ഗാമാ വിതരണ കാൽക്കുലേറ്റർ

പരിചയം

ഗാമാ വിതരണം ഒരു തുടർച്ചയായ സാധ്യത വിതരണമാണ്, ഇത് ശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിങ്, സാമ്പത്തികം എന്നിവയിലും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകൾക്കാൽ വിശേഷിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു: ആകൃതിയിലുള്ള പാരാമീറ്റർ (k അല്ലെങ്കിൽ α) மற்றும் സ്കെയിൽ പാരാമീറ്റർ (θ അല്ലെങ്കിൽ β). ഈ കാൽക്കുലേറ്റർ, ഈ ഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ വിവിധ ഗുണങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് അനുവദിക്കുന്നു.

ഫോർമുല

ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ സാധ്യത കനത്തതിന്റെ ഫംഗ്ഷൻ (PDF) ഇങ്ങനെ നൽകപ്പെടുന്നു:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

എവിടെ:

• x > 0 ആണ് യാദൃച്ഛിക വേരിയബിൾ
• k > 0 ആണ് ആകൃതിയിലുള്ള പാരാമീറ്റർ
• θ > 0 ആണ് സ്കെയിൽ പാരാമീറ്റർ
• Γ(k) ആണ് ഗാമ ഫംഗ്ഷൻ

കൂട്ടായ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ (CDF) ഇങ്ങനെ:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

എവിടെ γ(k, x/θ) ആണ് താഴ്ന്ന അശേഷ ഗാമ ഫംഗ്ഷൻ.

ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ പ്രധാന ഗുണങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. ശരാശരി: $E[X] = k\theta$
2. വ്യത്യാസം: $Var[X] = k\theta^2$
3. സ്ക്യൂനെസ്: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. കർട്ടോസിസ്: $3 + \frac{6}{k}$

ഈ കാൽക്കുലേറ്റർ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം

1. ആകൃതിയിലുള്ള പാരാമീറ്റർ (k അല്ലെങ്കിൽ α) നൽകുക
2. സ്കെയിൽ പാരാമീറ്റർ (θ അല്ലെങ്കിൽ β) നൽകുക
3. ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ വിവിധ ഗുണങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ "കാൽക്കുലേറ്റ്" ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക
4. ഫലങ്ങൾ ശരാശരി, വ്യത്യാസം, സ്ക്യൂനെസ്, കർട്ടോസിസ്, മറ്റ് ബന്ധപ്പെട്ട വിവരങ്ങൾ എന്നിവ പ്രദർശിപ്പിക്കും
5. സാധ്യത കനത്തതിന്റെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ദൃശ്യവൽക്കരണം കാണിക്കും

കാൽക്കുലേഷൻ

ഈ കാൽക്കുലേറ്റർ, മുകളിൽ പറയപ്പെട്ട ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ വിവിധ ഗുണങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഇവിടെ ഒരു ഘട്ടം-പ്രഘട്ടമായ വിശദീകരണം:

1. ഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ സാധുവാക്കുക (k, θ ഇരുവരും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം)
2. ശരാശരി കണക്കാക്കുക: $k\theta$
3. വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുക: $k\theta^2$
4. സ്ക്യൂനെസ് കണക്കാക്കുക: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. കർട്ടോസിസ് കണക്കാക്കുക: $3 + \frac{6}{k}$
6. മോഡ് കണക്കാക്കുക: $(k-1)\theta$ k ≥ 1 ആണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ 0
7. മുകളിൽ നൽകിയ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് PDF കർവിന്റെ പോയിന്റുകൾ സൃഷ്ടിക്കുക
8. PDF കർവ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക

സംഖ്യാത്മക പരിഗണനകൾ

ഗാമാ വിതരണ കണക്കാക്കലുകൾ നടപ്പിലാക്കുമ്പോൾ, ചില സംഖ്യാത്മക പരിഗണനകൾ ശ്രദ്ധിക്കണം:

1. വളരെ ചെറിയ ആകൃതിയിലുള്ള പാരാമീറ്ററുകൾ (k < 1) ഉള്ളപ്പോൾ, PDF 0-ൽ അടുത്തുപോകുമ്പോൾ അനന്തതയിലേക്ക് പോകാം, ഇത് സംഖ്യാത്മക അസ्थിരത ഉണ്ടാക്കാം.
2. വലിയ ആകൃതിയിലുള്ള പാരാമീറ്ററുകൾക്കായി, ഗാമ ഫംഗ്ഷൻ Γ(k) വളരെ വലിയതാകാം, ഇത് ഓവർഫ്ലോ ഉണ്ടാക്കാം. ഇത്തരത്തിൽ, ഗാമ ഫംഗ്ഷന്റെ ലോഗാരിതം ഉപയോഗിക്കുക നല്ലതാണ്.
3. CDF കണക്കാക്കുമ്പോൾ, PDF യുടെ നേരിട്ട് സംയോജനത്തിനു പകരം അശേഷ ഗാമ ഫംഗ്ഷനു വേണ്ടി പ്രത്യേക ആൽഗോരിതങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് സാധാരണയായി കൂടുതൽ സംഖ്യാത്മകമായി സ്ഥിരമാണ്.
4. അത്യന്തം പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾക്കായി, കൃത്യത നിലനിര്‍ത്താൻ വിപുലമായ കൃത്യത ഗണിതം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതായിരിക്കാം.

