గమ్మా పంపిణీ గణనాకారుడు

పరిచయం

గమ్మా పంపిణీ అనేది నిరంతర ప్రాబబిలిటీ పంపిణీ, ఇది వివిధ శాస్త్ర, ఇంజనీరింగ్ మరియు ఆర్థిక రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది రెండు పరామితుల ద్వారా లక్షణీకరించబడుతుంది: ఆకార పరామితి (k లేదా α) మరియు స్కేల్ పరామితి (θ లేదా β). ఈ గణనాకారుడు ఈ ఇన్‌పుట్ పరామితుల ఆధారంగా గమ్మా పంపిణీ యొక్క వివిధ లక్షణాలను గణించడానికి మీకు అనుమతిస్తుంది.

ఫార్ములా

గమ్మా పంపిణీ యొక్క ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ ఫంక్షన్ (PDF) ఈ క్రింది విధంగా ఉంది:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

అక్కడ:

• x > 0 అనేది యాదృచ్ఛిక మార్పు
• k > 0 అనేది ఆకార పరామితి
• θ > 0 అనేది స్కేల్ పరామితి
• Γ(k) అనేది గమ్మా ఫంక్షన్

సంకలిత పంపిణీ ఫంక్షన్ (CDF) ఈ విధంగా ఉంది:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

అక్కడ γ(k, x/θ) అనేది తక్కువ అసంపూర్తి గమ్మా ఫంక్షన్.

గమ్మా పంపిణీ యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలు:

1. సగటు: $E[X] = k\theta$
2. చలనశీలత: $Var[X] = k\theta^2$
3. వక్రత: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. కర్టోసిస్: $3 + \frac{6}{k}$

ఈ గణనాకారుడిని ఎలా ఉపయోగించాలి

1. ఆకార పరామితిని (k లేదా α) నమోదు చేయండి
2. స్కేల్ పరామితిని (θ లేదా β) నమోదు చేయండి
3. గమ్మా పంపిణీ యొక్క వివిధ లక్షణాలను గణించడానికి "గణించు" పై క్లిక్ చేయండి
4. ఫలితాలు సగటు, చలనశీలత, వక్రత, కర్టోసిస్ మరియు ఇతర సంబంధిత సమాచారాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి
5. ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ ఫంక్షన్ యొక్క దృశ్యీకరణను చూపిస్తుంది

గణన

ఈ గణనాకారుడు పై పేర్కొన్న ఫార్ములాలను ఉపయోగించి గమ్మా పంపిణీ యొక్క వివిధ లక్షణాలను గణించడానికి ఉపయోగిస్తుంది. ఇక్కడ ఒక దశల వారీ వివరణ ఉంది:

1. ఇన్‌పుట్ పరామితులను ధృవీకరించండి (k మరియు θ రెండూ సానుకూలంగా ఉండాలి)
2. సగటు గణించండి: $k\theta$
3. చలనశీలత గణించండి: $k\theta^2$
4. వక్రత గణించండి: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. కర్టోసిస్ గణించండి: $3 + \frac{6}{k}$
6. మోడ్‌ను గణించండి: $(k-1)\theta$ k ≥ 1 కోసం, లేకపోతే 0
7. పై పేర్కొన్న ఫార్ములాను ఉపయోగించి PDF వక్రం కోసం పాయింట్లను రూపొందించండి
8. PDF వక్రాన్ని ప్లాట్ చేయండి

సంఖ్యాత్మక పరిగణనలు

గమ్మా పంపిణీ గణనలను అమలు చేయేటప్పుడు, కొన్ని సంఖ్యాత్మక పరిగణనలు తీసుకోవాలి:

