Gibbs' Phasenregel Rechner

Einführung

Die Gibbs' Phasenregel ist ein grundlegendes Prinzip in der physikalischen Chemie und Thermodynamik, das die Anzahl der Freiheitsgrade in einem thermodynamischen System im Gleichgewicht bestimmt. Benannt nach dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs, bietet diese Regel eine mathematische Beziehung zwischen der Anzahl der Komponenten, Phasen und Variablen, die benötigt werden, um ein System vollständig zu spezifizieren. Unser Gibbs' Phasenregel Rechner bietet eine einfache, effiziente Möglichkeit, die Freiheitsgrade für jedes chemische System zu bestimmen, indem einfach die Anzahl der vorhandenen Komponenten und Phasen eingegeben wird.

Die Phasenregel ist entscheidend für das Verständnis von Phasengleichgewichten, das Entwerfen von Trennprozessen, die Analyse von Mineralassemblagen in der Geologie und die Entwicklung neuer Materialien in der Materialwissenschaft. Egal, ob Sie ein Student sind, der Thermodynamik lernt, ein Forscher, der mit multikomponentigen Systemen arbeitet, oder ein Ingenieur, der chemische Prozesse entwirft, dieser Rechner liefert schnelle und genaue Ergebnisse, um Ihnen zu helfen, die Variabilität Ihres Systems zu verstehen.

Gibbs' Phasenregel Formel

Die Gibbs' Phasenregel wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:

$F = C - P + 2$

Wo:

• F die Freiheitsgrade (oder Varianz) darstellt - die Anzahl der intensiven Variablen, die unabhängig geändert werden können, ohne die Anzahl der Phasen im Gleichgewicht zu stören
• C die Anzahl der Komponenten darstellt - chemisch unabhängige Bestandteile des Systems
• P die Anzahl der Phasen darstellt - physikalisch verschiedene und mechanisch trennbare Teile des Systems
• 2 die zwei unabhängigen intensiven Variablen (typischerweise Temperatur und Druck) darstellt, die Phasengleichgewichte beeinflussen

Mathematische Grundlage und Ableitung

Die Gibbs' Phasenregel wird aus grundlegenden thermodynamischen Prinzipien abgeleitet. In einem System mit C Komponenten, die auf P Phasen verteilt sind, kann jede Phase durch C - 1 unabhängige Kompositionsvariablen (Molenfraktionen) beschrieben werden. Darüber hinaus gibt es 2 weitere Variablen (Temperatur und Druck), die das gesamte System beeinflussen.

Die Gesamtzahl der Variablen ist daher:

• Kompositionsvariablen: P(C - 1)
• Zusätzliche Variablen: 2
• Gesamt: P(C - 1) + 2

Im Gleichgewicht muss das chemische Potential jeder Komponente in allen Phasen, in denen sie vorhanden ist, gleich sein. Dies gibt uns (P - 1) × C unabhängige Gleichungen (Einschränkungen).

Die Freiheitsgrade (F) sind die Differenz zwischen der Anzahl der Variablen und der Anzahl der Einschränkungen:

$F = [P(C - 1) + 2] - [(P - 1) × C]$

Vereinfachung: $F = PC - P + 2 - PC + C = C - P + 2$

Randfälle und Einschränkungen

1. Negative Freiheitsgrade (F < 0): Dies zeigt ein überbestimmtes System an, das im Gleichgewicht nicht existieren kann. Wenn Berechnungen einen negativen Wert ergeben, ist das System unter den gegebenen Bedingungen physikalisch unmöglich.

2. Null Freiheitsgrade (F = 0): Bekannt als ein invariantes System, bedeutet dies, dass das System nur bei einer bestimmten Kombination von Temperatur und Druck existieren kann. Beispiele sind der Triple-Punkt von Wasser.

3. Ein Freiheitsgrad (F = 1): Ein univariantes System, in dem nur eine Variable unabhängig geändert werden kann. Dies entspricht Linien in einem Phasendiagramm.

4. Sonderfall - Ein-Komponenten-Systeme (C = 1): Für ein Ein-Komponenten-System wie reines Wasser vereinfacht sich die Phasenregel zu F = 3 - P. Dies erklärt, warum der Triple-Punkt (P = 3) null Freiheitsgrade hat.

