Калькулятор гамма-распределения

Введение

Гамма-распределение — это непрерывное распределение вероятностей, которое широко используется в различных областях науки, инженерии и финансов. Оно характеризуется двумя параметрами: параметром формы (k или α) и параметром масштаба (θ или β). Этот калькулятор позволяет вычислять различные свойства гамма-распределения на основе этих входных параметров.

Формула

Функция плотности вероятности (PDF) гамма-распределения задается следующим образом:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Где:

• x > 0 — случайная величина
• k > 0 — параметр формы
• θ > 0 — параметр масштаба
• Γ(k) — гамма-функция

Функция накопленного распределения (CDF) выглядит так:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Где γ(k, x/θ) — это нижняя неполная гамма-функция.

Ключевые свойства гамма-распределения включают:

1. Среднее: $E[X] = k\theta$
2. Дисперсия: $Var[X] = k\theta^2$
3. Ассиметрия: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Куртозис: $3 + \frac{6}{k}$

Как использовать этот калькулятор

1. Введите параметр формы (k или α)
2. Введите параметр масштаба (θ или β)
3. Нажмите "Рассчитать", чтобы вычислить различные свойства гамма-распределения
4. Результаты отобразят среднее, дисперсию, ассиметрию, куртозис и другую соответствующую информацию
5. Будет показана визуализация функции плотности вероятности

Вычисление

Калькулятор использует вышеуказанные формулы для вычисления различных свойств гамма-распределения. Вот пошаговое объяснение:

1. Проверьте входные параметры (оба k и θ должны быть положительными)
2. Вычислите среднее: $k\theta$
3. Вычислите дисперсию: $k\theta^2$
4. Вычислите ассиметрию: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Вычислите куртозис: $3 + \frac{6}{k}$
6. Вычислите моду: $(k-1)\theta$ для k ≥ 1, в противном случае 0
7. Сгенерируйте точки для кривой PDF, используя данную формулу
8. Постройте кривую PDF

Численные соображения

При реализации вычислений гамма-распределения необходимо учитывать несколько численных соображений:

1. Для очень малых параметров формы (k < 1) PDF может приближаться к бесконечности, когда x приближается к 0, что может вызвать численную нестабильность.
2. Для больших параметров формы гамма-функция Γ(k) может становиться очень большой, что потенциально может вызвать переполнение. В таких случаях рекомендуется работать с логарифмом гамма-функции.
3. При вычислении CDF часто более численно устойчиво использовать специализированные алгоритмы для неполной гамма-функции, а не прямую интеграцию PDF.
4. Для крайних значений параметров может потребоваться использовать арифметику с расширенной точностью для поддержания точности.

Примеры использования

Гамма-распределение имеет множество приложений в различных областях:

1. Финансы: моделирование распределений доходов, сумм страховых выплат и доходности активов
2. Метеорология: анализ паттернов осадков и других связанных с погодой явлений
3. Инженерия: анализ надежности и моделирование времени отказов
4. Физика: описание времени ожидания между событиями радиоактивного распада
5. Биология: моделирование разнообразия видов и уровней экспрессии генов
6. Операционные исследования: теория очередей и управление запасами

Альтернативы

Хотя гамма-распределение является универсальным, существуют связанные распределения, которые могут быть более подходящими в определенных ситуациях:

1. Экспоненциальное распределение: частный случай гамма-распределения, когда k = 1
2. Хи-квадрат распределение: частный случай гамма-распределения с k = n/2 и θ = 2
3. Распределение Вейбулла: часто используется как альтернатива в анализе надежности
4. Логнормальное распределение: еще один распространенный выбор для моделирования скошенных положительных данных

Оценка параметров

При работе с реальными данными часто необходимо оценивать параметры гамма-распределения. Общие методы включают:

1. Метод моментов: приравнивание выборочных моментов к теоретическим моментам
2. Оценка максимального правдоподобия (MLE): нахождение параметров, которые максимизируют правдоподобие наблюдения данных
3. Байесовская оценка: учет предварительных знаний о параметрах

Тестирование гипотез

Гамма-распределение может использоваться в различных тестах гипотез, включая:

1. Тесты на соответствие, чтобы определить, следует ли данным гамма-распределению
2. Тесты на равенство параметров масштаба между двумя гамма-распределениями
3. Тесты на равенство параметров формы между двумя гамма-распределениями

История

Гамма-распределение имеет богатую историю в математике и статистике:

• 18-й век: Леонард Эйлер ввел гамма-функцию, которая тесно связана с гамма-распределением
• 1836: Симон-Дени Пуанкаре использовал частный случай гамма-распределения в своей работе по теории вероятностей
• 1920-е годы: Рональд Фишер популяризировал использование гамма-распределения в статистическом анализе
• Средина 20-го века: гамма-распределение стало широко использоваться в инженерии надежности и тестировании жизни
• Конец 20-го века и по настоящее время: достижения в вычислительной мощности упростили работу с гамма-распределениями в различных приложениях

Примеры

Вот несколько примеров кода для вычисления свойств гамма-распределения:

1' Функция Excel VBA для PDF гамма-распределения
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Использование:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Гамма-распределение (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Плотность вероятности')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Пример использования:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Вычисление свойств
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Среднее: {mean}")
29print(f"Дисперсия: {variance}")
30print(f"Ассиметрия: {skewness}")
31print(f"Куртозис: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Среднее: ${mean}`);
19    console.log(`Дисперсия: ${variance}`);
20    console.log(`Ассиметрия: ${skewness}`);
21    console.log(`Куртозис: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Пример использования:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Построить PDF (с использованием гипотетической библиотеки для построения графиков)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Эти примеры демонстрируют, как вычислять свойства гамма-распределения и визуализировать его функцию плотности вероятности с использованием различных языков программирования. Вы можете адаптировать эти функции под свои конкретные нужды или интегрировать их в более крупные системы статистического анализа.

Ссылки

1. "Гамма-распределение." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма-распределение. Доступ 2 авг. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Непрерывные одномерные распределения, том 1 (Том 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Статистические распределения. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Заметка о гамма-распределении. Ежемесячный обзор погоды, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Обобщение гамма-распределения. Анналы математической статистики, 33(3), 1187-1192.