லாப்லாஸ் விநியோகக் கணக்கீட்டாளர்

லாப்லாஸ் விநியோக கணக்கீட்டாளர்

அறிமுகம்

லாப்லாஸ் விநியோகம், இரட்டை எக்ஸ்போனென்ஷியல் விநியோகமாகவும் அழைக்கப்படுகிறது, இது பியர்ச்-சிமான் லாப்லாஸ் என்பவரின் பெயரில் பெயரிடப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான சாத்தியக்கூறான விநியோகமாகும். இது அதன் சராசரி (இடம் அளவீடு) சுற்றி சமமாக உள்ளது மற்றும் சாதாரண விநியோகத்தை விட அதிக எடை கொண்ட முட்டைகள் கொண்டுள்ளது. இந்த கணக்கீட்டாளர், குறிப்பிட்ட அளவீடுகளுக்கான லாப்லாஸ் விநியோகத்தின் சாத்தியக்கூறான அடிப்படைக் செயல்பாட்டை (PDF) கணக்கிடவும், அதன் வடிவத்தை காட்சிப்படுத்தவும் உங்களுக்கு அனுமதிக்கிறது.

இந்த கணக்கீட்டாளரை எப்படி பயன்படுத்துவது

1. இடம் அளவீடு (μ) என்பதைக் உள்ளிடவும், இது விநியோகத்தின் சராசரியை பிரதிநிதித்துவமாகக் குறிக்கிறது.
2. அளவீடு (b) என்பதைக் உள்ளிடவும், இது விநியோகத்தின் பரவலினை நிர்ணயிக்கிறது (b > 0).
3. கணக்கீட்டாளர் x = 0 இல் சாத்தியக்கூறான அடிப்படைக் செயல்பாட்டின் (PDF) மதிப்பை காட்டும் மற்றும் விநியோகத்தின் ஒரு வரைபடத்தை காட்சிப்படுத்தும்.

குறிப்பு: அளவீடு b துல்லியமாக நேர்மறை இருக்க வேண்டும் (b > 0).

சூத்திரம்

லாப்லாஸ் விநியோகத்தின் சாத்தியக்கூறான அடிப்படைக் செயல்பாடு (PDF) கீழ்காணும் விதமாகக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

எங்கு:

• x என்பது மாறி
• μ (மு) என்பது இடம் அளவீடு
• b என்பது அளவீடு (b > 0)

கணக்கீடு

கணக்கீட்டாளர், பயனர் உள்ளீட்டின் அடிப்படையில் x = 0 இல் PDF மதிப்பை கணக்கிட இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. இங்கே ஒரு படி-படி விளக்கம்:

1. உள்ளீடுகளை சரிபார்க்கவும்: அளவீடு b நேர்மறை என்பதை உறுதி செய்யவும்.
2. |x - μ| ஐ கணக்கிடவும்: இந்தச் சூழலில், இது எளிதாகவே |0 - μ| = |μ| ஆகும்.
3. எக்ஸ்போனென்சியல் உருப்படியை கணக்கிடவும்: $\exp(-|μ| / b)$
4. இறுதித் தொகுப்பை கணக்கிடவும்: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

எட்ஜ் கேஸ்களை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்:

• b ≤ 0 என்றால், ஒரு பிழை செய்தியை காட்சிப்படுத்தவும்.
• மிகவும் பெரிய |μ| அல்லது மிகவும் சிறிய b க்கான, முடிவு மிகவும் பூஜ்யமாக இருக்கும்.
• μ = 0 என்றால், PDF x = 0 இல் 1/(2b) என்ற அதிகபட்ச மதிப்பை அடையும்.

பயன்பாட்டு வழிகள்

லாப்லாஸ் விநியோகம் பல துறைகளில் பல்வேறு பயன்பாடுகளை கொண்டுள்ளது:

1. சிக்னல் செயலாக்கம்: ஒலியியல் மற்றும் படத்திற்கான சிக்னல்களை மாதிரி மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்வதில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

2. நிதி: நிதி வருமானங்கள் மற்றும் ஆபத்து மதிப்பீட்டில் மாதிரி செய்ய பயன்படுகிறது.

3. இயந்திரக் கற்றல்: வேறுபாட்டுக் தனியுரிமைக்கான லாப்லாஸ் இயந்திரம் மற்றும் சில பேசிய உளவியல் மாதிரிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

4. இயற்கை மொழி செயலாக்கம்: மொழி மாதிரிகள் மற்றும் உரை வகைப்பாட்டுப் பணிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

5. பூமியியல்: நிலநடுக்கத்தின் அளவுகளை (குடென்பெர்ட்-ரிசர்ட் சட்டம்) மாதிரி செய்ய பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மாற்றுகள்

லாப்லாஸ் விநியோகம் பல சூழ்நிலைகளில் பயனுள்ளதாக இருந்தாலும், சில சந்தர்ப்பங்களில் மற்ற சாத்தியக்கூறுகள் மேலும் பொருத்தமாக இருக்கலாம்:

1. சாதாரண (கௌசியன்) விநியோகம்: இயற்கை நிகழ்வுகள் மற்றும் அளவீட்டு பிழைகளை மாதிரி செய்ய மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

2. காசி விநியோகம்: லாப்லாஸ் விநியோகத்தைவிட கூடுதல் எடை கொண்ட முட்டைகள் உள்ளன, வெளிப்படுத்தல்-பிரயோக தரவுகளை மாதிரி செய்ய பயன்படுகிறது.

