ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ ಗಣಕ

ಪರಿಚಯ

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು, ಡಬಲ್ ಎಕ್ಸ್ಪೋನೇಶಿಯಲ್ ವಿತರಣೆಯೆಂದು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಿಯರ್-ಸಿಮಾನ್ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಮೇಲೆ ಹೆಸರಿಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರಂತರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಅದರ ಅರ್ಥದ ಸುತ್ತಲೂ ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದು (ಸ್ಥಳ ಪರಿಮಾಣ) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಹೋಲಿಸುತ್ತಾ ಹೆಚ್ಚು ತೂಕದ ತೂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಗಣಕವು ನೀಡಲಾದ ಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದಟ್ಟಣಾ ಕಾರ್ಯ (PDF) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಅದರ ರೂಪವನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಗಣಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು

1. ಸ್ಥಳ ಪರಿಮಾಣ (μ) ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ, ಇದು ವಿತರಣೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
2. ಪರಿಮಾಣ ಪರಿಮಾಣ (b) ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ, ಇದು ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ (b > 0).
3. ಗಣಕವು x = 0 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದಟ್ಟಣಾ ಕಾರ್ಯ (PDF) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಪರಿಮಾಣ ಪರಿಮಾಣವು ಕಠಿಣವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು (b > 0).

ಸೂತ್ರ

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದಟ್ಟಣಾ ಕಾರ್ಯ (PDF) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

ಇಲ್ಲಿ:

• x ಎಂಬ ಚರ
• μ (ಮ್ಯೂ) ಸ್ಥಳ ಪರಿಮಾಣ
• b ಪರಿಮಾಣ ಪರಿಮಾಣ (b > 0)

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಗಣಕವು ಬಳಕೆದಾರನ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಆಧಾರಿತವಾಗಿ x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

1. ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ಪರಿಮಾಣ ಪರಿಮಾಣ b ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿ.
2. |x - μ| ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಕೇವಲ |0 - μ| = |μ| ಆಗಿದೆ.
3. ಎಕ್ಸ್ಪೋನೇಶಿಯಲ್ ಪದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: $\exp(-|μ| / b)$
4. ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

ಗೋಚಿ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು:

• b ≤ 0 ಇದ್ದರೆ, ದೋಷ ಸಂದೇಶವನ್ನು ತೋರಿಸಿ.
• ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ |μ| ಅಥವಾ ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕ b ಇದ್ದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತುಂಬ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರಬಹುದು.
• μ = 0 ಇದ್ದಾಗ, PDF x = 0 ನಲ್ಲಿ 1/(2b) ಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಉಪಯೋಗದ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1. ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್: ಧ್ವನಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಮಾದರೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಹಣಕಾಸು: ಹಣಕಾಸು ವಾಪಸು ಮತ್ತು ಅಪಾಯ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ: ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗೌಪ್ಯತೆಯ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬೇಸಿಯನ್ ನಿರ್ಣಯ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ: ಭಾಷಾ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಪಠ್ಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಭೂವಿಜ್ಞಾನ: ಭೂಕಂಪದ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮಾದರೀಕರಿಸಲು (ಗುಟೆನ್‌ಬರ್ಗ್-ರಿಚ್ಟರ್ ಕಾನೂನು) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರ್ಯಾಯಗಳು

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯು ಅನೇಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುವ ಇತರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಗಳು ಇವೆ:

1. ಸಾಮಾನ್ಯ (ಗೌಸಿಯನ್) ವಿತರಣಾ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಳೆಯುವ ದೋಷಗಳನ್ನು ಮಾದರೀಕರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಕೌಚಿ ವಿತರಣಾ: ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಹೋಲಿಸುತ್ತಾ ಹೆಚ್ಚು ತೂಕದ ತೂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಔಟ್‌ಲಿಯರ್-ಪ್ರವಣ ಡೇಟಾವನ್ನು ಮಾದರೀಕರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

3. ಎಕ್ಸ್ಪೋನೇಶಿಯಲ್ ವಿತರಣಾ: ಪೋಯಿಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾಲವನ್ನು ಮಾದರೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಸ್ಟುಡಂಟ್‌ಗಳ t-ವಿತರಣಾ: ಹಿಪೋಥಿಸಿಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ವಾಪಸುಗಳನ್ನು ಮಾದರೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿತರಣಾ: ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಹೋಲಿಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ತೂಕದ ತೂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಿಯರ್-ಸಿಮಾನ್ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ 1774 ರಲ್ಲಿ "ಘಟನೆಯ ಕಾರಣಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ" ಎಂಬ ತನ್ನ ಮೆಮೋಯರ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆದರೆ, ಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಈ ವಿತರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧಿಯು ಪಡೆದಿತು.

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಮೈಲಿಗಲ್ಲುಗಳು:

1. 1774: ಪಿಯರ್-ಸಿಮಾನ್ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ತನ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾನೆ.
2. 1930ರ ದಶಕ: ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕತೆ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
3. 1960ರ ದಶಕ: ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಲವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.
4. 1990ರ ದಶಕ-ಪ್ರಸ್ತುತ: ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ, ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಮಾದರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿದ ಬಳಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಇಲ್ಲಿ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ PDF ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಕೆಲವು ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇವೆ:

1' ಎಕ್ಸೆಲ್ VBA ಕಾರ್ಯ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ PDF ಗೆ
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' ಬಳಸುವುದು:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("ಪರಿಮಾಣ ಪರಿಮಾಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## ಉದಾಹರಣೆ ಬಳಸುವುದು:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"x={x} ನಲ್ಲಿ PDF ಮೌಲ್ಯ: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("ಪರಿಮಾಣ ಪರಿಮಾಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// ಉದಾಹರಣೆ ಬಳಸುವುದು:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`x=${x} ನಲ್ಲಿ PDF ಮೌಲ್ಯ: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("ಪರಿಮಾಣ ಪರಿಮಾಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("x=%.1f ನಲ್ಲಿ PDF ಮೌಲ್ಯ: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನೀಡಲಾದ ಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ PDF ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ನೀವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ವಿಶೇಷ ಅಗತ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ:

   • ಸ್ಥಳ (μ) = 0
   • ಪರಿಮಾಣ (b) = 1
   • x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF: 0.500000

2. ಸ್ಥಳಾಂತರಿತ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ:

   • ಸ್ಥಳ (μ) = 2
   • ಪರಿಮಾಣ (b) = 1
   • x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF: 0.183940

3. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ:

   • ಸ್ಥಳ (μ) = 0
   • ಪರಿಮಾಣ (b) = 3
   • x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF: 0.166667

4. ಸ್ಥಳಾಂತರಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ:

   • ಸ್ಥಳ (μ) = -1
   • ಪರಿಮಾಣ (b) = 0.5
   • x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF: 0.367879

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.