गामा वितरण कैलकुलेटर

परिचय

गामा वितरण एक निरंतर संभाव्यता वितरण है जो विज्ञान, इंजीनियरिंग और वित्त के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसे दो पैरामीटर द्वारा वर्णित किया जाता है: आकार पैरामीटर (k या α) और स्केल पैरामीटर (θ या β)। यह कैलकुलेटर आपको इन इनपुट पैरामीटर के आधार पर गामा वितरण के विभिन्न गुणों की गणना करने की अनुमति देता है।

सूत्र

गामा वितरण का संभाव्यता घनत्व कार्य (PDF) इस प्रकार दिया गया है:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

जहाँ:

• x > 0 यादृच्छिक चर है
• k > 0 आकार पैरामीटर है
• θ > 0 स्केल पैरामीटर है
• Γ(k) गामा कार्य है

संवहनीय वितरण कार्य (CDF) है:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

जहाँ γ(k, x/θ) निम्नलिखित अधूरा गामा कार्य है।

गामा वितरण के प्रमुख गुणों में शामिल हैं:

1. औसत: $E[X] = k\theta$
2. विविधता: $Var[X] = k\theta^2$
3. झुकाव: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. कर्टोसिस: $3 + \frac{6}{k}$

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. आकार पैरामीटर (k या α) दर्ज करें
2. स्केल पैरामीटर (θ या β) दर्ज करें
3. विभिन्न गुणों की गणना करने के लिए "गणना करें" पर क्लिक करें
4. परिणामों में औसत, विविधता, झुकाव, कर्टोसिस, और अन्य संबंधित जानकारी प्रदर्शित होगी
5. संभाव्यता घनत्व कार्य का एक दृश्यांकन दिखाया जाएगा

गणना

कैलकुलेटर उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके गामा वितरण के विभिन्न गुणों की गणना करता है। यहाँ एक चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण है:

1. इनपुट पैरामीटर की वैधता की जांच करें (दोनों k और θ सकारात्मक होना चाहिए)
2. औसत की गणना करें: $k\theta$
3. विविधता की गणना करें: $k\theta^2$
4. झुकाव की गणना करें: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. कर्टोसिस की गणना करें: $3 + \frac{6}{k}$
6. मोड की गणना करें: $(k-1)\theta$ जब k ≥ 1, अन्यथा 0
7. उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके PDF वक्र के लिए बिंदु उत्पन्न करें
8. PDF वक्र को चित्रित करें

संख्यात्मक विचार

गामा वितरण की गणनाओं को लागू करते समय कई संख्यात्मक विचारों को ध्यान में रखना चाहिए:

1. बहुत छोटे आकार पैरामीटर (k < 1) के लिए, PDF 0 के करीब पहुंचते ही अनंत के करीब पहुँच सकता है, जो संख्यात्मक अस्थिरता का कारण बन सकता है।
2. बड़े आकार पैरामीटर के लिए, गामा कार्य Γ(k) बहुत बड़ा हो सकता है, जिससे ओवरफ्लो हो सकता है। ऐसे मामलों में, गामा कार्य के लॉगरिदम के साथ काम करना उचित है।
3. CDF की गणना करते समय, अधूरा गामा कार्य के लिए विशेषीकृत एल्गोरिदम का उपयोग करना अक्सर अधिक संख्यात्मक स्थिरता प्रदान करता है बजाय PDF के प्रत्यक्ष एकीकरण के।
4. चरम पैरामीटर मूल्यों के लिए, सटीकता बनाए रखने के लिए विस्तारित सटीकता अंकगणित का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है।

उपयोग के मामले

गामा वितरण के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं:

1. वित्त: आय वितरण, बीमा दावा राशि, और संपत्ति की वापसी का मॉडलिंग
2. मौसम विज्ञान: वर्षा पैटर्न और अन्य मौसम से संबंधित घटनाओं का विश्लेषण
3. इंजीनियरिंग: विश्वसनीयता विश्लेषण और विफलता समय मॉडलिंग
4. भौतिकी: रेडियोधर्मी क्षय घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय का वर्णन करना
5. जीवविज्ञान: प्रजातियों की प्रचुरता और जीन अभिव्यक्ति स्तरों का मॉडलिंग
6. संचालन अनुसंधान: कतार सिद्धांत और इन्वेंटरी प्रबंधन

विकल्प

हालांकि गामा वितरण बहुपरकारी है, कुछ स्थितियों में अधिक उपयुक्त संबंधित वितरण हो सकते हैं:

1. गुणनात्मक वितरण: जब k = 1 हो तो गामा वितरण का एक विशेष मामला
2. ची-स्क्वायर वितरण: गामा वितरण का एक विशेष मामला जब k = n/2 और θ = 2
3. वेइबुल वितरण: अक्सर विश्वसनीयता विश्लेषण में एक विकल्प के रूप में उपयोग किया जाता है
4. लॉग-नॉर्मल वितरण: एक और सामान्य विकल्प जो तिरछे, सकारात्मक डेटा का मॉडलिंग करता है

पैरामीटर अनुमान

वास्तविक डेटा के साथ काम करते समय, गामा वितरण के पैरामीटर का अनुमान लगाना अक्सर आवश्यक होता है। सामान्य विधियों में शामिल हैं:

1. क्षणों की विधि: नमूना क्षणों को सैद्धांतिक क्षणों के बराबर करना
2. अधिकतम संभावना अनुमान (MLE): उन पैरामीटरों को खोजना जो डेटा के अवलोकन की संभावना को अधिकतम करते हैं
3. बेयesian अनुमान: पैरामीटर के बारे में पूर्व ज्ञान को शामिल करना

परिकल्पना परीक्षण

गामा वितरण का उपयोग विभिन्न परिकल्पना परीक्षणों में किया जा सकता है, जिसमें शामिल हैं:

1. अच्छे-फिट परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए कि क्या डेटा गामा वितरण का पालन करता है
2. दो गामा वितरणों के बीच स्केल पैरामीटर के समानता के लिए परीक्षण
3. दो गामा वितरणों के बीच आकार पैरामीटर के समानता के लिए परीक्षण

इतिहास

गामा वितरण का गणित और सांख्यिकी में एक समृद्ध इतिहास है:

• 18वीं सदी: लियोनहार्ड यूलेर ने गामा कार्य का परिचय दिया, जो गामा वितरण से निकटता से संबंधित है
• 1836: सिमेओन डेनिस पॉइसन ने अपने संभाव्यता सिद्धांत के काम में गामा वितरण के एक विशेष मामले का उपयोग किया
• 1920 के दशक: रोनाल्ड फिशर ने सांख्यिकीय विश्लेषण में गामा वितरण के उपयोग को लोकप्रिय बनाया
• 20वीं सदी के मध्य: गामा वितरण विश्वसनीयता इंजीनियरिंग और जीवन परीक्षण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा
• 20वीं सदी के अंत से वर्तमान: कंप्यूटिंग शक्ति में प्रगति ने विभिन्न अनुप्रयोगों में गामा वितरण के साथ काम करना आसान बना दिया है

उदाहरण

यहाँ गामा वितरण के गुणों की गणना करने के लिए कुछ कोड उदाहरण दिए गए हैं:

1' Excel VBA फ़ंक्शन गामा वितरण PDF के लिए
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' उपयोग:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'गामा वितरण (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('संभाव्यता घनत्व')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## उदाहरण उपयोग:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## गुणों की गणना करें
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"औसत: {mean}")
29print(f"विविधता: {variance}")
30print(f"झुकाव: {skewness}")
31print(f"कर्टोसिस: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`औसत: ${mean}`);
19    console.log(`विविधता: ${variance}`);
20    console.log(`झुकाव: ${skewness}`);
21    console.log(`कर्टोसिस: ${kurtosis}`);
22}
23
24// उदाहरण उपयोग:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF को चित्रित करें (एक काल्पनिक चित्रण पुस्तकालय का उपयोग करते हुए)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

ये उदाहरण गामा वितरण के गुणों की गणना करने और विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके इसके संभाव्यता घनत्व कार्य को दृश्यित करने का प्रदर्शन करते हैं। आप इन कार्यों को अपनी विशिष्ट आवश्यकताओं के अनुसार अनुकूलित कर सकते हैं या इन्हें बड़े सांख्यिकीय विश्लेषण प्रणालियों में एकीकृत कर सकते हैं।

संदर्भ

1. "गामा वितरण।" विकिपीडिया, विकिमीडिया फाउंडेशन, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. 2 अगस्त 2024 को एक्सेस किया गया।
2. जॉनसन, एन. एल., कोट्ज़, एस., & बालकृष्णन, एन. (1994). निरंतर एकल रूपांतर वितरण, खंड 1 (खंड 1)। जॉन विली एंड संस।
3. फोर्ब्स, सी., इवांस, एम., हेस्तिंग्स, एन., & पीकॉक, बी. (2011). सांख्यिकीय वितरण। जॉन विली एंड संस।
4. थॉम, एच. सी. एस. (1958). गामा वितरण पर एक नोट। मासिक मौसम समीक्षा, 86(4), 117-122।
5. स्टेसी, ई. डब्ल्यू. (1962). गामा वितरण का एक सामान्यीकरण। एनल्स ऑफ मैथमेटिकल स्टैटिस्टिक्स, 33(3), 1187-1192।