3. எக்ஸ்போனென்சியல் விநியோகம்: போய்சன் செயலியில் நிகழ்வுகளுக்கிடையேயான காலத்தை மாதிரி செய்யப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

4. மாணவர் t-வினியோகம்: உத்திகளை சோதிக்கவும், நிதி வருமானங்களை மாதிரி செய்யப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

5. லாஜிஸ்டிக் விநியோகம்: சாதாரண விநியோகத்துடன் ஒத்த வடிவமைப்பில் உள்ளது, ஆனால் அதிக எடை கொண்ட முட்டைகள் உள்ளன.

வரலாறு

லாப்லாஸ் விநியோகம், பியர்ச்-சிமான் லாப்லாஸ் 1774 ஆம் ஆண்டில் "நிகழ்வுகளின் காரணங்களின் சாத்தியக்கூறுகள்" என்ற தனது நினைவகத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இருப்பினும், 20 ஆம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பத்தில் கணிதப் புள்ளியியல் வளர்ச்சியுடன் இந்த விநியோகம் மேலும் பிரபலமடைந்தது.

லாப்லாஸ் விநியோகத்தின் வரலாற்றில் முக்கியமான மைல்கற்கள்:

1. 1774: பியர்ச்-சிமான் லாப்லாஸ், சாத்தியக்கூறியல் பற்றிய தனது வேலைகளில் விநியோகத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறார்.
2. 1930கள்: இந்த விநியோகம் மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, பொருளாதாரம் மற்றும் பொறியியல் உள்ளிட்ட பல துறைகளில் பயன்படுகிறது.
3. 1960கள்: லாப்லாஸ் விநியோகம், சாதாரண விநியோகத்திற்கு மாற்றாக வலுவான புள்ளியியல் துறையில் முக்கியத்துவம் பெறுகிறது.
4. 1990கள்-தற்போது: இயந்திரக் கற்றல், சிக்னல் செயலாக்கம் மற்றும் நிதி மாதிரியில் அதிகமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

இங்கே லாப்லாஸ் விநியோக PDF ஐ கணக்கிடும் சில குறியீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

' எக்செல் VBA செயல்பாடு லாப்லாஸ் விநியோக PDF
Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
    If b <= 0 Then
        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
    Else
        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
    End If
End Function
' பயன்பாடு:
' =LaplacePDF(0, 1, 2)

import math

def laplace_pdf(x, mu, b):
    if b <= 0:
        raise ValueError("Scale parameter must be positive")
    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)

## எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
location = 1.0
scale = 2.0
x = 0.0
pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
print(f"PDF மதிப்பு x={x} இல்: {pdf_value:.6f}")

function laplacePDF(x, mu, b) {
  if (b <= 0) {
    throw new Error("Scale parameter must be positive");
  }
  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
}

// எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
const location = 1;
const scale = 2;
const x = 0;
const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
console.log(`PDF மதிப்பு x=${x} இல்: ${pdfValue.toFixed(6)}`);

public class LaplacePDF {
    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
        if (b <= 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Scale parameter must be positive");
        }
        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double location = 1.0;
        double scale = 2.0;
        double x = 0.0;
        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
        System.out.printf("PDF மதிப்பு x=%.1f இல்: %.6f%n", x, pdfValue);
    }
}

இந்த எடுத்துக்காட்டுகள், குறிப்பிட்ட அளவீடுகளுக்கான லாப்லாஸ் விநியோக PDF ஐ கணக்கிடுவதற்கான முறைகளை விளக்குகின்றன. நீங்கள் இந்த செயல்பாடுகளை உங்கள் குறிப்பிட்ட தேவைகளுக்கு ஏற்ப மாற்றலாம் அல்லது பெரிய புள்ளியியல் பகுப்பாய்வு அமைப்புகளில் ஒருங்கிணைக்கலாம்.

எண்ணிக்கையியல் எடுத்துக்காட்டுகள்

1. நிலை லாப்லாஸ் விநியோகம்:

   • இடம் (μ) = 0
   • அளவீடு (b) = 1
   • x = 0 இல் PDF: 0.500000

2. மாற்றிய லாப்லாஸ் விநியோகம்:

   • இடம் (μ) = 2
   • அளவீடு (b) = 1
   • x = 0 இல் PDF: 0.183940

3. அளவீடு செய்யப்பட்ட லாப்லாஸ் விநியோகம்:

   • இடம் (μ) = 0
   • அளவீடு (b) = 3
   • x = 0 இல் PDF: 0.166667

4. மாற்றிய மற்றும் அளவீடு செய்யப்பட்ட லாப்லாஸ் விநியோகம்:

   • இடம் (μ) = -1
   • அளவீடு (b) = 0.5
   • x = 0 இல் PDF: 0.367879

மேற்கோள்கள்

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.