Gerendaterhelés-biztonsági kalkulátor

A gerendaterhelés-biztonsági kalkulátor ellenőrzi, hogy egy gerenda elbír-e egy adott terhet anélkül, hogy anyagának megengedett feszültséghatárát túllépné. Kiszámítja a terhelés által a gerendában létrehozott hajlítófeszültséget, összehasonlítja ezt az anyag megengedett feszültségével, majd biztonsági tényezőt és biztonságos vagy nem biztonságos minősítést ad.

Mit jelent a „gerenda biztonsága”?

A gerenda olyan tartószerkezeti elem, amely két alátámasztás között hidal át egy távolságot, és a terhet oldalirányban ezekre vezeti át; ilyen például a födémgerenda, az ajtónyílás feletti áthidaló vagy a polctartó konzol. Amikor egy teher lefelé nyomja a gerendát, az meghajlik. A hajlítás az egyik oldalon megnyújtja, a másikon pedig összenyomja a szálakat. Az így létrejövő feszültség nagysága függ a teher súlyától, az alátámasztások közötti távolságtól és a gerenda keresztmetszetének alakjától.

Egy gerenda akkor tönkremegy, illetve akkor minősül nem biztonságosnak, amikor a benne ébredő feszültség meghaladja az anyag teherbírását. A mérnökök nem közvetlenül e határértékre méreteznek. Egy biztonsági tényezőnek nevezett tartalékot hagynak, hogy a gerenda akkor is megtartsa a terhet, ha a tényleges terhelés, az anyag szilárdsága vagy a kivitelezés minősége kissé eltér a tervtől.

Ez a kalkulátor egy gyakori esetet kezel: két alátámasztáson nyugvó gerendát, amelynek közepén egyetlen lefelé ható teher működik. Ezt két végén egyszerűen alátámasztott, középen koncentrált erővel terhelt gerendának nevezik. Nem vonatkozik egyik végén befogott konzolokra, a teljes fesztávon eloszló terhekre, több teherre vagy magának a gerendának a súlyára.

Gerendaterhelés-biztonsági képlete

Hajlítófeszültség

A teher által a gerendában létrehozott feszültség:

$\sigma = \frac{M}{S}$

• σ (szigma) a hajlítófeszültség, megapascalban (MPa)
• M a maximális hajlítónyomaték, newtonméterben (N·m)
• S a gerenda keresztmetszetének keresztmetszeti tényezője, köbméterben (m³)

Két alátámasztáson nyugvó, közepén egyetlen teherrel terhelt gerenda esetén a maximális hajlítónyomaték:

$M = \frac{P \times L}{4}$

• P az alkalmazott terhelés, newtonban (N)
• L az alátámasztások közötti fesztáv, méterben (m)

A keresztmetszeti tényező alak szerint

Az S keresztmetszeti tényező a gerenda keresztmetszetének alakjától függ. A másodrendű nyomaték (I) — annak mértéke, hogy az anyag mennyire oszlik el a középponthoz képest — és a középponttól a külső szélig mért távolság (c) hányadosa.

Téglalap (tömör, például fa födémgerenda):

$I = \frac{b \times h^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

b a szélesség, h pedig a magasság.

Kör (rúd vagy cső):

$I = \frac{\pi \times d^4}{64}, \qquad S = \frac{I}{d/2}$

d az átmérő.

I-szelvény (felül és alul övlemezzel, közöttük vékony gerinccel kialakított acélszelvény):

$I = \frac{b \times h^3}{12} - \frac{(b - t_w) \times h_w^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

Itt b az övlemez szélessége, h a teljes magasság, $t_w$ a gerinc vastagsága, $h_w$ pedig a gerinc magassága (a teljes magasság mínusz az övlemez vastagságának kétszerese). Ez az I-szelvényt tömör téglalapként kezeli, amelynek közepéből egy téglalap alakú részt vágtak ki.

