Calculator pentru Distribuția Gamma

Introducere

Distribuția gamma este o distribuție de probabilitate continuă care este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale științei, ingineriei și finanțelor. Este caracterizată de doi parametri: parametrul de formă (k sau α) și parametrul de scară (θ sau β). Acest calculator vă permite să calculați diverse proprietăți ale distribuției gamma pe baza acestor parametri de intrare.

Formula

Funcția de densitate a probabilității (PDF) a distribuției gamma este dată de:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Unde:

• x > 0 este variabila aleatoare
• k > 0 este parametrul de formă
• θ > 0 este parametrul de scară
• Γ(k) este funcția gamma

Funcția de distribuție cumulativă (CDF) este:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Unde γ(k, x/θ) este funcția gamma incompletă inferioară.

Proprietățile cheie ale distribuției gamma includ:

1. Media: $E[X] = k\theta$
2. Varianța: $Var[X] = k\theta^2$
3. Asimetria: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Cum să folosiți acest calculator

1. Introduceți parametrul de formă (k sau α)
2. Introduceți parametrul de scară (θ sau β)
3. Faceți clic pe "Calculează" pentru a calcula diverse proprietăți ale distribuției gamma
4. Rezultatele vor afișa media, varianța, asimetria, kurtosisul și alte informații relevante
5. Va fi afișată o vizualizare a funcției de densitate a probabilității

Calcul

Calculatorul utilizează formulele menționate mai sus pentru a calcula diverse proprietăți ale distribuției gamma. Iată o explicație pas cu pas:

1. Validarea parametrilor de intrare (atât k, cât și θ trebuie să fie pozitive)
2. Calculați media: $k\theta$
3. Calculați varianța: $k\theta^2$
4. Calculați asimetria: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Calculați kurtosisul: $3 + \frac{6}{k}$
6. Calculați modul: $(k-1)\theta$ pentru k ≥ 1, altfel 0
7. Generați puncte pentru curba PDF folosind formula dată mai sus
8. Desenați curba PDF

Considerații numerice

Atunci când implementați calculele distribuției gamma, trebuie să luați în considerare mai multe aspecte numerice:

1. Pentru parametrii de formă foarte mici (k < 1), PDF-ul poate tinde spre infinit pe măsură ce x se apropie de 0, ceea ce poate provoca instabilitate numerică.
2. Pentru parametrii de formă mari, funcția gamma Γ(k) poate deveni foarte mare, provocând potențial depășiri. În astfel de cazuri, este recomandabil să lucrați cu logaritmul funcției gamma.
3. Atunci când calculați CDF-ul, este adesea mai stabil din punct de vedere numeric să utilizați algoritmi specializați pentru funcția gamma incompletă decât integrarea directă a PDF-ului.
4. Pentru valori extreme ale parametrilor, poate fi necesar să utilizați aritmetica de precizie extinsă pentru a menține acuratețea.

Cazuri de utilizare

Distribuția gamma are numeroase aplicații în diverse domenii:

1. Finanțe: Modelarea distribuțiilor de venituri, a sumelor de cereri de asigurare și a randamentelor activelor
2. Meteorologie: Analiza modelelor de precipitații și a altor fenomene legate de vreme
3. Inginerie: Analiza fiabilității și modelarea timpilor de eșec
4. Fizică: Descrierea timpilor de așteptare între evenimentele de dezintegrare radioactivă
5. Biologie: Modelarea abundenței speciilor și a nivelurilor de exprimare a genelor
6. Cercetare operațională: Teoria cozii și managementul stocurilor

Alternative

Deși distribuția gamma este versatilă, există distribuții înrudite care ar putea fi mai potrivite în anumite situații:

1. Distribuția Exponențială: Un caz special al distribuției gamma când k = 1
2. Distribuția Chi-pătrată: Un caz special al distribuției gamma cu k = n/2 și θ = 2
3. Distribuția Weibull: Adesea utilizată ca alternativă în analiza fiabilității
4. Distribuția Log-normală: O altă alegere comună pentru modelarea datelor pozitive și asimetrice

Estimarea parametrilor

Atunci când lucrați cu date din lumea reală, este adesea necesar să estimați parametrii distribuției gamma. Metodele comune includ:

1. Metoda momentelor: Egalarea momentelor de eșantion cu momentele teoretice
2. Estimarea prin maximul verosimilității (MLE): Găsirea parametrilor care maximizează verosimilitatea de a observa datele
3. Estimarea Bayesiană: Încadrarea cunoștințelor anterioare despre parametri

Testarea ipotezelor

Distribuția gamma poate fi utilizată în diverse teste de ipoteză, inclusiv:

1. Teste de bună potrivire pentru a determina dacă datele urmează o distribuție gamma
2. Teste pentru egalitatea parametrilor de scară între două distribuții gamma
3. Teste pentru egalitatea parametrilor de formă între două distribuții gamma

Istorie

Distribuția gamma are o istorie bogată în matematică și statistică:

• Secolul XVIII: Leonhard Euler a introdus funcția gamma, care este strâns legată de distribuția gamma
• 1836: Siméon Denis Poisson a folosit un caz special al distribuției gamma în lucrările sale despre teoria probabilității
• Anii 1920: Ronald Fisher a popularizat utilizarea distribuției gamma în analiza statistică
• Mijlocul secolului XX: Distribuția gamma a devenit utilizată pe scară largă în ingineria fiabilității și testarea vieții
• Sfârșitul secolului XX până în prezent: Progresele în puterea de calcul au făcut mai ușor lucrul cu distribuțiile gamma în diverse aplicații

Exemple

Iată câteva exemple de cod pentru a calcula proprietăți ale distribuției gamma:

1' Funcție Excel VBA pentru PDF-ul distribuției gamma
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Utilizare:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Distribuția Gamma (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Densitate de Probabilitate')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Exemplu de utilizare:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Calculați proprietățile
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Media: {mean}")
29print(f"Varianța: {variance}")
30print(f"Asimetria: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Media: ${mean}`);
19    console.log(`Varianța: ${variance}`);
20    console.log(`Asimetria: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Exemplu de utilizare:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Desenați PDF (folosind o bibliotecă de desenare ipotetică)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Aceste exemple demonstrează cum să calculați proprietăți ale distribuției gamma și să vizualizați funcția sa de densitate a probabilității folosind diferite limbaje de programare. Puteți adapta aceste funcții la nevoile dumneavoastră specifice sau le puteți integra în sisteme mai mari de analiză statistică.

Referințe

1. "Distribuția Gamma." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Accesat la 2 Aug. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). O notă despre distribuția gamma. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). O generalizare a distribuției gamma. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.