Calcolatore delle Sezioni Coniche - Cerchio, Ellisse, Parabola

Che cos'è un calcolatore delle sezioni coniche?

Un calcolatore delle sezioni coniche determina l'eccentricità e l'equazione standard di una circonferenza, un'ellisse, una parabola o un'iperbole a partire da alcune misure. Queste quattro curve si ottengono quando un piano interseca un cono con angoli diversi.

Le quattro sezioni coniche

Un piano che taglia un cono trasversalmente produce una circonferenza. Inclinando il piano si ottiene un'ellisse. Un taglio parallelo al lato del cono produce una parabola. Un piano che attraversa entrambe le metà di un doppio cono produce un'iperbole.

Ogni curva ha un'eccentricità, un numero che indica quanto si discosta da una circonferenza perfetta.

• Circonferenza: $e = 0$
• Ellisse: $0 < e < 1$
• Parabola: $e = 1$
• Iperbole: $e > 1$

Come usare questo calcolatore

1. Scegliere il tipo di sezione conica: circonferenza, ellisse, parabola o iperbole.
2. Inserire le misure richieste.
   • Circonferenza: raggio ($r$)
   • Ellisse: semiasse maggiore ($a$) e semiasse minore ($b$)
   • Parabola: lunghezza focale ($f$)
   • Iperbole: semiasse trasverso ($a$) e semiasse coniugato ($b$)
3. L'eccentricità e l'equazione standard vengono visualizzate automaticamente non appena vengono inseriti valori validi e positivi per il tipo di conica selezionato; non è necessario fare clic su un pulsante Calcola.
4. Sotto i risultati viene tracciato un grafico della curva.

Il calcolatore mostra l'equazione con i numeri inseriti già sostituiti. Per esempio, un'ellisse con $a = 5$ e $b = 3$ viene mostrata come $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Questa è la stessa equazione di $x^2/25 + y^2/9 = 1$. L'eccentricità viene mostrata con quattro cifre decimali.

Tutti gli input devono essere numeri positivi. Per un'ellisse, il semiasse maggiore deve essere almeno lungo quanto il semiasse minore, perché il semiasse maggiore è definito come quello più lungo. Un'iperbole non è soggetta a questa regola: il semiasse trasverso e il semiasse coniugato possono avere qualsiasi lunghezza positiva, anche la stessa lunghezza.

Formula della circonferenza

Per una circonferenza di raggio $r$ con centro nell'origine:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Eccentricità: $e = 0$.

Una circonferenza è un caso particolare di ellisse in cui i due assi hanno la stessa lunghezza ed entrambi i fuochi si trovano al centro.

Formula dell'ellisse

Per un'ellisse con centro nell'origine, semiasse maggiore $a$ e semiasse minore $b$, dove $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Esempio: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$$

Equazione: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Quando $a = b$, l'ellisse diventa una circonferenza e $e = 0$.

Formula della parabola

Per una parabola con apertura verso destra e lunghezza focale $f$ (la distanza dal vertice al fuoco):

$$y^2 = 4fx$$

Eccentricità: $e = 1$, sempre.

Esempio: $f = 2$. Equazione: $y^2 = 8x$.

Formula dell'iperbole

Per un'iperbole con centro nell'origine, semiasse trasverso $a$ e semiasse coniugato $b$, dove $a$ e $b$ sono numeri positivi qualsiasi:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Il semiasse trasverso $a$ è metà della distanza tra i due vertici, cioè i punti in cui la curva cambia direzione. Il semiasse coniugato $b$ è metà della lunghezza dell'asse coniugato, il segmento tracciato perpendicolarmente a esso passando per il centro. Determina la rapidità con cui i rami si aprono.

A differenza di un'ellisse, un'iperbole non richiede che $a$ sia maggiore di $b$. Le due lunghezze sono indipendenti, quindi $b$ può essere minore, uguale o maggiore di $a$. Quando $a = b$, la curva è chiamata iperbole equilatera, con eccentricità $\sqrt{2} \approx 1,4142$.

Esempio: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0,36} = \sqrt{1,36} \approx 1,1662$$

Equazione: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Applicazioni delle sezioni coniche nella realtà

I pianeti e le comete seguono orbite dalla forma di sezioni coniche. La prima legge di Keplero afferma che l'orbita di un pianeta è un'ellisse con il Sole in uno dei fuochi. Alcune comete seguono traiettorie paraboliche o iperboliche e non ritornano mai.

Le parabole concentrano i raggi paralleli in un unico punto. Per questo gli ingegneri usano forme paraboliche nelle antenne satellitari, negli specchi dei telescopi e nei fari delle automobili. Le curve iperboliche compaiono nelle pareti delle torri di raffreddamento, dove la forma garantisce resistenza usando meno materiale. Le ellissi sono presenti negli archi, nei soffitti delle gallerie dei sussurri e nella progettazione degli ingranaggi.

Breve storia delle sezioni coniche

Il matematico greco Menecmo studiò le sezioni coniche intorno al 350 a.C. nel tentativo di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Apollonio di Perga scrisse intorno al 200 a.C. un trattato dettagliato intitolato Coniche. Diede i nomi all'ellisse, alla parabola e all'iperbole e ne descrisse le proprietà. Secoli dopo, Johannes Kepler utilizzò l'ellisse per descrivere il moto dei pianeti e Isaac Newton usò le sezioni coniche per spiegare la gravità.

Domande frequenti

Quali sono i quattro tipi di sezioni coniche?

Circonferenza, ellisse, parabola e iperbole. Ognuna si forma quando un piano taglia un cono con un angolo diverso e ciascuna ha un diverso intervallo di eccentricità.

Come si calcola l'eccentricità?

L'eccentricità è fissa per una circonferenza ($e = 0$) e una parabola ($e = 1$). Per un'ellisse, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, usando il semiasse maggiore $a$ e il semiasse minore $b$. Per un'iperbole, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, usando il semiasse trasverso $a$ e il semiasse coniugato $b$.

Il semiasse trasverso di un'iperbole deve essere più lungo del semiasse coniugato?

No. A differenza dei semiassi maggiore e minore di un'ellisse, il semiasse trasverso ($a$) e il semiasse coniugato ($b$) di un'iperbole sono misure indipendenti. Entrambi devono essere positivi, ma uno dei due può essere il maggiore.

Un'ellisse può diventare una circonferenza?

Sì. Quando il semiasse maggiore è uguale al semiasse minore, l'ellisse è una circonferenza e la sua eccentricità è 0.

Perché le antenne satellitari hanno una forma parabolica?

Una parabola riflette i raggi che viaggiano parallelamente al proprio asse verso un unico punto focale. Le antenne satellitari e gli specchi dei telescopi sfruttano questa proprietà per concentrare i segnali o la luce in un punto.

Che cos'è un'iperbole equilatera?

Un'iperbole equilatera è un'iperbole in cui il semiasse trasverso è uguale al semiasse coniugato ($a = b$). I suoi asintoti sono perpendicolari e la sua eccentricità è $\sqrt{2} \approx 1,4142$.

Riferimenti

1. Sezione conica - Wikipedia
2. Eccentricità delle sezioni coniche - Khan Academy
3. Coniche - OpenStax