Biztonsági tényező

$\text{Biztonsági tényező} = \frac{\text{Megengedett feszültség}}{\text{Tényleges feszültség}}$

A 1,0 biztonsági tényező azt jelenti, hogy a gerendát pontosan a határterhelésig terhelik. A 1,0 alatti érték azt jelenti, hogy a gerenda nem biztonságos: a terhelés nagyobb feszültséget hoz létre, mint amennyit az anyag elvisel. A 1,0 feletti érték azt jelenti, hogy a gerendának van tartaléka. A kalkulátor akkor minősíti a gerendát biztonságosnak, amikor a biztonsági tényező eléri a 1,0 értéket.

Anyagonkénti megengedett feszültség

A kalkulátor minden anyaghoz rögzített megengedett hajlítófeszültséget használ. Ez nem azonos azzal a ponttal, ahol az anyag törni kezd; tervezési érték, amely már tartalmaz egy tartalékot, hasonlóan az olyan szerkezeti szabványokban használt értékekhez, mint az AISC acélszerkezeti kézikönyve.

Ezek egyszerűsített, általános célú értékek. A tényleges megengedett feszültség függ az acélminőségtől, a fafajtától és a fa minőségi osztályától, valamint az alumíniumötvözettől és annak állapotától. Valós építési projekt esetén a terv véglegesítése előtt ellenőrizni kell, hogy az adott anyagminőség megfelel-e a vonatkozó építési szabályzatnak.

A gerendaterhelés biztonságának számítása: kidolgozott példa

Egy háztulajdonos azt szeretné ellenőrizni, hogy egy meglévő födémgerenda elbír-e egy fürdőkádat.

Adatok:

• Alak: téglalap, szélesség 0,05 m, magasság 0,2 m (nagyjából 2 × 8 méretű deszka)
• Anyag: fa
• Az alátámasztások közötti fesztáv: 3,5 m
• Középen ható terhelés: 2000 N (nagyjából a kád, a víz és egy személy súlya)

1. lépés: Másodrendű nyomaték. $I = \frac{0.05 \times 0.2^3}{12} = 3.33 \times 10^{-5}\ \text{m}^4$

2. lépés: Keresztmetszeti tényező. $S = \frac{3.33 \times 10^{-5}}{0.2 / 2} = 3.33 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$

3. lépés: Hajlítónyomaték. $M = \frac{2000 \times 3.5}{4} = 1750\ \text{N·m}$

4. lépés: Hajlítófeszültség. $\sigma = \frac{1750}{3.33 \times 10^{-4}} \approx 5.25\ \text{MPa}$

5. lépés: Biztonsági tényező. A fa megengedett feszültsége 10 MPa, ezért: $\text{Biztonsági tényező} = \frac{10}{5.25} \approx 1.90$

A 1,90 biztonsági tényező nagyobb, mint 1,0, így a födémgerenda biztonságos ehhez a terheléshez, és megfelelő tartalékkal rendelkezik.

Két további példa

Acél I-szelvény. Magasság 0,2 m, övlemez-szélesség 0,1 m, övlemez-vastagság 0,01 m, gerincvastagság 0,006 m, fesztáv 5 m, középen ható terhelés 50 000 N. A másodrendű nyomaték körülbelül 2,10 × 10⁻⁵ m⁴, ami körülbelül 298 MPa hajlítófeszültséget eredményez az acél 165 MPa megengedett feszültségével szemben. A biztonsági tényező körülbelül 0,55, ezért nem biztonságos: a gerenda túl kicsi ehhez a fesztávhoz és terheléshez. Nagyobb magasságú szelvényre, rövidebb fesztávra vagy kisebb terhelésre lenne szükség.

Alumíniumrúd. Átmérő 0,08 m, fesztáv 4 m, középen ható terhelés 800 N. A keresztmetszeti tényező körülbelül 5,03 × 10⁻⁵ m³, ami körülbelül 15,9 MPa hajlítófeszültséget eredményez az alumínium 100 MPa megengedett feszültségével szemben. A biztonsági tényező körülbelül 6,28, így a rúd megfelelő tartalékkal biztonságos.

Mire nem terjed ki a kalkulátor?

