Kalkulator Laplaceove porazdelitve

Uvod

Laplaceova porazdelitev, znana tudi kot dvojna eksponentna porazdelitev, je kontinuirana verjetnostna porazdelitev, poimenovana po Pierre-Simonu Laplaceu. Je simetrična okoli svoje srednje vrednosti (lokacijski parameter) in ima težje repove v primerjavi z normalno porazdelitvijo. Ta kalkulator vam omogoča izračun verjetnostne gostote (PDF) Laplaceove porazdelitve za dane parametre in vizualizacijo njenega oblika.

Kako uporabljati ta kalkulator

1. Vnesite lokacijski parameter (μ), ki predstavlja srednjo vrednost porazdelitve.
2. Vnesite skalni parameter (b), ki določa razpršenost porazdelitve (b > 0).
3. Kalkulator bo prikazal vrednost verjetnostne gostote (PDF) pri x = 0 in prikazal graf porazdelitve.

Opomba: Skalni parameter mora biti strogo pozitiven (b > 0).

Formula

Verjetnostna gostota (PDF) Laplaceove porazdelitve je dana z:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Kjer:

• x je spremenljivka
• μ (mu) je lokacijski parameter
• b je skalni parameter (b > 0)

Izračun

Kalkulator uporablja to formulo za izračun vrednosti PDF pri x = 0 na podlagi uporabnikovih vhodnih podatkov. Tukaj je korak za korakom razlaga:

1. Preverite vhodne podatke: Prepričajte se, da je skalni parameter b pozitiven.
2. Izračunajte |x - μ|: V tem primeru je to preprosto |0 - μ| = |μ|.
3. Izračunajte eksponentni člen: $\exp(-|μ| / b)$
4. Izračunajte končni rezultat: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Robni primeri, ki jih je treba upoštevati:

• Če je b ≤ 0, prikažite sporočilo o napaki.
• Pri zelo velikem |μ| ali zelo majhnem b je rezultat lahko izjemno blizu nič.
• Pri μ = 0 bo PDF dosegel svojo največjo vrednost 1/(2b) pri x = 0.

Uporabniški primeri

Laplaceova porazdelitev ima različne aplikacije na različnih področjih:

1. Obdelava signalov: Uporablja se pri modeliranju in analizi avdio in slikovnih signalov.

2. Finance: Uporablja se pri modeliranju finančnih donosov in oceni tveganja.

3. Strojno učenje: Uporablja se v Laplaceovem mehanizmu za diferencialno zasebnost in v nekaterih modelih Bayesovega sklepanja.

4. Naravoslovno obdelovanje jezika: Uporablja se v jezikovnih modelih in nalogah razvrščanja besedil.

5. Geologija: Uporablja se pri modeliranju porazdelitve magnitud potresov (zakon Gutenberg-Richter).

Alternativne možnosti

Čeprav je Laplaceova porazdelitev uporabna v mnogih scenarijih, obstajajo tudi druge verjetnostne porazdelitve, ki so morda bolj primerne v določenih situacijah:

1. Normalna (Gaussova) porazdelitev: Pogosteje se uporablja za modeliranje naravnih pojavov in napak pri merjenju.

2. Cauchyjeva porazdelitev: Ima še težje repove kot Laplaceova porazdelitev, uporabna za modeliranje podatkov, ki so nagnjeni k odklonom.

3. Eksponentna porazdelitev: Uporablja se za modeliranje časa med dogodki v Poissonovem procesu.

4. Studentova t-porazdelitev: Pogosto se uporablja pri testiranju hipotez in modeliranju finančnih donosov.

5. Logistična porazdelitev: Podobna v obliki normalni porazdelitvi, vendar z težjimi repi.

Zgodovina

Laplaceova porazdelitev je bila uvedena s strani Pierre-Simona Laplacea v njegovem spisu iz leta 1774 "O verjetnosti vzrokov dogodkov." Vendar je porazdelitev pridobila večjo prepoznavnost v začetku 20. stoletja z razvojem matematične statistike.

Ključni mejniki v zgodovini Laplaceove porazdelitve:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace uvaja porazdelitev v svojem delu o verjetnostni teoriji.
2. 1930-ih: Porazdelitev je ponovno odkrita in uporabljena na različnih področjih, vključno z ekonomijo in inženiringom.
3. 1960-ih: Laplaceova porazdelitev pridobi pomen v robustni statistiki kot alternativa normalni porazdelitvi.
4. 1990-ih - danes: Povečana uporaba v strojni učenju, obdelavi signalov in finančnem modeliranju.

Primeri

Tukaj je nekaj primerov kode za izračun PDF Laplaceove porazdelitve:

1' Excel VBA funkcija za PDF Laplaceove porazdelitve
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Uporaba:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Skalni parameter mora biti pozitiven")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Primer uporabe:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Vrednost PDF pri x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Skalni parameter mora biti pozitiven");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Primer uporabe:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Vrednost PDF pri x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Skalni parameter mora biti pozitiven");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Vrednost PDF pri x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Ti primeri prikazujejo, kako izračunati PDF Laplaceove porazdelitve za dane parametre. Te funkcije lahko prilagodite svojim specifičnim potrebam ali jih vključite v večje sisteme statistične analize.

Numerični primeri

1. Standardna Laplaceova porazdelitev:

   • Lokacija (μ) = 0
   • Skaliranje (b) = 1
   • PDF pri x = 0: 0.500000

2. Premaknjena Laplaceova porazdelitev:

   • Lokacija (μ) = 2
   • Skaliranje (b) = 1
   • PDF pri x = 0: 0.183940

3. Skalirana Laplaceova porazdelitev:

   • Lokacija (μ) = 0
   • Skaliranje (b) = 3
   • PDF pri x = 0: 0.166667

4. Premaknjena in skalirana Laplaceova porazdelitev:

   • Lokacija (μ) = -1
   • Skaliranje (b) = 0.5
   • PDF pri x = 0: 0.367879

Reference

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Dostop 2. avg. 2024.