Kalkulator Rozkładu Laplace'a

Wprowadzenie

Rozkład Laplace'a, znany również jako rozkład podwójnie eksponencjalny, jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa nazwanym na cześć Pierre-Simona Laplace'a. Jest symetryczny wokół swojej średniej (parametr lokalizacji) i ma cięższe ogony w porównaniu do rozkładu normalnego. Ten kalkulator pozwala obliczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa (PDF) rozkładu Laplace'a dla podanych parametrów i wizualizować jego kształt.

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź parametr lokalizacji (μ), który reprezentuje średnią rozkładu.
2. Wprowadź parametr skali (b), który określa rozprzestrzenienie rozkładu (b > 0).
3. Kalkulator wyświetli wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF) przy x = 0 i pokaże wykres rozkładu.

Uwaga: Parametr skali musi być ściśle dodatni (b > 0).

Wzór

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) rozkładu Laplace'a jest podana przez:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Gdzie:

• x to zmienna
• μ (mu) to parametr lokalizacji
• b to parametr skali (b > 0)

Obliczenia

Kalkulator używa tego wzoru do obliczenia wartości PDF przy x = 0 na podstawie wprowadzonych przez użytkownika danych. Oto krok po kroku wyjaśnienie:

1. Walidacja danych wejściowych: Upewnij się, że parametr skali b jest dodatni.
2. Oblicz |x - μ|: W tym przypadku to po prostu |0 - μ| = |μ|.
3. Oblicz wyrażenie eksponencjalne: $\exp(-|μ| / b)$
4. Oblicz ostateczny wynik: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Przypadki brzegowe do rozważenia:

• Jeśli b ≤ 0, wyświetl komunikat o błędzie.
• Dla bardzo dużych |μ| lub bardzo małych b, wynik może być ekstremalnie bliski zeru.
• Dla μ = 0, PDF osiągnie swoją maksymalną wartość 1/(2b) przy x = 0.

Zastosowania

Rozkład Laplace'a ma różne zastosowania w różnych dziedzinach:

1. Przetwarzanie sygnałów: Używany w modelowaniu i analizie sygnałów audio i obrazowych.

2. Finanse: Stosowany w modelowaniu zwrotów finansowych i ocenie ryzyka.

3. Uczenie maszynowe: Używany w mechanizmie Laplace'a dla prywatności różnicowej oraz w niektórych modelach wnioskowania bayesowskiego.

4. Przetwarzanie języka naturalnego: Stosowany w modelach językowych i zadaniach klasyfikacji tekstu.

5. Geologia: Używany w modelowaniu rozkładu magnitud trzęsień ziemi (prawo Gutenberga-Richtera).

Alternatywy

Chociaż rozkład Laplace'a jest użyteczny w wielu scenariuszach, istnieją inne rozkłady prawdopodobieństwa, które mogą być bardziej odpowiednie w niektórych sytuacjach:

1. Rozkład normalny (Gaussa): Częściej używany do modelowania zjawisk naturalnych i błędów pomiarowych.

2. Rozkład Cauchy'ego: Ma jeszcze cięższe ogony niż rozkład Laplace'a, użyteczny do modelowania danych podatnych na wartości odstające.

3. Rozkład eksponencjalny: Używany do modelowania czasu między zdarzeniami w procesie Poissona.

4. Rozkład t-Studenta: Często używany w testowaniu hipotez i modelowaniu zwrotów finansowych.

5. Rozkład logistyczny: Podobny kształtem do rozkładu normalnego, ale z cięższymi ogonami.

Historia

Rozkład Laplace'a został wprowadzony przez Pierre-Simona Laplace'a w jego pamiętniku z 1774 roku "O prawdopodobieństwie przyczyn zdarzeń". Jednak rozkład zyskał na znaczeniu w XX wieku wraz z rozwojem statystyki matematycznej.

Kluczowe wydarzenia w historii rozkładu Laplace'a:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace wprowadza rozkład w swojej pracy nad teorią prawdopodobieństwa.
2. Lata 30. XX wieku: Rozkład zostaje ponownie odkryty i zastosowany w różnych dziedzinach, w tym w ekonomii i inżynierii.
3. Lata 60. XX wieku: Rozkład Laplace'a zyskuje na znaczeniu w statystyce odpornej jako alternatywa dla rozkładu normalnego.
4. Lata 90. XX wieku - obecnie: Zwiększone zastosowanie w uczeniu maszynowym, przetwarzaniu sygnałów i modelowaniu finansowym.

Przykłady

Oto kilka przykładów kodu do obliczenia PDF rozkładu Laplace'a:

1' Funkcja VBA w Excelu dla PDF rozkładu Laplace'a
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Użycie:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Parametr skali musi być dodatni")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Przykład użycia:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Wartość PDF przy x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Parametr skali musi być dodatni");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Przykład użycia:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Wartość PDF przy x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Parametr skali musi być dodatni");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Wartość PDF przy x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Te przykłady pokazują, jak obliczyć PDF rozkładu Laplace'a dla podanych parametrów. Możesz dostosować te funkcje do swoich specyficznych potrzeb lub zintegrować je w większych systemach analizy statystycznej.

Przykłady numeryczne

1. Standardowy rozkład Laplace'a:

   • Lokalizacja (μ) = 0
   • Skala (b) = 1
   • PDF przy x = 0: 0.500000

2. Przesunięty rozkład Laplace'a:

   • Lokalizacja (μ) = 2
   • Skala (b) = 1
   • PDF przy x = 0: 0.183940

3. Skalowany rozkład Laplace'a:

   • Lokalizacja (μ) = 0
   • Skala (b) = 3
   • PDF przy x = 0: 0.166667

4. Przesunięty i skalowany rozkład Laplace'a:

   • Lokalizacja (μ) = -1
   • Skala (b) = 0.5
   • PDF przy x = 0: 0.367879

Źródła

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Rozkład Laplace'a." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Dostęp 2 sierpnia 2024.