Laplace-eloszlás kalkulátor

Bevezetés

A Laplace-eloszlás, más néven dupla exponenciális eloszlás, egy folytonos valószínűségi eloszlás, amely Pierre-Simon Laplace után kapta a nevét. Szimmetrikus a várható értéke (helyparaméter) körül, és nehezebb farokkal rendelkezik, mint a normál eloszlás. Ez a kalkulátor lehetővé teszi, hogy kiszámítsa a Laplace-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényét (PDF) adott paraméterek mellett, és megjelenítse annak alakját.

Használati útmutató

1. Adja meg a helyparamétert (μ), amely az eloszlás várható értékét jelenti.
2. Adja meg a skálaparamétert (b), amely meghatározza az eloszlás terjedelmét (b > 0).
3. A kalkulátor megjeleníti a valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) értékét x = 0-nál, és megmutatja az eloszlás grafikonját.

Megjegyzés: A skálaparaméternek szigorúan pozitívnak kell lennie (b > 0).

Képlet

A Laplace-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye (PDF) a következőképpen adható meg:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Ahol:

• x a változó
• μ (mu) a helyparaméter
• b a skálaparaméter (b > 0)

Számítás

A kalkulátor ezt a képletet használja a PDF értékének kiszámításához x = 0 esetén a felhasználó bemenete alapján. Íme egy lépésről lépésre történő magyarázat:

1. Bemenetek érvényesítése: Ellenőrizze, hogy a skálaparaméter b pozitív-e.
2. Számítsa ki |x - μ|: Ebben az esetben egyszerűen |0 - μ| = |μ|.
3. Számítsa ki az exponenciális kifejezést: $\exp(-|μ| / b)$
4. Számítsa ki a végső eredményt: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Érdekes esetek, amelyeket figyelembe kell venni:

• Ha b ≤ 0, hibaüzenetet kell megjeleníteni.
• Nagyon nagy |μ| vagy nagyon kicsi b esetén az eredmény rendkívül közel lehet nullához.
• Ha μ = 0, a PDF maximális értéket ér el 1/(2b) értéknél x = 0-nál.

Felhasználási esetek

A Laplace-eloszlásnak számos alkalmazása van különböző területeken:

1. Jel- és képfeldolgozás: Használják audio- és képszignálok modellezésére és elemzésére.

2. Pénzügy: Alkalmazzák pénzügyi hozamok és kockázatértékelés modellezésére.

3. Gépi tanulás: Használják a Laplace mechanizmust a differenciálisan védett adatkezeléshez és néhány Bayes-i következtetési modellben.

4. Természetes nyelvfeldolgozás: Alkalmazzák nyelvi modellekben és szövegklasszifikáló feladatokban.

5. Geológia: Használják a földrengések magnitúdójának eloszlásának modellezésére (Gutenberg-Richter törvény).

Alternatívák

Bár a Laplace-eloszlás sok helyzetben hasznos, vannak más valószínűségi eloszlások, amelyek bizonyos esetekben megfelelőbbek lehetnek:

1. Normál (Gauss) eloszlás: Gyakrabban használják természeti jelenségek és mérési hibák modellezésére.

2. Cauchy-eloszlás: Még nehezebb farokkal rendelkezik, mint a Laplace-eloszlás, hasznos a kiugró értékek modellezésében.

3. Exponenciális eloszlás: Az események közötti idő modellezésére használják Poisson-folyamatban.

4. Student-féle t-eloszlás: Gyakran használják hipotézisvizsgálatokban és pénzügyi hozamok modellezésében.

5. Logisztikus eloszlás: Alakjában hasonló a normál eloszláshoz, de nehezebb farokkal rendelkezik.

Történelem

A Laplace-eloszlást Pierre-Simon Laplace vezette be 1774-es "Az események okainak valószínűsége" című emlékiratában. Azonban az eloszlás a 20. század elején nyert nagyobb figyelmet a matematikai statisztika fejlődésével.

A Laplace-eloszlás történetének kulcsfontosságú mérföldkövei:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace bemutatja az eloszlást a valószínűségelméletről szóló munkájában.
2. 1930-as évek: Az eloszlást újra felfedezik és alkalmazzák különböző területeken, beleértve a közgazdaságtant és a mérnöki tudományokat.
3. 1960-as évek: A Laplace-eloszlás fontos szerepet kap a robusztus statisztikában, mint a normál eloszlás alternatívája.
4. 1990-es évektől napjainkig: Növekvő használat a gépi tanulásban, jel- és képfeldolgozásban, valamint pénzügyi modellezésben.

Példák

Íme néhány kód példa a Laplace-eloszlás PDF kiszámítására:

1' Excel VBA függvény a Laplace-eloszlás PDF-hez
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Használat:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("A skálaparaméternek pozitívnak kell lennie")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Példa használat:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"PDF érték x={x} esetén: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("A skálaparaméternek pozitívnak kell lennie");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Példa használat:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`PDF érték x=${x} esetén: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("A skálaparaméternek pozitívnak kell lennie");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("PDF érték x=%.1f esetén: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Ezek a példák bemutatják, hogyan lehet kiszámítani a Laplace-eloszlás PDF-jét adott paraméterek mellett. Ezeket a függvényeket az Ön specifikus igényeihez igazíthatja, vagy integrálhatja őket nagyobb statisztikai elemző rendszerekbe.

Numerikus példák

1. Standard Laplace-eloszlás:

   • Hely (μ) = 0
   • Skála (b) = 1
   • PDF x = 0-nál: 0.500000

2. Elmozdított Laplace-eloszlás:

   • Hely (μ) = 2
   • Skála (b) = 1
   • PDF x = 0-nál: 0.183940

3. Skálázott Laplace-eloszlás:

   • Hely (μ) = 0
   • Skála (b) = 3
   • PDF x = 0-nál: 0.166667

4. Elmozdított és skálázott Laplace-eloszlás:

   • Hely (μ) = -1
   • Skála (b) = 0.5
   • PDF x = 0-nál: 0.367879

Hivatkozások

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.