ഉപയോഗക്കേസ്

ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ നിരവധി ഉപയോഗങ്ങൾ വിവിധ മേഖലകളിൽ ഉണ്ട്:

1. സാമ്പത്തികം: വരുമാന വിതരണങ്ങൾ, ഇൻഷുറൻസ് അവകാശങ്ങളുടെ അളവുകൾ, ആസ്തി തിരിച്ചറിവുകൾ എന്നിവ മോഡലിംഗ് ചെയ്യുന്നു
2. കാലാവസ്ഥ: മഴയുടെ മാതൃകകൾ, മറ്റ് കാലാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഭവങ്ങൾ
3. എഞ്ചിനീയറിങ്: വിശ്വാസ്യത വിശകലനം, പരാജയ സമയം മോഡലിംഗ്
4. ഭൗതികശാസ്ത്രം: രാസവസ്തുക്കളുടെ വിച്ഛേദന സംഭവങ്ങൾക്കിടയിലെ കാത്തിരിപ്പിന്റെ സമയം വിവരിക്കുന്നു
5. ജീവശാസ്ത്രം: ജാതികളുടെ സമൃദ്ധി, ജീൻ പ്രകടനത്തിന്റെ അളവുകൾ എന്നിവ മോഡലിംഗ് ചെയ്യുന്നു
6. ഓപ്പറേഷൻസ് റിസർച്ച്: ക്യൂയിംഗ് സിദ്ധാന്തം, ഇൻവെന്ററി മാനേജ്മെന്റ്

ബദൽങ്ങൾ

ഗാമാ വിതരണം വൈവിധ്യമാർന്നതായിരിക്കുമ്പോൾ, ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ കൂടുതൽ അനുയോജ്യമായ ബന്ധപ്പെട്ട വിതരണങ്ങൾ ഉണ്ട്:

1. എക്സ്പൊണൻഷ്യൽ വിതരണം: k = 1 ആണെങ്കിൽ ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ പ്രത്യേക കേസ്
2. ചി-സ്ക്വയേർഡ് വിതരണം: k = n/2, θ = 2 ആണെങ്കിൽ ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ പ്രത്യേക കേസ്
3. വെബുൾ വിതരണം: വിശ്വാസ്യത വിശകലനത്തിൽ ബദൽമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു
4. ലോഗ്-നോർമൽ വിതരണം: മറ്റൊരു സാധാരണ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്, തിരിക, പോസിറ്റീവ് ഡാറ്റ മോഡലിംഗ് ചെയ്യാൻ

പാരാമീറ്റർ കണക്കാക്കൽ

യാഥാർത്ഥ്യ ഡാറ്റയുമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. സാധാരണ രീതികൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. മോമെന്റുകളുടെ രീതി: സാമ്പിള്‍ മോമെന്റുകൾ സിദ്ധാന്ത മോമെന്റുകൾക്കൊപ്പം സമം ചെയ്യുന്നു
2. പരമാവധി സാധ്യത കണക്കാക്കൽ (MLE): ഡാറ്റ കാണുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെ പരമാവധി ചെയ്യുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു
3. ബേയ്സിയൻ കണക്കാക്കൽ: പാരാമീറ്ററുകളെക്കുറിച്ചുള്ള മുൻകൂട്ടി അറിവ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു

ഹൈപ്പോത്തസിസ് ടെസ്റ്റിംഗ്

ഗാമാ വിതരണം വിവിധ ഹൈപ്പോത്തസിസ് ടെസ്റ്റുകളിൽ ഉപയോഗിക്കാം, ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. ഡാറ്റ ഒരു ഗാമാ വിതരണത്തെ പിന്തുടരുന്നുണ്ടോ എന്ന് കണ്ടെത്താൻ നല്ലതിന്റെ-ഫിറ്റ് ടെസ്റ്റുകൾ
2. രണ്ട് ഗാമാ വിതരണങ്ങൾക്കിടയിലെ സ്കെയിൽ പാരാമീറ്ററുകളുടെ സമാനതയ്ക്കായി ടെസ്റ്റുകൾ
3. രണ്ട് ഗാമാ വിതരണങ്ങൾക്കിടയിലെ ആകൃതിയിലുള്ള പാരാമീറ്ററുകളുടെ സമാനതയ്ക്കായി ടെസ്റ്റുകൾ