5. Nicht-ganzzahlige Komponenten oder Phasen: Die Phasenregel setzt diskrete, zählbare Komponenten und Phasen voraus. Bruchwerte haben in diesem Kontext keine physikalische Bedeutung.

Verwendung des Gibbs' Phasenregel Rechners

Unser Rechner bietet eine unkomplizierte Möglichkeit, die Freiheitsgrade für jedes System zu bestimmen. Befolgen Sie diese einfachen Schritte:

1. Geben Sie die Anzahl der Komponenten (C) ein: Geben Sie die Anzahl der chemisch unabhängigen Bestandteile in Ihrem System ein. Dies muss eine positive ganze Zahl sein.

2. Geben Sie die Anzahl der Phasen (P) ein: Geben Sie die Anzahl der physikalisch verschiedenen Phasen ein, die im Gleichgewicht vorhanden sind. Dies muss eine positive ganze Zahl sein.

3. Sehen Sie sich das Ergebnis an: Der Rechner berechnet automatisch die Freiheitsgrade unter Verwendung der Formel F = C - P + 2.

4. Interpretieren Sie das Ergebnis:

   • Wenn F positiv ist, stellt es die Anzahl der Variablen dar, die unabhängig geändert werden können.
   • Wenn F null ist, ist das System invariant (existiert nur unter spezifischen Bedingungen).
   • Wenn F negativ ist, kann das System unter den angegebenen Bedingungen nicht im Gleichgewicht existieren.

Beispielberechnungen

1. Wasser (H₂O) am Triple-Punkt:

   • Komponenten (C) = 1
   • Phasen (P) = 3 (fest, flüssig, gasförmig)
   • Freiheitsgrade (F) = 1 - 3 + 2 = 0
   • Interpretation: Der Triple-Punkt existiert nur bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Druck.

2. Binäre Mischung (z.B. Salz-Wasser) mit zwei Phasen:

   • Komponenten (C) = 2
   • Phasen (P) = 2 (festes Salz und Salzlösung)
   • Freiheitsgrade (F) = 2 - 2 + 2 = 2
   • Interpretation: Zwei Variablen können unabhängig geändert werden (z.B. Temperatur und Druck oder Temperatur und Zusammensetzung).

3. Ternäres System mit vier Phasen:

   • Komponenten (C) = 3
   • Phasen (P) = 4
   • Freiheitsgrade (F) = 3 - 4 + 2 = 1
   • Interpretation: Nur eine Variable kann unabhängig geändert werden.

Anwendungsfälle für die Gibbs' Phasenregel

Die Gibbs' Phasenregel hat zahlreiche Anwendungen in verschiedenen wissenschaftlichen und ingenieurtechnischen Disziplinen:

Physikalische Chemie und Chemieingenieurwesen

• Destillationsprozess-Design: Bestimmung der Anzahl der Variablen, die in Trennprozessen gesteuert werden müssen.
• Kristallisation: Verständnis der Bedingungen, die für die Kristallisation in multikomponentigen Systemen erforderlich sind.
• Chemische Reaktordesign: Analyse des Phasenverhaltens in Reaktoren mit mehreren Komponenten.

Materialwissenschaft und Metallurgie

• Legierungsentwicklung: Vorhersage von Phasenkompositionen und -transformationen in Metalllegierungen.
• Wärmebehandlungsprozesse: Optimierung von Anlassen und Abschrecken basierend auf Phasengleichgewichten.
• Keramische Verarbeitung: Kontrolle der Phasenbildung während des Sinterns von keramischen Materialien.

Geologie und Mineralogie

• Analyse von Mineralassemblagen: Verständnis der Stabilität von Mineralassemblagen unter verschiedenen Druck- und Temperaturbedingungen.
• Metamorphe Petrologie: Interpretation metamorpher Fazies und Mineraltransformationen.
• Magma-Kristallisation: Modellierung der Reihenfolge der Mineral-Kristallisation aus abkühlendem Magma.

Pharmazeutische Wissenschaften

• Arzneimittel-Formulierung: Sicherstellung der Phasenstabilität in pharmazeutischen Zubereitungen.
• Gefriertrocknungsprozesse: Optimierung von Lyophilisationsprozessen zur Arzneimittelkonservierung.
• Polymorphismus-Studien: Verständnis der verschiedenen Kristallformen derselben chemischen Verbindung.

