע המאה ה-20: התפלגות גמא הפכה לשימוש נרחב בהנדסת אמינות ובדיקת חיים
• סוף המאה ה-20 ועד היום: התקדמות בכוח המחשוב הפכה את העבודה עם התפלגות גמא לקלה יותר במגוון יישומים

דוגמאות

הנה כמה דוגמאות קוד לחישוב תכונות של התפלגות גמא:

1' פונקציית VBA של Excel עבור PDF של התפלגות גמא
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' שימוש:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'התפלגות גמא (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('צפיפות הסתברות')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## שימוש לדוגמה:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## חישוב תכונות
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"ממוצע: {mean}")
29print(f"שונות: {variance}")
30print(f"אסימטריה: {skewness}")
31print(f"קרטוזיס: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`ממוצע: ${mean}`);
19    console.log(`שונות: ${variance}`);
20    console.log(`אסימטריה: ${skewness}`);
21    console.log(`קרטוזיס: ${kurtosis}`);
22}
23
24// שימוש לדוגמה:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// צייר PDF (באמצעות ספריית ציור היפותטית)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

דוגמאות אלו מדגימות כיצד לחשב תכונות של התפלגות גמא ולחזות את פונקציית הצפיפות ההסתברותית שלה באמצעות שפות תכנות שונות. תוכל להתאים את הפונקציות הללו לצרכיך הספציפיים או לשלב אותן במערכות ניתוח סטטיסטי גדולות יותר.

הפניות

1. "התפלגות גמא." ויקיפדיה, קרן ויקימדיה, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. גישה 2 באוגוסט 2024.
2. ג'ונסון, נ. ל., קוטז, ס., & באלאקרישנן, נ. (1994). התפלגויות רציפות חד-משתניות, כרך 1 (כרך 1). ג'ון ויילי ובניו.
3. פורבס, צ., אוונס, מ., הייסטינגס, נ., & פיקוק, ב. (2011). התפלגויות סטטיסטיות. ג'ון ויילי ובניו.
4. תום, ה. צ. ס. (1958). הערה על התפלגות גמא. סקירה חודשית של מזג האוויר, 86(4), 117-122.
5. סטייסי, א. ו. (1962). הכללה של התפלגות גמא. ה-annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.