Kalkulačka Laplaceovej distribúcie

Úvod

Laplaceova distribúcia, známa aj ako dvojitá exponenciálna distribúcia, je kontinuálna pravdepodobnostná distribúcia pomenovaná po Pierre-Simon Laplaceovi. Je symetrická okolo svojho priemeru (parametra umiestnenia) a má ťažšie chvosty v porovnaní s normálnou distribúciou. Táto kalkulačka vám umožňuje vypočítať hodnotu funkcie hustoty pravdepodobnosti (PDF) Laplaceovej distribúcie pre dané parametre a vizualizovať jej tvar.

Ako používať túto kalkulačku

1. Zadajte parameter umiestnenia (μ), ktorý predstavuje priemer distribúcie.
2. Zadajte parameter škály (b), ktorý určuje rozšírenie distribúcie (b > 0).
3. Kalkulačka zobrazí hodnotu funkcie hustoty pravdepodobnosti (PDF) pri x = 0 a zobrazí graf distribúcie.

Poznámka: Parameter škály musí byť prísne kladný (b > 0).

Formula

Funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF) Laplaceovej distribúcie je daná:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Kde:

• x je premenná
• μ (mu) je parameter umiestnenia
• b je parameter škály (b > 0)

Výpočet

Kalkulačka používa túto formulu na výpočet hodnoty PDF pri x = 0 na základe vstupu používateľa. Tu je krok za krokom vysvetlenie:

1. Overenie vstupov: Zabezpečte, aby bol parameter škály b kladný.
2. Vypočítajte |x - μ|: V tomto prípade je to jednoducho |0 - μ| = |μ|.
3. Vypočítajte exponenciálny člen: $\exp(-|μ| / b)$
4. Vypočítajte konečný výsledok: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Okrajové prípady na zváženie:

• Ak b ≤ 0, zobrazte chybové hlásenie.
• Pre veľmi veľké |μ| alebo veľmi malé b môže byť výsledok extrémne blízko nuly.
• Pre μ = 0 dosiahne PDF svoju maximálnu hodnotu 1/(2b) pri x = 0.

Použitie

Laplaceova distribúcia má rôzne aplikácie v rôznych oblastiach:

1. Spracovanie signálov: Používa sa na modelovanie a analýzu zvukových a obrazových signálov.

2. Financie: Aplikuje sa na modelovanie finančných výnosov a hodnotenie rizika.

3. Strojové učenie: Používa sa v Laplaceovom mechanizme pre diferenciálnu súkromnosť a v niektorých modeloch Bayesovskej inferencie.

4. Spracovanie prirodzeného jazyka: Používa sa v jazykových modeloch a úlohách klasifikácie textu.

5. Geológia: Používa sa na modelovanie rozdelenia magnitúd zemetrasení (zákon Gutenberg-Richter).

Alternatívy

Aj keď je Laplaceova distribúcia užitočná v mnohých scenároch, existujú aj iné pravdepodobnostné distribúcie, ktoré môžu byť v určitých situáciách vhodnejšie:

1. Normálna (Gaussova) distribúcia: Častejšie sa používa na modelovanie prírodných javov a chýb merania.

2. Cauchyho distribúcia: Má ešte ťažšie chvosty ako Laplaceova distribúcia, užitočná na modelovanie údajov náchylných na odľahlé hodnoty.

3. Exponenciálna distribúcia: Používa sa na modelovanie času medzi udalosťami v Poissonovom procese.

4. Studentova t-distribúcia: Často sa používa pri testovaní hypotéz a modelovaní finančných výnosov.

5. Logistická distribúcia: Podobná tvaru normálnej distribúcie, ale s ťažšími chvostami.

História

Laplaceova distribúcia bola predstavená Pierre-Simon Laplaceom vo jeho pamflete z roku 1774 "O pravdepodobnosti príčin udalostí." Distribúcia však získala väčšiu pozornosť na začiatku 20. storočia s rozvojom matematickej štatistiky.

Kľúčové míľniky v histórii Laplaceovej distribúcie:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace predstavuje distribúciu vo svojej práci o teórii pravdepodobnosti.
2. 1930. roky: Distribúcia je znovuobjavená a používa sa v rôznych oblastiach, vrátane ekonómie a inžinierstva.
3. 1960. roky: Laplaceova distribúcia získava význam v robustnej štatistike ako alternatíva k normálnej distribúcii.
4. 1990. roky - súčasnosť: Zvýšené použitie v strojovom učení, spracovaní signálov a modelovaní financií.

Príklady

Tu sú niektoré kódové príklady na výpočet PDF Laplaceovej distribúcie:

1' Excel VBA Funkcia pre PDF Laplaceovej distribúcie
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Použitie:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Parameter škály musí byť kladný")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Príklad použitia:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Hodnota PDF pri x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Parameter škály musí byť kladný");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Príklad použitia:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Hodnota PDF pri x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Parameter škály musí byť kladný");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Hodnota PDF pri x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Tieto príklady demonštrujú, ako vypočítať PDF Laplaceovej distribúcie pre dané parametre. Môžete tieto funkcie prispôsobiť svojim konkrétnym potrebám alebo ich integrovať do väčších systémov štatistickej analýzy.

Numerické príklady

1. Štandardná Laplaceova distribúcia:

   • Umiestnenie (μ) = 0
   • Škála (b) = 1
   • PDF pri x = 0: 0.500000

2. Posunutá Laplaceova distribúcia:

   • Umiestnenie (μ) = 2
   • Škála (b) = 1
   • PDF pri x = 0: 0.183940

3. Škálovaná Laplaceova distribúcia:

   • Umiestnenie (μ) = 0
   • Škála (b) = 3
   • PDF pri x = 0: 0.166667

4. Posunutá a škálovaná Laplaceova distribúcia:

   • Umiestnenie (μ) = -1
   • Škála (b) = 0.5
   • PDF pri x = 0: 0.367879

Odkazy

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.