Umweltwissenschaften

• Wasseraufbereitung: Analyse von Fällungs- und Auflösungsprozessen in der Wasserreinigung.
• Atmosphärische Chemie: Verständnis von Phasenübergängen in Aerosolen und der Wolkenbildung.
• Bodenreinigung: Vorhersage des Verhaltens von Schadstoffen in mehrphasigen Bodensystemen.

Alternativen zur Gibbs' Phasenregel

Obwohl die Gibbs' Phasenregel grundlegend für die Analyse von Phasengleichgewichten ist, gibt es andere Ansätze und Regeln, die für spezifische Anwendungen geeigneter sein können:

1. Modifizierte Phasenregel für reagierende Systeme: Wenn chemische Reaktionen stattfinden, muss die Phasenregel modifiziert werden, um chemische Gleichgewichtseinschränkungen zu berücksichtigen.

2. Duhems Theorem: Bietet Beziehungen zwischen intensiven Eigenschaften in einem System im Gleichgewicht, nützlich zur Analyse spezifischer Arten von Phasenverhalten.

3. Hebelregel: Wird verwendet, um die relativen Mengen von Phasen in binären Systemen zu bestimmen, ergänzt die Phasenregel, indem sie quantitative Informationen liefert.

4. Phasenfeldmodelle: Rechnergestützte Ansätze, die komplexe, nichtgleichgewichtige Phasenübergänge behandeln können, die nicht durch die klassische Phasenregel abgedeckt sind.

5. Statistische thermodynamische Ansätze: Für Systeme, in denen molekulare Wechselwirkungen das Phasenverhalten erheblich beeinflussen, bieten statistische Mechanik detailliertere Einblicke als die klassische Phasenregel.

Geschichte der Gibbs' Phasenregel

J. Willard Gibbs und die Geburt der chemischen Thermodynamik

Josiah Willard Gibbs (1839-1903), ein amerikanischer mathematischer Physiker, veröffentlichte die Phasenregel erstmals in seinem bahnbrechenden Artikel "On the Equilibrium of Heterogeneous Substances" zwischen 1875 und 1878. Diese Arbeit gilt als eine der größten Errungenschaften in der physikalischen Wissenschaft des 19. Jahrhunderts und begründete das Gebiet der chemischen Thermodynamik.

Gibbs entwickelte die Phasenregel als Teil seiner umfassenden Behandlung thermodynamischer Systeme. Trotz ihrer tiefgreifenden Bedeutung wurde Gibbs' Arbeit zunächst übersehen, teilweise wegen ihrer mathematischen Komplexität und teilweise, weil sie in den Transactions of the Connecticut Academy of Sciences veröffentlicht wurde, die eine begrenzte Verbreitung hatte.

Anerkennung und Entwicklung

Die Bedeutung von Gibbs' Arbeit wurde zuerst in Europa erkannt, insbesondere von James Clerk Maxwell, der ein Gipsmodell zur Veranschaulichung von Gibbs' thermodynamischer Fläche für Wasser erstellte. Wilhelm Ostwald übersetzte Gibbs' Arbeiten 1892 ins Deutsche und half, seine Ideen in Europa zu verbreiten.

Der niederländische Physiker H.W. Bakhuis Roozeboom (1854-1907) war maßgeblich daran beteiligt, die Phasenregel auf experimentelle Systeme anzuwenden und ihre praktische Nützlichkeit beim Verständnis komplexer Phasendiagramme zu demonstrieren. Seine Arbeit half, die Phasenregel als essentielles Werkzeug in der physikalischen Chemie zu etablieren.

Moderne Anwendungen und Erweiterungen

Im 20. Jahrhundert wurde die Phasenregel zu einem Grundpfeiler der Materialwissenschaft, Metallurgie und des chemischen Ingenieurwesens. Wissenschaftler wie Gustav Tammann und Paul Ehrenfest erweiterten ihre Anwendungen auf komplexere Systeme.

