Laplace-jakauman laskin

Laplace-jakauman laskin

Johdanto

Laplace-jakauma, joka tunnetaan myös kaksoiseksponenttijakaumana, on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on nimetty Pierre-Simon Laplacen mukaan. Se on symmetrinen keskiarvonsa (sijaintiparametrin) ympärillä ja sillä on painavammat hännät verrattuna normaalijakaumaan. Tämä laskin mahdollistaa Laplace-jakauman todennäköisyys tiheysfunktion (PDF) laskemisen annetuilla parametreilla ja sen muodon visualisoimisen.

Kuinka käyttää tätä laskinta

1. Syötä sijaintiparametri (μ), joka edustaa jakauman keskiarvoa.
2. Syötä skaalausparametri (b), joka määrittää jakauman leviämisen (b > 0).
3. Laskin näyttää todennäköisyys tiheysfunktion (PDF) arvon kohdassa x = 0 ja näyttää jakauman grafiikan.

Huom: Skaalausparametrin on oltava tiukasti positiivinen (b > 0).

Kaava

Laplace-jakauman todennäköisyys tiheysfunktio (PDF) on annettu seuraavasti:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Missä:

• x on muuttuja
• μ (mu) on sijaintiparametri
• b on skaalausparametri (b > 0)

Laskenta

Laskin käyttää tätä kaavaa laskettaessa PDF-arvoa kohdassa x = 0 käyttäjän syötteen perusteella. Tässä on vaiheittainen selitys:

1. Vahvista syötteet: Varmista, että skaalausparametri b on positiivinen.
2. Laske |x - μ|: Tässä tapauksessa se on yksinkertaisesti |0 - μ| = |μ|.
3. Laske eksponentiaalinen termi: $\exp(-|μ| / b)$
4. Laske lopullinen tulos: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Rajatapaukset, joita on syytä harkita:

• Jos b ≤ 0, näytä virheilmoitus.
• Erittäin suurilla |μ|:llä tai erittäin pienellä b:llä tulos voi olla äärimmäisen lähellä nollaa.
• Kun μ = 0, PDF saavuttaa maksimiarvonsa 1/(2b) kohdassa x = 0.

Käyttötapaukset

Laplace-jakaumalla on useita sovelluksia eri aloilla:

1. Signaalinkäsittely: Käytetään ääni- ja kuvansignaalien mallintamiseen ja analysoimiseen.

2. Rahoitus: Sovelletaan taloudellisten tuottojen ja riskin arvioinnin mallintamiseen.

3. Koneoppiminen: Käytetään Laplace-mekanismissa differentiaalisen yksityisyyden varmistamiseksi ja joissakin Bayesilaisissa päättelymalleissa.

4. Luonnollinen kielen käsittely: Sovelletaan kielimalleissa ja tekstiluokittelutehtävissä.

5. Geologia: Käytetään maanjäristysten magnitudijakauman mallintamiseen (Gutenberg-Richter-laki).

Vaihtoehdot

Vaikka Laplace-jakauma on hyödyllinen monissa tilanteissa, on olemassa muita todennäköisyysjakaumia, jotka saattavat olla sopivampia tietyissä olosuhteissa:

1. Normaalijakauma (Gaussin jakauma): Käytetään yleisemmin luonnollisten ilmiöiden ja mittausvirheiden mallintamiseen.

2. Cauchy-jakauma: Omistaa vielä painavammat hännät kuin Laplace-jakauma, hyödyllinen poikkeamien alttiiden tietojen mallintamisessa.

3. Eksponentiaalijakauma: Käytetään tapahtumien välisten aikojen mallintamiseen Poisson-prosessissa.

4. Studentin t-jakauma: Käytetään usein hypoteesitestauksessa ja taloudellisten tuottojen mallintamisessa.

5. Logistinen jakauma: Samankaltainen muodoltaan normaalijakauman kanssa, mutta painavammilla hännillä.

Historia

Laplace-jakauma esiteltiin Pierre-Simon Laplacen toimesta hänen vuonna 1774 julkaisemassaan muistiossa "On the Probability of Causes of Events." Jakauma sai kuitenkin enemmän huomiota 1900-luvun alussa matemaattisen tilastotieteen kehityksen myötä.

Keskeiset virstanpylväät Laplace-jakauman historiassa:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace esittelee jakauman työstään todennäköisyysteoriassa.
2. 1930-luku: Jakauma löydetään uudelleen ja sitä sovelletaan eri aloilla, mukaan lukien taloustieteessä ja insinööritieteissä.
3. 1960-luku: Laplace-jakauma saa merkitystä robustissa tilastotieteessä vaihtoehtona normaalijakaumalle.
4. 1990-luku - nykypäivä: Lisääntynyt käyttö koneoppimisessa, signaalinkäsittelyssä ja taloudellisessa mallinnuksessa.

Esimerkit

Tässä on joitakin koodiesimerkkejä Laplace-jakauman PDF:n laskemiseksi:

' Excel VBA -toiminto Laplace-jakauman PDF:lle
Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
    If b <= 0 Then
        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
    Else
        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
    End If
End Function
' Käyttö:
' =LaplacePDF(0, 1, 2)

import math

def laplace_pdf(x, mu, b):
    if b <= 0:
        raise ValueError("Skaalausparametrin on oltava positiivinen")
    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)

## Esimerkkikäyttö:
location = 1.0
scale = 2.0
x = 0.0
pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
print(f"PDF-arvo kohdassa x={x}: {pdf_value:.6f}")

function laplacePDF(x, mu, b) {
  if (b <= 0) {
    throw new Error("Skaalausparametrin on oltava positiivinen");
  }
  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
}

// Esimerkkikäyttö:
const location = 1;
const scale = 2;
const x = 0;
const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
console.log(`PDF-arvo kohdassa x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);

public class LaplacePDF {
    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
        if (b <= 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Skaalausparametrin on oltava positiivinen");
        }
        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double location = 1.0;
        double scale = 2.0;
        double x = 0.0;
        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
        System.out.printf("PDF-arvo kohdassa x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
    }
}

Nämä esimerkit osoittavat, kuinka laskea Laplace-jakauman PDF annetuilla parametreilla. Voit mukauttaa näitä toimintoja erityisiin tarpeisiisi tai integroida ne laajempiin tilastollisiin analyysijärjestelmiin.

Numeraaliset esimerkit

1. Standardi Laplace-jakauma:

   • Sijainti (μ) = 0
   • Skaala (b) = 1
   • PDF kohdassa x = 0: 0.500000

2. Siirretty Laplace-jakauma:

   • Sijainti (μ) = 2
   • Skaala (b) = 1
   • PDF kohdassa x = 0: 0.183940

3. Skaalattu Laplace-jakauma:

   • Sijainti (μ) = 0
   • Skaala (b) = 3
   • PDF kohdassa x = 0: 0.166667

4. Siirretty ja skaalattu Laplace-jakauma:

   • Sijainti (μ) = -1
   • Skaala (b) = 0.5
   • PDF kohdassa x = 0: 0.367879

Viitteet

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.