Laplaso pasiskirstymo skaičiuoklė

Laplace'io pasiskirstymo skaičiuoklė

Įvadas

Laplace'io pasiskirstymas, dar žinomas kaip dvigubas eksponentinis pasiskirstymas, yra tęstinis tikimybių pasiskirstymas, pavadintas Pierre-Simon Laplace'o vardu. Jis yra simetriškas aplink savo vidurkį (vietos parametras) ir turi sunkesnes uodegas, palyginti su normaliu pasiskirstymu. Ši skaičiuoklė leidžia apskaičiuoti Laplace'io pasiskirstymo tikimybių tankio funkciją (PDF) pagal pateiktus parametrus ir vizualizuoti jos formą.

Kaip naudoti šią skaičiuoklę

1. Įveskite vietos parametrą (μ), kuris atspindi pasiskirstymo vidurkį.
2. Įveskite skalės parametrą (b), kuris nustato pasiskirstymo plitimą (b > 0).
3. Skaičiuoklė parodys tikimybių tankio funkcijos (PDF) vertę x = 0 ir parodys pasiskirstymo grafiką.

Pastaba: skalės parametras turi būti griežtai teigiamas (b > 0).

Formulė

Laplace'io pasiskirstymo tikimybių tankio funkcija (PDF) yra apibrėžta taip:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Kur:

• x yra kintamasis
• μ (mu) yra vietos parametras
• b yra skalės parametras (b > 0)

Skaičiavimas

Skaičiuoklė naudoja šią formulę, kad apskaičiuotų PDF vertę x = 0 pagal vartotojo įvestį. Štai žingsnis po žingsnio paaiškinimas:

1. Patvirtinti įvestis: užtikrinti, kad skalės parametras b būtų teigiamas.
2. Apskaičiuoti |x - μ|: šiuo atveju tai tiesiog |0 - μ| = |μ|.
3. Apskaičiuoti eksponentinį terminą: $\exp(-|μ| / b)$
4. Apskaičiuoti galutinį rezultatą: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Kraštutiniai atvejai, kuriuos reikia apsvarstyti:

• Jei b ≤ 0, parodyti klaidos pranešimą.
• Dėl labai didelio |μ| arba labai mažo b rezultatas gali būti labai arti nulio.
• Jei μ = 0, PDF pasieks maksimalų 1/(2b) vertę x = 0.

Naudojimo atvejai

Laplace'io pasiskirstymas turi įvairių taikymo sričių skirtingose srityse:

1. Signalų apdorojimas: naudojamas modeliuojant ir analizuojant garso ir vaizdo signalus.

2. Finansai: taikomas modeliuojant finansinius grąžos ir rizikos vertinimus.

3. Mašininis mokymasis: naudojamas Laplace'o mechanizme diferencinėje privatumoje ir kai kuriuose Bayeso inferencijos modeliuose.

4. Natūralios kalbos apdorojimas: taikomas kalbos modeliuose ir teksto klasifikavimo užduotyse.

5. Geologija: naudojamas modeliuojant žemės drebėjimų magnitudės pasiskirstymą (Gutenberg-Richterio dėsnis).

Alternatyvos

Nors Laplace'io pasiskirstymas yra naudingas daugelyje scenarijų, yra ir kitų tikimybių pasiskirstymų, kurie tam tikrose situacijose gali būti tinkamesni:

1. Normalus (Gauss) pasiskirstymas: dažniau naudojamas modeliuojant natūralius reiškinius ir matavimo klaidas.

2. Cauchy'io pasiskirstymas: turi dar sunkesnes uodegas nei Laplace'io pasiskirstymas, naudingas modeliuojant duomenis, linkusius į išimtis.

3. Eksponentinis pasiskirstymas: naudojamas modeliuojant laiką tarp įvykių Poissono procese.

4. Student'o t-paskirstymas: dažnai naudojamas hipotezių tikrinime ir finansinių grąžų modeliavime.

5. Logistinis pasiskirstymas: panašus į normalaus pasiskirstymo formą, tačiau su sunkesnėmis uodegomis.

Istorija

Laplace'io pasiskirstymas buvo pristatytas Pierre-Simon Laplace'o 1774 metų memuare "Dėl įvykių priežasčių tikimybės". Tačiau pasiskirstymas tapo labiau žinomas XX amžiaus pradžioje, kai buvo plėtojama matematinė statistika.

Pagrindiniai Laplace'io pasiskirstymo istorijos etapai:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace'as pristato pasiskirstymą savo darbe apie tikimybių teoriją.
2. 1930-aisiais: pasiskirstymas yra iš naujo atrandamas ir taikomas įvairiose srityse, įskaitant ekonomiką ir inžineriją.
3. 1960-aisiais: Laplace'io pasiskirstymas įgauna svarbą robustinėje statistikoje kaip alternatyva normaliam pasiskirstymui.
4. 1990-aisiais - dabar: padidėjęs naudojimas mašininio mokymosi, signalų apdorojimo ir finansinio modeliavimo srityse.

Pavyzdžiai

Štai keletas kodo pavyzdžių, kaip apskaičiuoti Laplace'io pasiskirstymo PDF:

' Excel VBA funkcija Laplace'io pasiskirstymo PDF
Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
    If b <= 0 Then
        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
    Else
        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
    End If
End Function
' Naudojimas:
' =LaplacePDF(0, 1, 2)

import math

def laplace_pdf(x, mu, b):
    if b <= 0:
        raise ValueError("Skalės parametras turi būti teigiamas")
    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)

## Pavyzdžio naudojimas:
location = 1.0
scale = 2.0
x = 0.0
pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
print(f"PDF vertė x={x}: {pdf_value:.6f}")

function laplacePDF(x, mu, b) {
  if (b <= 0) {
    throw new Error("Skalės parametras turi būti teigiamas");
  }
  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
}

// Pavyzdžio naudojimas:
const location = 1;
const scale = 2;
const x = 0;
const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
console.log(`PDF vertė x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);

public class LaplacePDF {
    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
        if (b <= 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Skalės parametras turi būti teigiamas");
        }
        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double location = 1.0;
        double scale = 2.0;
        double x = 0.0;
        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
        System.out.printf("PDF vertė x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
    }
}

Šie pavyzdžiai demonstruoja, kaip apskaičiuoti Laplace'io pasiskirstymo PDF pagal pateiktus parametrus. Galite pritaikyti šias funkcijas savo specifiniams poreikiams arba integruoti jas į didesnes statistinės analizės sistemas.

Skaitiniai pavyzdžiai

1. Standartinis Laplace'io pasiskirstymas:

   • Vietos (μ) = 0
   • Skalė (b) = 1
   • PDF x = 0: 0.500000

2. Perkelto Laplace'io pasiskirstymas:

   • Vietos (μ) = 2
   • Skalė (b) = 1
   • PDF x = 0: 0.183940

3. Išplėsto Laplace'io pasiskirstymas:

   • Vietos (μ) = 0
   • Skalė (b) = 3
   • PDF x = 0: 0.166667

4. Perkelto ir išplėsto Laplace'io pasiskirstymas:

   • Vietos (μ) = -1
   • Skalė (b) = 0.5
   • PDF x = 0: 0.367879

Nuorodos

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.