Calcolatore delle Sezioni Coniche - Cerchio, Ellisse, Parabola

Che cos'è un calcolatore di sezioni coniche?

Un calcolatore di sezioni coniche trova l'eccentricità e l'equazione canonica di una circonferenza, un'ellisse, una parabola o un'iperbole a partire da poche misure. Queste quattro curve compaiono quando un piano taglia un cono con angoli diversi.

Le quattro sezioni coniche

Tagliando un cono in modo perpendicolare al suo asse si ottiene una circonferenza. Inclinando il piano si ottiene un'ellisse. Tagliando parallelamente al lato del cono si ottiene una parabola. Tagliando entrambe le falde di un cono doppio si ottiene un'iperbole.

Ogni curva ha un'eccentricità, un numero che indica quanto si discosta da una circonferenza perfetta. La sola eccentricità identifica il tipo di conica:

• Circonferenza: $e = 0$
• Ellisse: $0 < e < 1$
• Parabola: $e = 1$
• Iperbole: $e > 1$

Come usare questo calcolatore

1. Scegli il tipo di sezione conica: circonferenza, ellisse, parabola o iperbole.
2. Inserisci le misure richieste.
   • Circonferenza: raggio ($r$)
   • Ellisse: semiasse maggiore ($a$) e semiasse minore ($b$)
   • Parabola: distanza focale ($f$)
   • Iperbole: semiasse trasverso ($a$) e semiasse coniugato ($b$)
3. L'eccentricità e l'equazione canonica compaiono automaticamente non appena si inseriscono valori positivi e validi per il tipo di conica selezionato; non c'è alcun pulsante Calcola da premere.

Tutti i valori inseriti devono essere numeri positivi. Per un'ellisse, il semiasse maggiore deve essere lungo almeno quanto il semiasse minore, perché il semiasse maggiore è per definizione il più lungo. Per l'iperbole non vale questa regola: il semiasse trasverso e il semiasse coniugato possono avere qualsiasi lunghezza positiva, anche uguale.

Formula della circonferenza

Per una circonferenza di raggio $r$ con centro nell'origine:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Eccentricità: $e = 0$.

La circonferenza è un caso particolare di ellisse in cui i due semiassi hanno la stessa lunghezza e i due fuochi coincidono con il centro.

Formula dell'ellisse

Per un'ellisse con centro nell'origine, semiasse maggiore $a$ e semiasse minore $b$, dove $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Ciò deriva da $e = c/a$, dove $c$ è la distanza dal centro a un fuoco e $c^2 = a^2 - b^2$ per un'ellisse.

Esempio: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Equazione: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Quando $a = b$, l'ellisse diventa una circonferenza e $e = 0$.

Formula della parabola

Per una parabola che si apre verso destra, con distanza focale $f$ (la distanza dal vertice al fuoco):

$$y^2 = 4fx$$

Eccentricità: $e = 1$, sempre.

Esempio: $f = 2$. Equazione: $y^2 = 8x$.

Formula dell'iperbole

Per un'iperbole con centro nell'origine, semiasse trasverso $a$ e semiasse coniugato $b$, dove $a$ e $b$ sono numeri positivi qualsiasi:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Per un'iperbole vale ancora $e = c/a$, ma $c^2 = a^2 + b^2$, quindi $e$ è sempre maggiore di 1.

A differenza dell'ellisse, l'iperbole non richiede che $a$ sia maggiore di $b$. I due semiassi sono lunghezze indipendenti, quindi $b$ può essere minore, uguale o maggiore di $a$. Quando $a = b$, la curva si chiama iperbole equilatera, con eccentricità $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Esempio: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Equazione: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Usi delle sezioni coniche nel mondo reale

I pianeti e le comete seguono orbite a forma di sezione conica. La prima legge di Keplero afferma che l'orbita di un pianeta è un'ellisse con il Sole in uno dei fuochi. Alcune comete seguono traiettorie paraboliche o iperboliche e non ritornano mai.

Le parabole concentrano in un unico punto i raggi paralleli, perciò gli ingegneri usano forme paraboliche nelle antenne paraboliche, negli specchi dei telescopi e nei fari delle automobili. Le curve iperboliche compaiono nelle pareti delle torri di raffreddamento, dove la forma conferisce resistenza usando meno materiale. Le ellissi si trovano negli archi, nei soffitti a camera dei sussurri e nella progettazione degli ingranaggi.

Breve storia delle sezioni coniche

Il matematico greco Menecmo (circa dal 380 al 320 a.C.) studiò le sezioni coniche mentre cercava di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Apollonio di Perga (circa dal 262 al 190 a.C.) scrisse un trattato dettagliato intitolato Coniche. Esso introdusse i nomi ellisse, parabola e iperbole e ne descrisse le proprietà. Secoli dopo, Giovanni Keplero usò l'ellisse per descrivere il moto dei pianeti e Isaac Newton usò le sezioni coniche per spiegare la gravità.

Domande frequenti

Quali sono i quattro tipi di sezioni coniche?

Circonferenza, ellisse, parabola e iperbole. Ciascuna si forma quando un piano taglia un cono con un angolo diverso e ciascuna ha un intervallo di eccentricità diverso.

Come si calcola l'eccentricità?

L'eccentricità è fissa per una circonferenza ($e = 0$) e per una parabola ($e = 1$). Per un'ellisse, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, usando il semiasse maggiore $a$ e il semiasse minore $b$. Per un'iperbole, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, usando il semiasse trasverso $a$ e il semiasse coniugato $b$.

L'asse trasverso di un'iperbole deve essere più lungo dell'asse coniugato?

No. A differenza dei semiassi maggiore e minore di un'ellisse, il semiasse trasverso ($a$) e il semiasse coniugato ($b$) di un'iperbole sono misure indipendenti. Entrambi devono essere positivi, ma uno qualsiasi dei due può essere il più grande.

Un'ellisse può diventare una circonferenza?

Sì. Quando il semiasse maggiore è uguale al semiasse minore, l'ellisse è una circonferenza e la sua eccentricità è 0.

Perché le antenne paraboliche hanno una forma parabolica?

Una parabola riflette i raggi che viaggiano parallelamente al suo asse in un unico punto, il fuoco. Le antenne paraboliche e gli specchi dei telescopi sfruttano questa proprietà per concentrare segnali o luce in un solo punto.

Che cos'è un'iperbole equilatera?

Un'iperbole equilatera è un'iperbole in cui il semiasse trasverso è uguale al semiasse coniugato ($a = b$). I suoi asintoti sono perpendicolari e la sua eccentricità è $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Riferimenti

1. OpenStax. Calculus Volume 2, 7.5 Conic Sections. Sezioni coniche — intervalli di eccentricità per ciascuna conica, $e = c/a$, $c^2 = a^2 - b^2$ (ellisse) e $c^2 = a^2 + b^2$ (iperbole), e la proprietà riflettente di un'antenna parabolica.
2. NASA Science. Orbits and Kepler's Laws. Orbite e leggi di Keplero — i pianeti si muovono su orbite ellittiche con il Sole in uno dei fuochi.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Menaechmus. Biografia di Menecmo — date e sezioni coniche studiate per risolvere il problema della duplicazione del cubo.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Apollonius of Perga. Biografia di Apollonio — date e Conics, che introduce i termini parabola, ellisse e iperbole.