लैप्लेस वितरण कैलकुलेटर

परिचय

लैप्लेस वितरण, जिसे डबल एक्सपोनेंशियल वितरण भी कहा जाता है, एक निरंतर संभाव्यता वितरण है जिसका नाम पियरे-सिमोन लैप्लेस के नाम पर रखा गया है। यह अपने औसत (स्थान पैरामीटर) के चारों ओर सममित है और सामान्य वितरण की तुलना में भारी पूंछें होती हैं। यह कैलकुलेटर आपको दिए गए पैरामीटर के लिए लैप्लेस वितरण का संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) की गणना करने और इसके आकार का दृश्यांकन करने की अनुमति देता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. स्थान पैरामीटर (μ) दर्ज करें, जो वितरण का औसत दर्शाता है।
2. स्केल पैरामीटर (b) दर्ज करें, जो वितरण के फैलाव को निर्धारित करता है (b > 0)।
3. कैलकुलेटर x = 0 पर संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) मान प्रदर्शित करेगा और वितरण का ग्राफ दिखाएगा।

नोट: स्केल पैरामीटर को सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए (b > 0)।

सूत्र

लैप्लेस वितरण का संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) इस प्रकार दिया गया है:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

जहां:

• x वह चर है
• μ (म्यू) स्थान पैरामीटर है
• b स्केल पैरामीटर है (b > 0)

गणना

कैलकुलेटर उपयोगकर्ता के इनपुट के आधार पर x = 0 पर PDF मान की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करता है। यहाँ एक चरण-दर-चरण व्याख्या है:

1. इनपुट मानों की जांच करें: सुनिश्चित करें कि स्केल पैरामीटर b सकारात्मक है।
2. |x - μ| की गणना करें: इस मामले में, यह केवल |0 - μ| = |μ| है।
3. एक्सपोनेंशियल पद की गणना करें: $\exp(-|μ| / b)$
4. अंतिम परिणाम की गणना करें: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

ध्यान देने योग्य किनारे के मामले:

• यदि b ≤ 0 है, तो एक त्रुटि संदेश प्रदर्शित करें।
• यदि |μ| बहुत बड़ा है या b बहुत छोटा है, तो परिणाम शून्य के बहुत करीब हो सकता है।
• यदि μ = 0 है, तो PDF x = 0 पर 1/(2b) का अधिकतम मान प्राप्त करेगा।

उपयोग के मामले

लैप्लेस वितरण के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं:

1. सिग्नल प्रोसेसिंग: ऑडियो और इमेज सिग्नल का मॉडलिंग और विश्लेषण करने में उपयोग किया जाता है।

2. वित्त: वित्तीय रिटर्न और जोखिम मूल्यांकन का मॉडलिंग करने में लागू किया जाता है।

3. मशीन लर्निंग: अंतराल गोपनीयता के लिए लैप्लेस तंत्र में और कुछ बेयesian अनुमान मॉडल में उपयोग किया जाता है।

4. प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण: भाषा मॉडल और पाठ वर्गीकरण कार्यों में लागू किया जाता है।

5. भूविज्ञान: भूकंप के परिमाण के वितरण का मॉडलिंग करने में उपयोग किया जाता है (गुटेनबर्ग-रिच्टर कानून)।

विकल्प

हालांकि लैप्लेस वितरण कई परिदृश्यों में उपयोगी है, कुछ स्थितियों में अन्य संभाव्यता वितरण अधिक उपयुक्त हो सकते हैं:

1. सामान्य (गौसियन) वितरण: प्राकृतिक घटनाओं और माप त्रुटियों का मॉडलिंग करने के लिए अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है।

2. काउची वितरण: लैप्लेस वितरण की तुलना में और भी भारी पूंछें होती हैं, जो आउटलेयर-प्रवण डेटा का मॉडलिंग करने के लिए उपयोगी होती हैं।

3. एक्सपोनेंशियल वितरण: पॉइसन प्रक्रिया में घटनाओं के बीच के समय का मॉडलिंग करने के लिए उपयोग किया जाता है।

4. स्टूडेंट का t-वितरण: सामान्यतः परिकल्पना परीक्षण और वित्तीय रिटर्न का मॉडलिंग करने में उपयोग किया जाता है।

