Számrendszer-átváltó: Bináris, Hexadecimális, Decimális & Oktális

Számrendszer-átváltó

A számrendszer-átváltó megváltoztatja egy szám írásmódját egyik helyiértékes számrendszerről egy másikra, az érték megváltoztatása nélkül. A bináris számot decimálisra, a decimális számot hexadecimálisra alakíthatja, illetve bármely két, 2 és 36 közötti alap között átválthat.

Mi az a számrendszeralap?

A számrendszeralap, más néven radix, a rendszer által használt különböző számjegyek száma, mielőtt új helyiértéken kezdené újra használni őket. A decimális, vagyis a mindennapi számolásra használt rendszer alapja 10. Tíz számjegyet használ, 0-tól 9-ig. A bináris rendszer alapja 2, és csak a(z) 0 és 1 számjegyet használja. Ha egy alap nagyobb 10-nél, a hiányzó számjegyek helyett betűk állnak: az A a(z) 10-et, a B a(z) 11-et jelöli, és így tovább egészen a Z-ig, amely a(z) 35-öt jelöli. Így egy rendszer elérheti a(z) 36-os alapot, amely a legtöbb átváltó által támogatott legnagyobb alap, az ábécé 26 betűjével és a(z) 10 számjeggyel.

Egy számban minden számjegy helyiértékét az alap hatványai határozzák meg. Decimális rendszerben a(z) „205” alakban írt szám 2 százast, 0 tízest és 5 egyest jelent, mivel a(z) 100 és 10 a(z) 10 hatványai. Ugyanez az elv érvényes minden alap esetén: a jobb szélső számjegyet az alap⁰-nal, a következőt az alap¹-nel, az azután következőt az alap²-nel kell megszorozni, és így tovább.

Hogyan lehet egy számot másik alapra átváltani?

Szám átváltása decimális rendszerbe

Ha egy tetszőleges alapú számot decimálisra szeretnénk átváltani, minden számjegyet meg kell szorozni az alapnak a pozíciójának megfelelő hatványával, jobbról, a(z) 0 pozíciótól kezdve, majd az eredményeket össze kell adni.

Képlet: érték = dₙ × alapⁿ + ... + d₁ × alap¹ + d₀ × alap⁰

Példa: Az 5 alapú 101 szám átváltása decimális számrendszerbe.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Tehát a 5-ös számrendszerben felírt 101 decimális értéke 26.

Decimális szám átváltása másik alapra

Ha egy decimális számot másik alapra szeretnénk átváltani, ismételten el kell osztani a célalappal, és minden maradékot fel kell jegyezni. Akkor kell megállni, amikor a szám eléri a(z) 0 értéket, majd a maradékokat az utolsóként kapottól az elsőig kell kiolvasni.

Példa: A decimális 26 átváltása 5-ös alapra.

• 26 ÷ 5 = 5, maradék: 1
• 5 ÷ 5 = 1, maradék: 0
• 1 ÷ 5 = 0, maradék: 1
• A maradékokat alulról felfelé kiolvasva: 101

Ez megerősíti a korábbi példát: decimális rendszerben 26 = 101 az 5-ös alapú rendszerben.

Számítási példa

Binárisról decimálisra: A(z) 1101 bináris szám decimálisra így alakítható át: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Decimálisról hexadecimálisra: A decimális 202 szám hexadecimálisra így alakítható át: 202 ÷ 16 = 12, maradék 10, majd 12 ÷ 16 = 0, maradék 12. Hexadecimális rendszerben a(z) 10 jelölése A, a(z) 12 jelölése C. A maradékokat alulról felfelé kiolvasva CA adódik. Tehát decimális rendszerben 202 hexadecimálisan CA.

Oktálisról binárisra: Az oktális 17 számot először decimálisra kell átváltani: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. A decimális 15 ezután binárisan 1111. Tehát oktális rendszerben 17 = 1111 binárisan.