Die Regel wurde für verschiedene Sonderfälle modifiziert:

• Systeme unter externen Feldern (gravitational, electrical, magnetic)
• Systeme mit Grenzflächen, bei denen Oberflächeneffekte signifikant sind
• Nichtgleichgewichtssysteme mit zusätzlichen Einschränkungen

Heute ermöglichen rechnergestützte Methoden, die auf thermodynamischen Datenbanken basieren, die Anwendung der Phasenregel auf zunehmend komplexe Systeme, was das Design fortschrittlicher Materialien mit präzise kontrollierten Eigenschaften ermöglicht.

Codebeispiele zur Berechnung der Freiheitsgrade

Hier sind Implementierungen des Gibbs' Phasenregel Rechners in verschiedenen Programmiersprachen:

1' Excel-Funktion für die Gibbs' Phasenregel
2Function GibbsPhaseRule(Components As Integer, Phases As Integer) As Integer
3    GibbsPhaseRule = Components - Phases + 2
4End Function
5
6' Beispielverwendung in einer Zelle:
7' =GibbsPhaseRule(3, 2)
8

1def gibbs_phase_rule(components, phases):
2    """
3    Berechnet die Freiheitsgrade unter Verwendung der Gibbs' Phasenregel
4    
5    Args:
6        components (int): Anzahl der Komponenten im System
7        phases (int): Anzahl der Phasen im System
8        
9    Returns:
10        int: Freiheitsgrade
11    """
12    if components <= 0 or phases <= 0:
13        raise ValueError("Komponenten und Phasen müssen positive ganze Zahlen sein")
14        
15    degrees_of_freedom = components - phases + 2
16    return degrees_of_freedom
17
18# Beispielverwendung
19try:
20    c = 3  # Dreikomponenten-System
21    p = 2  # Zwei Phasen
22    f = gibbs_phase_rule(c, p)
23    print(f"Ein System mit {c} Komponenten und {p} Phasen hat {f} Freiheitsgrade.")
24    
25    # Randfall: Negative Freiheitsgrade
26    c2 = 1
27    p2 = 4
28    f2 = gibbs_phase_rule(c2, p2)
29    print(f"Ein System mit {c2} Komponenten und {p2} Phasen hat {f2} Freiheitsgrade (physikalisch unmöglich).")
30except ValueError as e:
31    print(f"Fehler: {e}")
32

1/**
2 * Berechnet die Freiheitsgrade unter Verwendung der Gibbs' Phasenregel
3 * @param {number} components - Anzahl der Komponenten im System
4 * @param {number} phases - Anzahl der Phasen im System
5 * @returns {number} Freiheitsgrade
6 */
7function calculateDegreesOfFreedom(components, phases) {
8    if (!Number.isInteger(components) || components <= 0) {
9        throw new Error("Komponenten müssen eine positive ganze Zahl sein");
10    }
11    
12    if (!Number.isInteger(phases) || phases <= 0) {
13        throw new Error("Phasen müssen eine positive ganze Zahl sein");
14    }
15    
16    return components - phases + 2;
17}
18
19// Beispielverwendung
20try {
21    const components = 2;
22    const phases = 1;
23    const degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
24    console.log(`Ein System mit ${components} Komponenten und ${phases} Phasen hat ${degreesOfFreedom} Freiheitsgrade.`);
25    
26    // Triple-Punkt von Wasser Beispiel
27    const waterComponents = 1;
28    const triplePointPhases = 3;
29    const triplePointDoF = calculateDegreesOfFreedom(waterComponents, triplePointPhases);
30    console.log(`Wasser am Triple-Punkt (${waterComponents} Komponente, ${triplePointPhases} Phasen) hat ${triplePointDoF} Freiheitsgrade.`);
31} catch (error) {
32    console.error(`Fehler: ${error.message}`);
33}
34