• Konzolok. Az egyik végén befogott, szabad végén terhelt gerendában más és nagyobb hajlítónyomaték ébred ($M = P \times L$, nem pedig $P \times L / 4$), mint az a két végén alátámasztott esetben, amelyet ez a kalkulátor modellez.
• Megoszló terhek. A fesztáv mentén egyenletesen eloszló terhek, például a födém súlya, nem azonosak a középen ható egyetlen koncentrált teherrel.
• Önsúly. A kalkulátor csak az alkalmazott terhelést veszi figyelembe. Magának a gerendának a súlyát nem adja hozzá.
• Lehajlás. Egy gerenda megfelelhet a feszültség-ellenőrzésen, és mégis a padló vagy a mennyezet számára elfogadhatónál jobban meghajolhat. A lehajlás ellenőrzéséhez külön számítás szükséges.
• Dinamikus és ismétlődő terhek. A széllökések, a rezgések és az ütőterhek az egyszerű statikus ellenőrzésen túlmutató erőhatásokkal járnak.

Valós szerkezet esetén, különösen akkor, ha egy meghibásodás sérülést okozhat, a tervet engedéllyel rendelkező tartószerkezeti mérnökkel kell felülvizsgáltatni.

Gyakran ismételt kérdések

Mi az a gerendaterhelés-biztonsági kalkulátor? Olyan eszköz, amely összehasonlítja a terhelés által a gerendában létrehozott feszültséget a gerenda anyagának megengedett feszültségével, majd biztonsági tényezőt és biztonságos vagy nem biztonságos eredményt ad.

Mekkora biztonsági tényező tekinthető elegendőnek? Nincs egyetlen általános válasz; ez a vonatkozó építési szabályzattól és a terhelés ismertségének pontosságától függ. A 1,0 érték a puszta minimum, és nem hagy tartalékot. Sok mindennapi terv magasabb tényezőket használ, gyakran 1,5 és 3 között, de az adott projektre vonatkozó szabályzat határozza meg a tényleges követelményt.

Ellenőrizheti ez a kalkulátor a konzolos gerendát? Nem. Csak a két végén alátámasztott, közepén egyetlen teherrel terhelt gerendát modellezi. Az egyik végén befogott, a másik végén terhelt konzol esetében ugyanakkora terhelés és hossz mellett más, általában nagyobb hajlítónyomaték ébred.

Miért kisebb az acél megengedett feszültsége a folyáshatáránál? A folyáshatár az a feszültség, amelynél az acél maradó alakváltozása megkezdődik. A szerkezeti szabályzatok a megengedett tervezési feszültséget a folyáshatár alatt állapítják meg, általában annak körülbelül kétharmadánál, hogy a gerenda üzemi terhelés mellett ne legyen közvetlenül a maradó alakváltozás kezdeti pontján.

A biztonságos eredmény azt jelenti, hogy a gerenda nem fog lehajolni? Nem. Ez a kalkulátor csak a hajlítófeszültséget ellenőrzi. Egy gerenda feszültségi szempontból biztonságos lehet, és mégis a használat szempontjából kényelmetlen vagy megengedettnél nagyobb mértékben lehajolhat. A lehajlást külön lehajlásszámítással kell ellenőrizni.

Miért számít annyira a gerenda magassága? A magasság a másodrendű nyomaték képletében $h^3$ kitevővel szerepel, a kalkulátor teherbírását meghatározó keresztmetszeti tényező pedig téglalap esetén $S = bh^2/6$, ezért a magasság itt $h^2$ kitevővel szerepel. Egy téglalap keresztmetszetű gerenda magasságának megkétszerezése négyszeresére növeli a keresztmetszeti tényezőt, így a kalkulátor által megadott megengedett terhelést is négyszeresére növeli; a szélesség megkétszerezése ezzel szemben csak kétszeresére növeli az S értékét. Ezért a magasabb gerendák a szélesebbeknél sokkal hatékonyabban állnak ellen a hajlításnak. A másodrendű nyomaték nyolcszoros növekedése a merevség és a lehajlás szempontjából fontos, ezeket azonban ez a kalkulátor nem számítja ki.

Hivatkozások

1. Gere, J. M. és Goodno, B. J. (2012). Mechanics of Materials (8. kiadás). Cengage Learning.
2. American Institute of Steel Construction. (2017). Steel Construction Manual (15. kiadás). AISC.
3. American Wood Council. (2018). National Design Specification for Wood Construction. AWC.