Gyakori számrendszeralapok

Nagyon nagy számok

Egyes átváltások olyan nagy számokat érintenek, amelyeket a szabványos, kettős pontosságú aritmetika nem tud pontosan kezelni, például egy 64 bites hexadecimális értéket, mint az FFFFFFFFFFFFFFFF. Ez az átváltó tetszőleges méretű egész számokkal dolgozik, tetszőleges pontosságú egészaritmetikát használva, ezért a hosszú értékeket nem kerekíti, és nem veszít el számjegyeket.

Mit fogad el az átváltó?

Az eszköz nulla vagy annál nagyobb egész számokat olvas be, amelyeket a forrásalap számjegyeivel írtak. A betűk bármelyik kis- vagy nagybetűs alakban beírhatók, így az ff és az FF egyaránt 255-öt jelent 16 alapú rendszerben. A szám előtti és utáni szóközöket a rendszer figyelmen kívül hagyja. Minden más karaktert, például a mínuszjelet vagy a tizedespontot, elutasít a(z) „A bemenet érvénytelen karaktereket tartalmaz a(z) 16 alapú rendszerhez” üzenettel, amelyben a beállított forrásalap szerepel.

Gyakran ismételt kérdések

Mi a különbség a bináris és a hexadecimális rendszer között?

A bináris rendszer csak két számjegyet használ: 0 és 1. A hexadecimális rendszer tizenhatot használ: 0-tól 9-ig, valamint A-tól F-ig. Mivel 16 = 2⁴, minden egyes hexadecimális számjegy pontosan négy bináris számjegyet jelöl, ezért a hexadecimális rendszert gyakran a bináris értékek rövid leírására használják.

Hogyan lehet kézzel decimális számot binárisra átváltani?

A decimális számot ismételten el kell osztani 2-vel, és minden maradékot fel kell jegyezni. A maradékokat fordított sorrendben, az utolsó osztástól az elsőig kell kiolvasni. Például 13 ÷ 2 = 6, maradék: 1; 6 ÷ 2 = 3, maradék: 0; 3 ÷ 2 = 1, maradék: 1; 1 ÷ 2 = 0, maradék: 1. Alulról felfelé kiolvasva a(z) 1101 adódik, amely binárisan 13.

Mi az ezen eszköz által támogatott legnagyobb alap?

Az eszköz a(z) 2 és 36 közötti alapokat támogatja. A(z) 36-os alap a legnagyobb olyan alap, amely csak a tíz 0–9 számjeggyel és a huszonhat A–Z betűvel elérhető, mivel ezek pontosan 36 különböző jelet adnak.

Át tudja váltani ez az eszköz a negatív számokat?

Nem. Csak nullát és pozitív egész számokat fogad el. Negatív szám átváltásához annak abszolút értékét kell átváltani, majd a mínuszjelet kézzel hozzáadni az eredményhez.

Miért létezik hexadecimális és oktális rendszer, ha a számítógépek belsőleg binárisan működnek?

Az 1 és 0 számjegyekből álló hosszú sorozatokat nehéz leolvasni, és könnyű bennük hibásan megszámolni a számjegyeket. Mivel a(z) 16 és a(z) 8 egyaránt a(z) 2 hatványai, a hexadecimális és az oktális számjegyek szabályos bináris számjegycsoportoknak felelnek meg: hexadecimális esetben négy, oktális esetben három bitnek. Ezáltal a hosszú bináris értékek rövidebbé válnak, és szemmel könnyebben ellenőrizhetők.

Van korlátja annak, hogy mekkora számot tud átváltani ez az eszköz?

Nincs gyakorlati korlát. Az eszköz szabványos lebegőpontos számok helyett tetszőleges pontosságú aritmetikát használ, így a nagyon hosszú értékeket is átváltja, beleértve a tipikus számológép által pontosan nem ábrázolható értékeket, kerekítési hibák nélkül.