Лапласова Дистрибуција Калькулятор

Увод

Лапласова дистрибуција, позната и као двострука експоненцијална дистрибуција, је континуирана вероватноћна дистрибуција названа по Пјеру-Симону Лапласу. Симетрична је око своје средње вредности (параметар локације) и има тежи репови у поређењу са нормалном дистрибуцијом. Овај калькулятор вам омогућава да израчунате вероватноћну густинску функцију (PDF) Лапласове дистрибуције за дате параметре и визуализујете њен облик.

Како Користити Овај Калькулятор

1. Унесите параметар локације (μ), који представља средњу вредност дистрибуције.
2. Унесите параметар распона (b), који одређује распон дистрибуције (b > 0).
3. Калькулятор ће приказати вредност вероватноћне густинске функције (PDF) на x = 0 и показати графикон дистрибуције.

Напомена: Параметар распона мора бити строго позитиван (b > 0).

Формула

Вероятноћна густинска функција (PDF) Лапласове дистрибуције је дата формулом:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Где:

• x је променљива
• μ (му) је параметар локације
• b је параметар распона (b > 0)

Израчунавање

Калькулятор користи ову формулу да израчуна PDF вредност на x = 0 на основу уноса корисника. Ево корак-по-корак објашњење:

1. Валидација уноса: Осигурајте да је параметар распона b позитиван.
2. Израчунати |x - μ|: У овом случају, то је једноставно |0 - μ| = |μ|.
3. Израчунати експоненцијалну функцију: $\exp(-|μ| / b)$
4. Израчунати коначни резултат: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Ивичне ситуације које треба размотрити:

• Ако је b ≤ 0, приказати поруку о грешци.
• За веома велике |μ| или веома мале b, резултат може бити изузетно близу нули.
• За μ = 0, PDF ће достићи своју максималну вредност од 1/(2b) на x = 0.

Употреба

Лапласова дистрибуција има разне примене у различитим областима:

1. Обрада Сигнала: Користи се у моделовању и анализи аудио и сликовних сигнала.

2. Финансије: Применjuje се у моделовању финансијских приноса и процени ризика.

3. Машинско Учење: Користи се у Лапласовом механизму за диференцијалну приватност и у неким моделима Бејсовског инференцирања.

4. Обрада Природног Језика: Применjuje се у моделима језика и задацима класификације текста.

5. Геологија: Користи се у моделовању расподеле магнитуда земљотреса (Гутенберг-Рихтеров закон).

Алтернативе

Иако је Лапласова дистрибуција корисна у многим сценаријима, постоје и друге вероватноћне дистрибуције које би могле бити прикладније у одређеним ситуацијама:

1. Нормална (Гаусова) Дистрибуција: Чешће се користи за моделовање природних појава и грешака у мерењу.

2. Кошијева Дистрибуција: Има још тежи репови од Лапласове дистрибуције, корисна за моделовање података склоних аутлајерима.

3. Експоненцијална Дистрибуција: Користи се за моделовање времена између догађаја у Поасоновом процесу.

4. Студентова t-Дистрибуција: Често се користи у тестирању хипотеза и моделовању финансијских приноса.

5. Логистичка Дистрибуција: Слична по облику нормалној дистрибуцији, али са тежим реповима.

Историја

Лапласова дистрибуција је представљена од стране Пјера-Симона Лапласа у његовом мемоару из 1774. "О вероватноћи узрока догађаја." Међутим, дистрибуција је добила више значаја у раном 20. веку са развојем математичке статистике.

Кључне прекретнице у историји Лапласове дистрибуције:

1. 1774: Пјер-Симон Лаплас представља дистрибуцију у свом раду о теорији вероватноће.
2. 1930-их: Дистрибуција је поново откривена и примењена у различитим областима, укључујући економију и инжењерство.
3. 1960-их: Лапласова дистрибуција добија значај у робусној статистици као алтернатива нормалној дистрибуцији.
4. 1990-их-предмет: Повећана употреба у машинском учењу, обради сигнала и финансијском моделовању.

Примери

Ево неколико примера кода за израчунавање PDF Лапласове дистрибуције:

1' Excel VBA Функција за PDF Лапласове Дистрибуције
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Употреба:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Параметар распона мора бити позитиван")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Пример употребе:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"PDF вредност на x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Параметар распона мора бити позитиван");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Пример употребе:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`PDF вредност на x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Параметар распона мора бити позитиван");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("PDF вредност на x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Ови примери демонстрирају како да израчунате PDF Лапласове дистрибуције за дате параметре. Можете прилагодити ове функције вашим специфичним потребама или их интегрисати у веће системе статистичке анализе.

Нумерички Примери

1. Стандардна Лапласова Дистрибуција:

   • Локација (μ) = 0
   • Распон (b) = 1
   • PDF на x = 0: 0.500000

2. Померена Лапласова Дистрибуција:

   • Локација (μ) = 2
   • Распон (b) = 1
   • PDF на x = 0: 0.183940

3. Скалирана Лапласова Дистрибуција:

   • Локација (μ) = 0
   • Распон (b) = 3
   • PDF на x = 0: 0.166667

4. Померена и Скалирана Лапласова Дистрибуција:

   • Локација (μ) = -1
   • Распон (b) = 0.5
   • PDF на x = 0: 0.367879

Референце

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Лапласова Дистрибуција." Википедија, Фондација Викимедија, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Приступљено 2. авг. 2024.