1public class GibbsPhaseRuleCalculator {
2    /**
3     * Berechnet die Freiheitsgrade unter Verwendung der Gibbs' Phasenregel
4     * 
5     * @param components Anzahl der Komponenten im System
6     * @param phases Anzahl der Phasen im System
7     * @return Freiheitsgrade
8     * @throws IllegalArgumentException wenn Eingaben ungültig sind
9     */
10    public static int calculateDegreesOfFreedom(int components, int phases) {
11        if (components <= 0) {
12            throw new IllegalArgumentException("Komponenten müssen eine positive ganze Zahl sein");
13        }
14        
15        if (phases <= 0) {
16            throw new IllegalArgumentException("Phasen müssen eine positive ganze Zahl sein");
17        }
18        
19        return components - phases + 2;
20    }
21    
22    public static void main(String[] args) {
23        try {
24            // Beispiel 1: Binäres eutektisches System
25            int components = 2;
26            int phases = 3;
27            int degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
28            System.out.printf("Ein System mit %d Komponenten und %d Phasen hat %d Freiheitsgrad(e).%n", 
29                             components, phases, degreesOfFreedom);
30            
31            // Beispiel 2: Ternäres System
32            components = 3;
33            phases = 2;
34            degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
35            System.out.printf("Ein System mit %d Komponenten und %d Phasen hat %d Freiheitsgrad(e).%n", 
36                             components, phases, degreesOfFreedom);
37        } catch (IllegalArgumentException e) {
38            System.err.println("Fehler: " + e.getMessage());
39        }
40    }
41}
42

1#include <iostream>
2#include <stdexcept>
3
4/**
5 * Berechnet die Freiheitsgrade unter Verwendung der Gibbs' Phasenregel
6 * 
7 * @param components Anzahl der Komponenten im System
8 * @param phases Anzahl der Phasen im System
9 * @return Freiheitsgrade
10 * @throws std::invalid_argument wenn Eingaben ungültig sind
11 */
12int calculateDegreesOfFreedom(int components, int phases) {
13    if (components <= 0) {
14        throw std::invalid_argument("Komponenten müssen eine positive ganze Zahl sein");
15    }
16    
17    if (phases <= 0) {
18        throw std::invalid_argument("Phasen müssen eine positive ganze Zahl sein");
19    }
20    
21    return components - phases + 2;
22}
23
24int main() {
25    try {
26        // Beispiel 1: Wasser-Salz-System
27        int components = 2;
28        int phases = 2;
29        int degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
30        std::cout << "Ein System mit " << components << " Komponenten und " 
31                  << phases << " Phasen hat " << degreesOfFreedom 
32                  << " Freiheitsgrade." << std::endl;
33        
34        // Beispiel 2: Komplexes System
35        components = 4;
36        phases = 3;
37        degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
38        std::cout << "Ein System mit " << components << " Komponenten und " 
39                  << phases << " Phasen hat " << degreesOfFreedom 
40                  << " Freiheitsgrade." << std::endl;
41    } catch (const std::exception& e) {
42        std::cerr << "Fehler: " << e.what() << std::endl;
43        return 1;
44    }
45    
46    return 0;
47}
48

Numerische Beispiele

Hier sind einige praktische Beispiele für die Anwendung der Gibbs' Phasenregel auf verschiedene Systeme:

1. Reines Wassersystem (C = 1)

2. Binäre Systeme (C = 2)

3. Ternäre Systeme (C = 3)

4. Randfälle

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Gibbs' Phasenregel?

Die Gibbs' Phasenregel ist ein grundlegendes Prinzip in der Thermodynamik, das die Anzahl der Freiheitsgrade (F) in einem thermodynamischen System in Beziehung zur Anzahl der Komponenten (C) und Phasen (P) setzt durch die Gleichung F = C - P + 2. Sie hilft zu bestimmen, wie viele Variablen unabhängig geändert werden können, ohne die Anzahl der Phasen im System zu stören.

Was sind Freiheitsgrade in der Gibbs' Phasenregel?

Freiheitsgrade in der Gibbs' Phasenregel stellen die Anzahl der intensiven Variablen (wie Temperatur, Druck oder Konzentration) dar, die unabhängig variiert werden können, ohne die Anzahl der Phasen im System zu ändern. Sie zeigen die Variabilität des Systems an oder die Anzahl der Parameter, die spezifiziert werden müssen, um das System vollständig zu definieren.

Wie zähle ich die Anzahl der Komponenten in einem System?