ചരിത്രം

ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും സ്ഥിതിവിവരത്തിലും സമ്പന്നമായ ചരിത്രം ഉണ്ട്:

• 18-ാം നൂറ്റാണ്ട്: ലിയോനാർഡ് യൂലർ ഗാമ ഫംഗ്ഷൻ അവതരിപ്പിച്ചു, ഇത് ഗാമാ വിതരണവുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ളതാണ്
• 1836: സിമിയോൺ ഡെനിസ് പോയിസൺ, ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ തന്റെ സാധ്യതാ തത്ത്വശാസ്ത്രത്തിൽ ഉപയോഗിച്ചു
• 1920-കൾ: റൊണാൾഡ് ഫിഷർ, ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ ഉപയോഗം സ്ഥിതിവിവരശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ പ്രചരിപ്പിച്ചു
• 20-ാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ മധ്യത്തിൽ: ഗാമാ വിതരണം വിശ്വാസ്യത എഞ്ചിനീയറിങ്ങിലും ജീവിത പരിശോധനയിലും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ടു
• 20-ാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനം മുതൽ ഇപ്പോഴുവരെ: ഗാമാ വിതരണവുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ശക്തിയിൽ പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ട്

ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ ചില കോഡ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇവിടെ ഉണ്ട്:

1' Excel VBA ഫംഗ്ഷൻ ഗാമാ വിതരണ PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' ഉപയോഗം:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'ഗാമാ വിതരണം (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('സാധ്യത കനത്തത')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## ഉദാഹരണ ഉപയോഗം:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## ഗുണങ്ങൾ കണക്കാക്കുക
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"ശരാശരി: {mean}")
29print(f"വ്യത്യാസം: {variance}")
30print(f"സ്ക്യൂനെസ്: {skewness}")
31print(f"കർട്ടോസിസ്: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`ശരാശരി: ${mean}`);
19    console.log(`വ്യത്യാസം: ${variance}`);
20    console.log(`സ്ക്യൂനെസ്: ${skewness}`);
21    console.log(`കർട്ടോസിസ്: ${kurtosis}`);
22}
23
24// ഉദാഹരണ ഉപയോഗം:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക (ഒരു കൽപ്പനാത്മക പ്ലോട്ടിംഗ് ലൈബ്രറി ഉപയോഗിച്ച്)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ കണക്കാക്കാനും, വിവിധ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ സാധ്യത കനത്തതിന്റെ ഫംഗ്ഷൻ ദൃശ്യവൽക്കരണം ചെയ്യാനും എങ്ങനെ ചെയ്യാം എന്ന് കാണിക്കുന്നു. ഈ ഫംഗ്ഷനുകൾ നിങ്ങളുടെ പ്രത്യേക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി uyirakkam ചെയ്യുക അല്ലെങ്കിൽ വലിയ സ്ഥിതിവിവരശാസ്ത്ര വിശകലന സംവിധാനങ്ങളിൽ സംയോജിപ്പിക്കുക.

റഫറൻസുകൾ

1. "ഗാമാ വിതരണം." വിക്കിപീഡിയ, വിക്കിമീഡിയ ഫൗണ്ടേഷൻ, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. 2024 ഓഗസ്റ്റ് 2-ന് പ്രവേശനം.
2. ജോൺസൺ, എൻ. എൽ., കോറ്റ്‌സ്, എസ്., & ബാലകൃഷ്ണൻ, എൻ. (1994). തുടർച്ചയായ ഏകവ്യക്തി വിതരണങ്ങൾ, വോള്യം 1 (Vol. 1). ജോൺ വൈലി & സൺസ്.
3. ഫോർബ്സ്, സി., ഇവൻസ്, എം., ഹേസ്റ്റ്റിംഗ്സ്, എൻ., & പീക്കോക്ക്, ബി. (2011). സ്ഥിതിവിവരശാസ്ത്ര വിതരണങ്ങൾ. ജോൺ വൈലി & സൺസ്.
4. തോമസ്, എച്ച്. സി. എസ്. (1958). ഗാമാ വിതരണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു കുറിപ്പ്. മാസികാ കാലാവസ്ഥാ അവലോകനം, 86(4), 117-122.
5. സ്റ്റേസി, ഇ. ഡബ്ല്യു. (1962). ഗാമാ വിതരണത്തിന്റെ ഒരു പൊതുവായീകരണം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആനുകാലികങ്ങൾ, 33(3), 1187-1192.