Калкулатор на Лапласовото разпределение

Въведение

Лапласовото разпределение, известно също като двойно експоненциално разпределение, е непрекъснато вероятностно разпределение, наречено на име на Пиер-Симон Лаплас. То е симетрично около своята средна стойност (параметър на местоположението) и има по-тежки опашки в сравнение с нормалното разпределение. Този калкулатор ви позволява да изчислите функцията на плътността на вероятността (PDF) на Лапласовото разпределение за дадени параметри и да визуализирате формата му.

Как да използвате този калкулатор

1. Въведете параметъра на местоположението (μ), който представлява средната стойност на разпределението.
2. Въведете параметъра на мащаба (b), който определя разпространението на разпределението (b > 0).
3. Калкулаторът ще покаже стойността на функцията на плътността на вероятността (PDF) при x = 0 и ще покаже графика на разпределението.

Забележка: Параметърът на мащаба трябва да бъде строго положителен (b > 0).

Формула

Функцията на плътността на вероятността (PDF) на Лапласовото разпределение е дадена от:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Където:

• x е променливата
• μ (му) е параметър на местоположението
• b е параметър на мащаба (b > 0)

Изчисление

Калкулаторът използва тази формула, за да изчисли стойността на PDF при x = 0 въз основа на входа на потребителя. Ето стъпка по стъпка обяснение:

1. Валидиране на входовете: Уверете се, че параметърът на мащаба b е положителен.
2. Изчислете |x - μ|: В този случай, това е просто |0 - μ| = |μ|.
3. Изчислете експоненциалния член: $\exp(-|μ| / b)$
4. Изчислете крайния резултат: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Гранични случаи, които да се вземат предвид:

• Ако b ≤ 0, покажете съобщение за грешка.
• За много големи |μ| или много малки b, резултатът може да бъде изключително близо до нула.
• За μ = 0, PDF ще достигне максималната си стойност от 1/(2b) при x = 0.

Приложения

Лапласовото разпределение има различни приложения в различни области:

1. Обработка на сигнали: Използва се за моделиране и анализ на аудио и изображения.

2. Финанси: Приложено в моделирането на финансови доходи и оценка на риска.

3. Машинно обучение: Използва се в механизма на Лаплас за диференциална конфиденциалност и в някои модели на байеско извеждане.

4. Обработка на естествен език: Приложено в езикови модели и задачи за класификация на текст.

5. Геология: Използва се за моделиране на разпределението на магнитудите на земетресенията (закон на Гутенберг-Рихтер).

Алтернативи

Докато Лапласовото разпределение е полезно в много сценарии, има и други вероятностни разпределения, които могат да бъдат по-подходящи в определени ситуации:

1. Нормално (Гаусово) разпределение: По-често използвано за моделиране на естествени явления и грешки в измерванията.

2. Разпределение на Коши: Има дори по-тежки опашки от Лапласовото разпределение, полезно за моделиране на данни, податливи на аномалии.

3. Експоненциално разпределение: Използва се за моделиране на времето между събития в Пуасонов процес.

4. Разпределение на t на Стюдент: Често използвано в хипотезно тестване и моделиране на финансови доходи.

5. Логистично разпределение: Подобно по форма на нормалното разпределение, но с по-тежки опашки.

История

Лапласовото разпределение е представено от Пиер-Симон Лаплас в неговия мемоар от 1774 г. "За вероятността на причините на събитията." Въпреки това, разпределението придобива по-голяма популярност в началото на 20-ти век с развитието на математическата статистика.

Ключови етапи в историята на Лапласовото разпределение:

1. 1774: Пиер-Симон Лаплас представя разпределението в своя труд по теория на вероятностите.
2. 1930-те: Разпределението е повторно открито и приложено в различни области, включително икономика и инженерство.
3. 1960-те: Лапласовото разпределение придобива значение в устойчивата статистика като алтернатива на нормалното разпределение.
4. 1990-те до настоящето: Увеличена употреба в машинно обучение, обработка на сигнали и финансово моделиране.

Примери

Ето някои примери за код, за да изчислите PDF на Лапласовото разпределение:

1' Excel VBA Функция за PDF на Лапласовото разпределение
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Използване:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Параметърът на мащаба трябва да бъде положителен")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Пример за употреба:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Стойност на PDF при x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Параметърът на мащаба трябва да бъде положителен");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Пример за употреба:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Стойност на PDF при x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Параметърът на мащаба трябва да бъде положителен");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Стойност на PDF при x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Тези примери демонстрират как да се изчисли PDF на Лапласовото разпределение за дадени параметри. Можете да адаптирате тези функции към вашите специфични нужди или да ги интегрирате в по-големи системи за статистически анализ.

Числови примери

1. Стандартно Лапласово разпределение:

   • Местоположение (μ) = 0
   • Мащаб (b) = 1
   • PDF при x = 0: 0.500000

2. Изместено Лапласово разпределение:

   • Местоположение (μ) = 2
   • Мащаб (b) = 1
   • PDF при x = 0: 0.183940

3. Масштабно Лапласово разпределение:

   • Местоположение (μ) = 0
   • Мащаб (b) = 3
   • PDF при x = 0: 0.166667

4. Изместено и Масштабно Лапласово разпределение:

   • Местоположение (μ) = -1
   • Мащаб (b) = 0.5
   • PDF при x = 0: 0.367879

Източници

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Лапласово разпределение." Уикипедия, Фондация Уикимедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Достъп до 2 авг. 2024.