Komponenten sind die chemisch unabhängigen Bestandteile eines Systems. Um Komponenten zu zählen:

1. Beginnen Sie mit der Gesamtzahl der vorhandenen chemischen Spezies
2. Subtrahieren Sie die Anzahl der unabhängigen chemischen Reaktionen oder Gleichgewichtseinschränkungen
3. Das Ergebnis ist die Anzahl der Komponenten

Zum Beispiel zählt ein System mit Wasser (H₂O), obwohl es Wasserstoff- und Sauerstoffatome enthält, als eine Komponente, wenn keine chemischen Reaktionen stattfinden.

Was wird als Phase in der Gibbs' Phasenregel betrachtet?

Eine Phase ist ein physikalisch unterscheidbarer und mechanisch trennbarer Teil eines Systems mit einheitlichen chemischen und physikalischen Eigenschaften. Beispiele sind:

• Verschiedene Aggregatzustände (fest, flüssig, gasförmig)
• Unlösliche Flüssigkeiten (wie Öl und Wasser)
• Unterschiedliche Kristallstrukturen derselben Substanz
• Lösungen mit unterschiedlichen Zusammensetzungen

Was bedeutet ein negativer Wert für die Freiheitsgrade?

Ein negativer Wert für die Freiheitsgrade zeigt ein physikalisch unmögliches System im Gleichgewicht an. Es deutet darauf hin, dass das System mehr Phasen hat, als durch die gegebene Anzahl von Komponenten stabilisiert werden kann. Solche Systeme können nicht in einem stabilen Gleichgewichtszustand existieren und werden spontan die Anzahl der vorhandenen Phasen reduzieren.

Wie beeinflusst der Druck die Berechnungen der Phasenregel?

Der Druck ist eine der beiden standardmäßigen intensiven Variablen (neben der Temperatur), die im "+2" Term der Phasenregel enthalten sind. Wenn der Druck konstant gehalten wird, wird die Phasenregel zu F = C - P + 1. Ebenso, wenn sowohl Druck als auch Temperatur konstant sind, wird es zu F = C - P.

Was ist der Unterschied zwischen intensiven und extensiven Variablen im Kontext der Phasenregel?

Intensive Variablen (wie Temperatur, Druck und Konzentration) hängen nicht von der Menge des vorhandenen Materials ab und werden zur Zählung der Freiheitsgrade verwendet. Extensive Variablen (wie Volumen, Masse und Gesamtenergie) hängen von der Größe des Systems ab und werden in der Phasenregel nicht direkt berücksichtigt.

Wie wird die Gibbs' Phasenregel in der Industrie verwendet?

In der Industrie wird die Gibbs' Phasenregel verwendet, um:

• Trennprozesse wie Destillation und Kristallisation zu entwerfen und zu optimieren
• Neue Legierungen mit spezifischen Eigenschaften zu entwickeln
• Wärmebehandlungsprozesse in der Metallurgie zu steuern
• Stabile pharmazeutische Produkte zu formulieren
• Das Verhalten geologischer Systeme vorherzusagen
• Effiziente Extraktionsprozesse in der Hydrometallurgie zu entwerfen

Referenzen

1. Gibbs, J. W. (1878). "On the Equilibrium of Heterogeneous Substances." Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences, 3, 108-248.

2. Smith, J. M., Van Ness, H. C., & Abbott, M. M. (2017). Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics (8. Aufl.). McGraw-Hill Education.

3. Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10. Aufl.). Oxford University Press.

4. Denbigh, K. (1981). The Principles of Chemical Equilibrium (4. Aufl.). Cambridge University Press.

5. Porter, D. A., Easterling, K. E., & Sherif, M. Y. (2009). Phase Transformations in Metals and Alloys (3. Aufl.). CRC Press.

6. Hillert, M. (2007). Phase Equilibria, Phase Diagrams and Phase Transformations: Their Thermodynamic Basis (2. Aufl.). Cambridge University Press.

7. Lupis, C. H. P. (1983). Chemical Thermodynamics of Materials. North-Holland.

8. Ricci, J. E. (1966). The Phase Rule and Heterogeneous Equilibrium. Dover Publications.

9. Findlay, A., Campbell, A. N., & Smith, N. O. (1951). The Phase Rule and Its Applications (9. Aufl.). Dover Publications.

10. Kondepudi, D., & Prigogine, I. (2014). Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures (2. Aufl.). John Wiley & Sons.

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