Laplace sadalījuma kalkulators

Laplace sadalījuma kalkulators

Ievads

Laplace sadalījums, pazīstams arī kā dubultā eksponenciālā sadalījuma, ir nepārtraukts varbūtības sadalījums, kas nosaukts Pjēra-Simona Laplasa vārdā. Tas ir simetrisks ap savu vidējo (lokācijas parametru) un tam ir smagākas astes salīdzinājumā ar normālo sadalījumu. Šis kalkulators ļauj aprēķināt Laplace sadalījuma varbūtības blīvuma funkciju (PDF) noteiktiem parametriem un vizualizēt tā formu.

Kā izmantot šo kalkulatoru

1. Ievadiet lokācijas parametru (μ), kas pārstāv sadalījuma vidējo.
2. Ievadiet mērogošanas parametru (b), kas nosaka sadalījuma izkliedi (b > 0).
3. Kalkulators parādīs varbūtības blīvuma funkcijas (PDF) vērtību pie x = 0 un parādīs sadalījuma grafiku.

Piezīme: Mērogošanas parametrs jābūt stingri pozitīvam (b > 0).

Formula

Laplace sadalījuma varbūtības blīvuma funkcija (PDF) ir dota ar:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Kur:

• x ir mainīgais
• μ (mu) ir lokācijas parametrs
• b ir mērogošanas parametrs (b > 0)

Aprēķins

Kalkulators izmanto šo formulu, lai aprēķinātu PDF vērtību pie x = 0, pamatojoties uz lietotāja ievadi. Šeit ir soli pa solim skaidrojums:

1. Validēt ievades: nodrošināt, ka mērogošanas parametrs b ir pozitīvs.
2. Aprēķināt |x - μ|: Šajā gadījumā tas ir vienkārši |0 - μ| = |μ|.
3. Aprēķināt eksponenciālo terminu: $\exp(-|μ| / b)$
4. Aprēķināt galīgo rezultātu: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Malas gadījumi, kas jāņem vērā:

• Ja b ≤ 0, parādīt kļūdas ziņojumu.
• Ļoti lieliem |μ| vai ļoti maziem b rezultāts var būt ļoti tuvs nullei.
• Ja μ = 0, PDF sasniegs maksimālo vērtību 1/(2b) pie x = 0.

Lietošanas gadījumi

Laplace sadalījumam ir dažādas pielietojuma jomas dažādās jomās:

1. Signālu apstrāde: tiek izmantots audio un attēlu signālu modelēšanā un analīzē.

2. Finanšu joma: tiek pielietots finanšu atdeves un riska novērtēšanas modelēšanā.

3. Mašīnmācīšanās: tiek izmantots Laplace mehānismā diferenciālajā privātumā un dažos Bayesiskās secināšanas modeļos.

4. Dabas valodu apstrāde: tiek pielietots valodas modeļos un teksta klasifikācijas uzdevumos.

5. Ģeoloģija: tiek izmantots zemestrīču magnitūdu sadalījuma modelēšanā (Gutenberga-Ričtera likums).

Alternatīvas

Lai gan Laplace sadalījums ir noderīgs daudzās situācijās, ir arī citi varbūtības sadalījumi, kas var būt piemērotāki noteiktās situācijās:

1. Normālais (Gausa) sadalījums: biežāk tiek izmantots dabisko parādību un mērījumu kļūdu modelēšanai.

2. Kauchy sadalījums: tam ir vēl smagākas astes nekā Laplace sadalījumam, noderīgs izsistumu pakļautu datu modelēšanai.

3. Eksponenciālais sadalījums: tiek izmantots laika modelēšanai starp notikumiem Poisson procesā.

4. Studenta t-sadalījums: bieži tiek izmantots hipotēžu testēšanā un finanšu atdeves modelēšanā.

5. Loģistiskais sadalījums: līdzīgs normālajam sadalījumam, bet ar smagākām astēm.

Vēsture

Laplace sadalījumu ieviesa Pjērs-Simons Laplace savā 1774. gada memuārā "Par notikumu cēloņu varbūtību". Tomēr sadalījums ieguva lielāku nozīmi 20. gadsimtā ar matemātiskās statistikas attīstību.

Galvenie notikumi Laplace sadalījuma vēsturē:

1. 1774: Pjērs-Simons Laplace ievieš sadalījumu savā darbā par varbūtību teoriju.
2. 1930. gadi: Sadalījums tiek atkārtoti atklāts un pielietots dažādās jomās, tostarp ekonomikā un inženierijā.
3. 1960. gadi: Laplace sadalījums iegūst nozīmību robustajā statistikā kā alternatīva normālajam sadalījumam.
4. 1990. gadi - pašlaik: pieaugoša izmantošana mašīnmācīšanās, signālu apstrādē un finanšu modelēšanā.

Piemēri

Šeit ir daži koda piemēri, lai aprēķinātu Laplace sadalījuma PDF:

' Excel VBA funkcija Laplace sadalījuma PDF
Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
    If b <= 0 Then
        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
    Else
        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
    End If
End Function
' Lietošana:
' =LaplacePDF(0, 1, 2)

import math

def laplace_pdf(x, mu, b):
    if b <= 0:
        raise ValueError("Mērogošanas parametrs jābūt pozitīvam")
    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)

## Piemēra lietošana:
location = 1.0
scale = 2.0
x = 0.0
pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
print(f"PDF vērtība pie x={x}: {pdf_value:.6f}")

function laplacePDF(x, mu, b) {
  if (b <= 0) {
    throw new Error("Mērogošanas parametrs jābūt pozitīvam");
  }
  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
}

// Piemēra lietošana:
const location = 1;
const scale = 2;
const x = 0;
const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
console.log(`PDF vērtība pie x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);

public class LaplacePDF {
    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
        if (b <= 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Mērogošanas parametrs jābūt pozitīvam");
        }
        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double location = 1.0;
        double scale = 2.0;
        double x = 0.0;
        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
        System.out.printf("PDF vērtība pie x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
    }
}

Šie piemēri demonstrē, kā aprēķināt Laplace sadalījuma PDF noteiktiem parametriem. Jūs varat pielāgot šīs funkcijas savām konkrētajām vajadzībām vai integrēt tās lielākās statistiskās analīzes sistēmās.

Skaitliskie piemēri

1. Standarta Laplace sadalījums:

   • Lokācija (μ) = 0
   • Mērogošana (b) = 1
   • PDF pie x = 0: 0.500000

2. Pārvietots Laplace sadalījums:

   • Lokācija (μ) = 2
   • Mērogošana (b) = 1
   • PDF pie x = 0: 0.183940

3. Mērogots Laplace sadalījums:

   • Lokācija (μ) = 0
   • Mērogošana (b) = 3
   • PDF pie x = 0: 0.166667

4. Pārvietots un mērogots Laplace sadalījums:

   • Lokācija (μ) = -1
   • Mērogošana (b) = 0.5
   • PDF pie x = 0: 0.367879

Atsauces

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.