1. చాలా చిన్న ఆకార పరామితుల కోసం (k < 1), PDF x 0 కు చేరుకునేటప్పుడు అనంతం చేరవచ్చు, ఇది సంఖ్యాత్మక అస్థిరతను కలిగించవచ్చు.
2. పెద్ద ఆకార పరామితుల కోసం, గమ్మా ఫంక్షన్ Γ(k) చాలా పెద్దగా మారవచ్చు, ఇది ఓవర్‌ఫ్లోను కలిగించవచ్చు. ఇలాంటి సందర్భాలలో, గమ్మా ఫంక్షన్ యొక్క లాగారిథమ్‌తో పని చేయడం మంచిది.
3. CDFని గణించేటప్పుడు, PDF యొక్క ప్రత్యక్ష సమీకరణ బదులుగా అసంపూర్తి గమ్మా ఫంక్షన్ కోసం ప్రత్యేకమైన ఆల్గోరిథమ్స్‌ను ఉపయోగించడం సాధారణంగా సంఖ్యాత్మకంగా స్థిరంగా ఉంటుంది.
4. తీవ్ర పరామితి విలువల కోసం, ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్వహించడానికి విస్తృత ఖచ్చితత్వ గణనలను ఉపయోగించడం అవసరం.

ఉపయోగాల

గమ్మా పంపిణీ వివిధ రంగాలలో అనేక అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది:

1. ఆర్థికం: ఆదాయ పంపిణీలను, ఇన్సూరెన్స్ క్లెయిమ్ మొత్తాలను మరియు ఆస్తి తిరుగుబాట్లను మోడల్ చేయడం
2. వాతావరణ శాస్త్రం: వర్షపాతం నమూనాలను మరియు ఇతర వాతావరణ సంబంధిత ఫెనామెనాను విశ్లేషించడం
3. ఇంజనీరింగ్: నమ్మకమైన విశ్లేషణ మరియు విఫల సమయ మోడలింగ్
4. భౌతిక శాస్త్రం: రేడియోధారిత క్షీణన సంఘటనల మధ్య వేచి ఉండే సమయాలను వర్ణించడం
5. జీవశాస్త్రం: జాతుల ప్రాబల్యం మరియు జీన్ వ్యక్తీకరణ స్థాయిలను మోడల్ చేయడం
6. ఆపరేషన్స్ రీసర్చ్: క్యూయింగ్ థియరీ మరియు ఇన్వెంటరీ నిర్వహణ

ప్రత్యామ్నాయాలు

గమ్మా పంపిణీ అనేక విధాలుగా ఉపయోగకరమైనప్పటికీ, కొన్ని సందర్భాలలో మరింత అనుకూలమైన సంబంధిత పంపిణీలు ఉంటాయి:

1. ఎక్స్పోనెన్షియల్ పంపిణీ: k = 1 ఉన్నప్పుడు గమ్మా పంపిణీ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం
2. చి-స్క్వేర్ పంపిణీ: k = n/2 మరియు θ = 2 ఉన్నప్పుడు గమ్మా పంపిణీ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం
3. వెయిబుల్ పంపిణీ: నమ్మకమైన విశ్లేషణలో ప్రత్యామ్నాయంగా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది
4. లాగ్-నార్మల్ పంపిణీ: వక్రమైన, సానుకూల డేటాను మోడల్ చేయడానికి మరొక సాధారణ ఎంపిక

పరామితి అంచనా

వాస్తవ ప్రపంచ డేటాతో పని చేస్తున్నప్పుడు, గమ్మా పంపిణీ యొక్క పరామితులను అంచనా వేయడం తరచుగా అవసరం. సాధారణ పద్ధతులు:

1. క్షేత్ర క్షేత్రాలు: నమూనా క్షేత్రాలను సిద్దాంత క్షేత్రాలకు సమానంగా చేయడం
2. గరిష్ట సమర్థత అంచనా (MLE): డేటాను గమనించడానికి పరామితులను గరిష్టం చేయడం
3. బేయిసియన్ అంచనా: పరామితుల గురించి ముందుగా తెలిసిన సమాచారాన్ని చేర్చడం

హిపోథిసిస్ టెస్టింగ్

గమ్మా పంపిణీ వివిధ హిపోథిసిస్ టెస్టుల్లో ఉపయోగించబడవచ్చు, అందులో:

1. డేటా గమ్మా పంపిణీని అనుసరిస్తుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి మంచి-ఫిట్ టెస్టులు
2. రెండు గమ్మా పంపిణీల మధ్య స్కేల్ పరామితుల సమానత్వానికి పరీక్షలు
3. రెండు గమ్మా పంపిణీల మధ్య ఆకార పరామితుల సమానత్వానికి పరీక్షలు

