Kalkulator Gamma Distribucije

Uvod

Gamma distribucija je kontinuirana vjerojatnosna distribucija koja se široko koristi u raznim područjima znanosti, inženjerstva i financija. Karakteriziraju je dva parametra: parametar oblika (k ili α) i parametar skale (θ ili β). Ovaj kalkulator vam omogućuje izračunavanje raznih svojstava gamma distribucije na temelju ovih ulaznih parametara.

Formula

Funkcija gustoće vjerojatnosti (PDF) gamma distribucije dana je formulom:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Gdje:

• x > 0 je slučajna varijabla
• k > 0 je parametar oblika
• θ > 0 je parametar skale
• Γ(k) je gamma funkcija

Funkcija kumulativne distribucije (CDF) je:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Gdje γ(k, x/θ) je donja nepotpuna gamma funkcija.

Ključna svojstva gamma distribucije uključuju:

1. Srednja vrijednost: $E[X] = k\theta$
2. Varijanca: $Var[X] = k\theta^2$
3. Asimetrija: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Kako koristiti ovaj kalkulator

1. Unesite parametar oblika (k ili α)
2. Unesite parametar skale (θ ili β)
3. Kliknite "Izračunaj" za izračunavanje raznih svojstava gamma distribucije
4. Rezultati će prikazati srednju vrijednost, varijancu, asimetriju, kurtosis i druge relevantne informacije
5. Vizualizacija funkcije gustoće vjerojatnosti bit će prikazana

Izračun

Kalkulator koristi gornje formule za izračunavanje raznih svojstava gamma distribucije. Evo korak-po-korak objašnjenje:

1. Validirajte ulazne parametre (oba k i θ moraju biti pozitivna)
2. Izračunajte srednju vrijednost: $k\theta$
3. Izračunajte varijancu: $k\theta^2$
4. Izračunajte asimetriju: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Izračunajte kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Izračunajte mod: $(k-1)\theta$ za k ≥ 1, inače 0
7. Generirajte točke za PDF krivulju koristeći gornju formulu
8. Nacrtajte PDF krivulju

Numerička razmatranja

Kada implementirate izračune gamma distribucije, nekoliko numeričkih razmatranja treba uzeti u obzir:

1. Za vrlo male parametre oblika (k < 1), PDF može prići beskonačnosti kada x priđe 0, što može uzrokovati numeričku nestabilnost.
2. Za velike parametre oblika, gamma funkcija Γ(k) može postati vrlo velika, potencijalno uzrokujući prelivanje. U takvim slučajevima, preporučuje se rad s logaritmom gamma funkcije.
3. Kada izračunavate CDF, često je numerički stabilnije koristiti specijalizirane algoritme za nepotpunu gamma funkciju umjesto izravne integracije PDF-a.
4. Za ekstremne vrijednosti parametara, može biti potrebno koristiti aritmetiku proširene preciznosti kako bi se održala točnost.

Upotrebe

Gamma distribucija ima brojne primjene u raznim područjima:

1. Financije: Modeliranje raspodjela prihoda, iznosa osiguravajućih potraživanja i povrata imovine
2. Meteorologija: Analiza obrazaca oborina i drugih vremenskih fenomena
3. Inženjerstvo: Analiza pouzdanosti i modeliranje vremena kvarova
4. Fizika: Opisivanje vremena čekanja između događaja radioaktivnog raspada
5. Biologija: Modeliranje abundancije vrsta i razina ekspresije gena
6. Operativna istraživanja: Teorija redova i upravljanje zalihama

Alternativa

Iako je gamma distribucija svestrana, postoje povezane distribucije koje bi mogle biti prikladnije u određenim situacijama:

1. Eksponencijalna distribucija: Poseban slučaj gamma distribucije kada je k = 1
2. Chi-kvadrat distribucija: Poseban slučaj gamma distribucije s k = n/2 i θ = 2
3. Weibull distribucija: Često korištena kao alternativa u analizi pouzdanosti
4. Log-normalna distribucija: Još jedan uobičajen izbor za modeliranje asimetričnih, pozitivnih podataka

Procjena parametara

Kada radite s podacima iz stvarnog svijeta, često je potrebno procijeniti parametre gamma distribucije. Uobičajene metode uključuju:

1. Metoda trenutaka: Izjednačavanje uzoraka trenutaka s teorijskim momentima
2. Procjena maksimalne vjerojatnosti (MLE): Pronalaženje parametara koji maksimiziraju vjerojatnost promatranja podataka
3. Bayesijska procjena: Uključivanje prethodnog znanja o parametrima

Testiranje hipoteza

Gamma distribucija može se koristiti u raznim testovima hipoteza, uključujući:

1. Testove dobrote prilagodbe za određivanje prati li podatak gamma distribuciju
2. Testove za jednakost parametara skale između dvije gamma distribucije
3. Testove za jednakost parametara oblika između dvije gamma distribucije

Povijest

Gamma distribucija ima bogatu povijest u matematici i statistici:

• 18. stoljeće: Leonhard Euler je uveo gamma funkciju, koja je usko povezana s gamma distribucijom
• 1836: Siméon Denis Poisson je koristio poseban slučaj gamma distribucije u svom radu o teoriji vjerojatnosti
• 1920-ih: Ronald Fisher je popularizirao upotrebu gamma distribucije u statističkoj analizi
• Sredinom 20. stoljeća: Gamma distribucija postala je široko korištena u inženjerstvu pouzdanosti i testiranju života
• Krajem 20. stoljeća do danas: Napredak u računalnoj snazi olakšao je rad s gamma distribucijama u raznim primjenama

Primjeri

Evo nekoliko primjera koda za izračunavanje svojstava gamma distribucije:

1' Excel VBA funkcija za PDF gamma distribucije
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Upotreba:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma Distribucija (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Gustoća Vjerojatnosti')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Primjer korištenja:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Izračunajte svojstva
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Srednja vrijednost: {mean}")
29print(f"Varijanca: {variance}")
30print(f"Asimetrija: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Srednja vrijednost: ${mean}`);
19    console.log(`Varijanca: ${variance}`);
20    console.log(`Asimetrija: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Primjer korištenja:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Nacrtajte PDF (koristeći hipotetsku biblioteku za crtanje)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Ovi primjeri pokazuju kako izračunati svojstva gamma distribucije i vizualizirati njezinu funkciju gustoće vjerojatnosti koristeći razne programske jezike. Možete prilagoditi ove funkcije prema svojim specifičnim potrebama ili ih integrirati u veće sustave statističke analize.

Reference

1. "Gamma Distribucija." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Pristupljeno 2. kolovoza 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Kontinuirane univarijantne distribucije, volumen 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statističke distribucije. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Napomena o gamma distribuciji. Mjesečni pregled vremena, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Generalizacija gamma distribucije. Annali matematičke statistike, 33(3), 1187-1192.