5. लॉजिस्टिक वितरण: सामान्य वितरण के समान आकार का होता है लेकिन भारी पूंछें होती हैं।

इतिहास

लैप्लेस वितरण को पियरे-सिमोन लैप्लेस द्वारा 1774 में "घटनाओं के कारणों की संभाव्यता पर" अपने संस्मरण में पेश किया गया था। हालांकि, यह वितरण 20वीं सदी की शुरुआत में गणितीय सांख्यिकी के विकास के साथ अधिक प्रमुखता प्राप्त हुआ।

लैप्लेस वितरण के इतिहास में प्रमुख मील के पत्थर:

1. 1774: पियरे-सिमोन लैप्लेस अपने कार्य में वितरण को पेश करते हैं।
2. 1930 के दशक: वितरण को फिर से खोजा जाता है और विभिन्न क्षेत्रों में लागू किया जाता है, जिसमें अर्थशास्त्र और इंजीनियरिंग शामिल हैं।
3. 1960 के दशक: लैप्लेस वितरण सामान्य वितरण के विकल्प के रूप में मजबूत सांख्यिकी में महत्वपूर्णता प्राप्त करता है।
4. 1990 के दशक से वर्तमान: मशीन लर्निंग, सिग्नल प्रोसेसिंग और वित्तीय मॉडलिंग में बढ़ी हुई उपयोग।

उदाहरण

यहाँ कुछ कोड उदाहरण हैं जो लैप्लेस वितरण PDF की गणना करते हैं:

1' एक्सेल VBA फ़ंक्शन लैप्लेस वितरण PDF के लिए
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' उपयोग:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("स्केल पैरामीटर सकारात्मक होना चाहिए")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## उदाहरण उपयोग:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"x={x} पर PDF मान: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("स्केल पैरामीटर सकारात्मक होना चाहिए");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// उदाहरण उपयोग:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`x=${x} पर PDF मान: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("स्केल पैरामीटर सकारात्मक होना चाहिए");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("x=%.1f पर PDF मान: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

ये उदाहरण दिखाते हैं कि दिए गए पैरामीटर के लिए लैप्लेस वितरण PDF की गणना कैसे की जाती है। आप इन फ़ंक्शनों को अपनी विशिष्ट आवश्यकताओं के लिए अनुकूलित कर सकते हैं या उन्हें बड़े सांख्यिकीय विश्लेषण प्रणालियों में एकीकृत कर सकते हैं।

संख्यात्मक उदाहरण

1. मानक लैप्लेस वितरण:

   • स्थान (μ) = 0
   • स्केल (b) = 1
   • x = 0 पर PDF: 0.500000

2. स्थानांतरित लैप्लेस वितरण:

   • स्थान (μ) = 2
   • स्केल (b) = 1
   • x = 0 पर PDF: 0.183940

3. स्केल किया गया लैप्लेस वितरण:

   • स्थान (μ) = 0
   • स्केल (b) = 3
   • x = 0 पर PDF: 0.166667

4. स्थानांतरित और स्केल किया गया लैप्लेस वितरण:

   • स्थान (μ) = -1
   • स्केल (b) = 0.5
   • x = 0 पर PDF: 0.367879

संदर्भ

1. कोट्ज़, एस., कोज़ुबोव्स्की, टी., & पॉडगॉर्स्की, के. (2001). द लैप्लेस वितरण और सामान्यीकरण। बिर्कहॉउस, बोस्टन, एमए।
2. कीन्स, जे. एम. (1911). प्रमुख औसत और वे त्रुटियों के कानून जो उन्हें लाते हैं। रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी की पत्रिका, 74(3), 322-331।
3. पेंग, एल., & झू, एक्स. (2019). अंतराल गोपनीयता में लैप्लेस तंत्र। IEEE एक्सेस, 7, 39891-39900।
4. नॉर्टन, एम. पी., & कार्ज़ुब, डी. जी. (2003). इंजीनियरों के लिए शोर और कंपन विश्लेषण के मूलभूत सिद्धांत। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।
5. "लैप्लेस वितरण।" विकिपीडिया, विकिमीडिया फाउंडेशन, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. 2 अगस्त 2024 को एक्सेस किया गया।