Laplace'i jaotuse kalkulaator

Laplace'i jaotuse kalkulaator

Sissejuhatus

Laplace'i jaotus, tuntud ka kui topelteksponentsiaalne jaotus, on pidev tõenäosusjaotus, mis on nimetatud Pierre-Simon Laplace'i järgi. See on sümmeetriline oma keskmise (asukoha parameetri) ümber ja selle sabad on võrreldes normaaljaotusega raskemad. See kalkulaator võimaldab teil arvutada Laplace'i jaotuse tõenäosusjaotuse funktsiooni (PDF) antud parameetrite jaoks ja visualiseerida selle kuju.

Kuidas seda kalkulaatorit kasutada

1. Sisestage asukoha parameeter (μ), mis esindab jaotuse keskmist.
2. Sisestage skaala parameeter (b), mis määrab jaotuse leviku (b > 0).
3. Kalkulaator kuvab tõenäosusjaotuse funktsiooni (PDF) väärtuse x = 0 juures ja näitab jaotuse graafikut.

Märkus: Skaala parameeter peab olema rangelt positiivne (b > 0).

Valem

Laplace'i jaotuse tõenäosusjaotuse funktsioon (PDF) on antud valemiga:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Kus:

• x on muutuja
• μ (mu) on asukoha parameeter
• b on skaala parameeter (b > 0)

Arvutus

Kalkulaator kasutab selle valemi abil PDF väärtuse arvutamiseks x = 0 juures, tuginedes kasutaja sisendile. Siin on samm-sammuline selgitus:

1. Kontrollige sisendeid: Veenduge, et skaala parameeter b on positiivne.
2. Arvutage |x - μ|: Antud juhul on see lihtsalt |0 - μ| = |μ|.
3. Arvutage eksponentsiaalne liige: $\exp(-|μ| / b)$
4. Arvutage lõplik tulemus: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Äärmuslikud juhtumid, mida arvesse võtta:

• Kui b ≤ 0, kuvage veateade.
• Väga suurte |μ| või väga väikeste b korral võib tulemus olla äärmiselt lähedane nullile.
• Kui μ = 0, saavutab PDF oma maksimaalse väärtuse 1/(2b) juures x = 0.

Kasutusalad

Laplace'i jaotusel on erinevates valdkondades mitmeid rakendusi:

1. Signaalitöötlus: Kasutatakse helide ja piltide signaalide modelleerimiseks ja analüüsimiseks.

2. Rahandus: Rakendatakse finantstulu ja riskihindamise modelleerimisel.

3. Masinõpe: Kasutatakse Laplace'i mehhanismi diferentsiaalprivaatsuses ja mõnedes Bayesi järeldusmudelites.

4. Loomuliku keele töötlemine: Rakendatakse keelemudelite ja tekstiklassifitseerimise ülesannetes.

5. Geoloogia: Kasutatakse maavärinate magnituudide jaotuse modelleerimiseks (Gutenbergi-Richteri seadus).

Alternatiivid

Kuigi Laplace'i jaotus on paljudes stsenaariumides kasulik, on ka teisi tõenäosusjaotusi, mis võivad teatud olukordades sobivamad olla:

1. Normaalne (Gaussi) jaotus: Tavaline jaotus loodusnähtuste ja mõõtmisvigade modelleerimiseks.

2. Cauchy jaotus: Omab veel raskemaid sabasid kui Laplace'i jaotus, kasulik äärmuslike andmete modelleerimiseks.

3. Eksponentsiaalne jaotus: Kasutatakse sündmuste vahelise aja modelleerimiseks Poissoni protsessis.

4. Student'i t-jaotus: Sageli kasutatakse hüpoteeside testimisel ja finantstulu modelleerimisel.

5. Logistiline jaotus: Sarnane kujult normaalse jaotusega, kuid raskemate sabadega.

Ajalugu

Laplace'i jaotus tutvustati Pierre-Simon Laplace'i poolt tema 1774. aasta mälestustes "Sündmuste põhjuste tõenäosus" (On the Probability of Causes of Events). Siiski sai jaotus suuremat tähelepanu 20. sajandi alguses matemaatilise statistika arengu käigus.

Olulised verstapostid Laplace'i jaotuse ajaloos:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace tutvustab jaotust oma töös tõenäosusteooriast.
2. 1930. aastad: Jaotus avastatakse uuesti ja rakendatakse erinevates valdkondades, sealhulgas majanduses ja inseneriteaduses.
3. 1960. aastad: Laplace'i jaotus omandab tähtsuse robustes statistikas alternatiivina normaalsele jaotusele.
4. 1990. aastad kuni tänapäev: Suurenenud kasutamine masinõppes, signaalitöötlemises ja finantsemodelleerimises.

Näited

Siin on mõned koodinäited Laplace'i jaotuse PDF arvutamiseks:

' Exceli VBA funktsioon Laplace'i jaotuse PDF jaoks
Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
    If b <= 0 Then
        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
    Else
        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
    End If
End Function
' Kasutamine:
' =LaplacePDF(0, 1, 2)

import math

def laplace_pdf(x, mu, b):
    if b <= 0:
        raise ValueError("Skaala parameeter peab olema positiivne")
    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)

## Näite kasutamine:
location = 1.0
scale = 2.0
x = 0.0
pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
print(f"PDF väärtus x={x}: {pdf_value:.6f}")

function laplacePDF(x, mu, b) {
  if (b <= 0) {
    throw new Error("Skaala parameeter peab olema positiivne");
  }
  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
}

// Näite kasutamine:
const location = 1;
const scale = 2;
const x = 0;
const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
console.log(`PDF väärtus x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);

public class LaplacePDF {
    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
        if (b <= 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Skaala parameeter peab olema positiivne");
        }
        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double location = 1.0;
        double scale = 2.0;
        double x = 0.0;
        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
        System.out.printf("PDF väärtus x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
    }
}

Need näited demonstreerivad, kuidas arvutada Laplace'i jaotuse PDF antud parameetrite jaoks. Saate neid funktsioone kohandada oma konkreetsete vajaduste jaoks või integreerida need suurematesse statistilise analüüsi süsteemidesse.

Numbrilised näited

1. Standardne Laplace'i jaotus:

   • Asukoht (μ) = 0
   • Skaala (b) = 1
   • PDF x = 0 juures: 0.500000

2. Nihutatud Laplace'i jaotus:

   • Asukoht (μ) = 2
   • Skaala (b) = 1
   • PDF x = 0 juures: 0.183940

3. Skaleeritud Laplace'i jaotus:

   • Asukoht (μ) = 0
   • Skaala (b) = 3
   • PDF x = 0 juures: 0.166667

4. Nihutatud ja skaleeritud Laplace'i jaotus:

   • Asukoht (μ) = -1
   • Skaala (b) = 0.5
   • PDF x = 0 juures: 0.367879

Viidatud allikad

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace'i jaotus." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Juurdepääs 2. aug. 2024.