చరిత్ర

గమ్మా పంపిణీ గణిత మరియు గణాంకాలలో సమృద్ధమైన చరిత్రను కలిగి ఉంది:

• 18వ శతాబ్దం: లియోన్హార్డ్ యూలర్ గమ్మా ఫంక్షన్‌ను పరిచయం చేశాడు, ఇది గమ్మా పంపిణీకి దగ్గరగా ఉంది
• 1836: సిమియాన్ డెనిస్ పోయిసన్ తన ప్రాబబిలిటీ థియరీపై పనిచేసేటప్పుడు గమ్మా పంపిణీ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాన్ని ఉపయోగించాడు
• 1920లలో: రొనాల్డ్ ఫిషర్ గమ్మా పంపిణీని గణాంక విశ్లేషణలో ఉపయోగించడం ప్రాచుర్యం పొందింది
• 20వ శతాబ్దం మధ్య: నమ్మకమైన ఇంజనీరింగ్ మరియు జీవితం పరీక్షలో గమ్మా పంపిణీ విస్తృతంగా ఉపయోగించబడింది
• 20వ శతాబ్దం చివరి నుండి ప్రస్తుతానికి: కంప్యూటింగ్ శక్తిలో అభివృద్ధులు వివిధ అనువర్తనాలలో గమ్మా పంపిణీలతో పని చేయడం సులభతరం చేశాయి

ఉదాహరణలు

గమ్మా పంపిణీ యొక్క లక్షణాలను గణించడానికి కొన్ని కోడ్ ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1' Excel VBA ఫంక్షన్ గమ్మా పంపిణీ PDF కోసం
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' ఉపయోగం:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'గమ్మా పంపిణీ (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## ఉదాహరణ ఉపయోగం:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## లక్షణాలను గణించండి
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"సగటు: {mean}")
29print(f"చలనశీలత: {variance}")
30print(f"వక్రత: {skewness}")
31print(f"కర్టోసిస్: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`సగటు: ${mean}`);
19    console.log(`చలనశీలత: ${variance}`);
20    console.log(`వక్రత: ${skewness}`);
21    console.log(`కర్టోసిస్: ${kurtosis}`);
22}
23
24// ఉదాహరణ ఉపయోగం:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDFని ప్లాట్ చేయండి (ఒక హైపోథిటికల్ ప్లాటింగ్ లైబ్రరీని ఉపయోగించడం)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

ఈ ఉదాహరణలు గమ్మా పంపిణీ యొక్క లక్షణాలను గణించడానికి మరియు వివిధ ప్రోగ్రామింగ్ భాషలను ఉపయోగించి దాని ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ ఫంక్షన్‌ను దృశ్యీకరించడానికి ఎలా చేయాలో చూపిస్తాయి. మీరు ఈ ఫంక్షన్‌లను మీ ప్రత్యేక అవసరాలకు అనుగుణంగా అనుకూలీకరించవచ్చు లేదా వాటిని పెద్ద గణాంక విశ్లేషణ వ్యవస్థలలో సమీకరించవచ్చు.

సూచనలు

1. "గమ్మా పంపిణీ." వికీపీడియా, వికీమీడియా ఫౌండేషన్, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. 2024 ఆగస్టు 2న ప్రాప్తించబడింది.
2. జాన్సన్, N. L., కోట్జ్, S., & బాలకృష్ణన్, N. (1994). నిరంతర యూనివార్సిటీ పంపిణీలు, వాల్యూమ్ 1 (Vol. 1). జాన్ వైలీ & సన్స్.
3. ఫోర్బ్స్, C., ఈవాన్స్, M., హేస్టింగ్స్, N., & పీక్వాక్, B. (2011). గణాంక పంపిణీలు. జాన్ వైలీ & సన్స్.
4. థామ్, H. C. S. (1958). గమ్మా పంపిణీపై ఒక నోటు. మంత్లీ వాతావరణ సమీక్ష, 86(4), 117-122.
5. స్టేసీ, E. W. (1962). గమ్మా పంపిణీని సాధారణీకరించడం. అనల్స్ ఆఫ్ మ్యాథమాటికల్ స్టాటిస్టిక్స్, 33(3), 1187-1192.