లాప్లాస్ పంపిణీ గణనకర్త

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೆಟರ್

ಪರಿಚಯ

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ, ಡಬಲ್ ಎಕ್ಸ್ಪೊನೆನ್ಷಿಯಲ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ಸಹ ತಿಳಿಯಲ್ಪಡುವ, ಪಿಯರ್-ಸಿಮಾನ್ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಹೆಸರಾಗಿರುವ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ತನ್ನ ಅರ್ಥ (ಸ್ಥಳ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್) ಸುತ್ತಲೂ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಹೆಚ್ಚು ತೂಕದ ಕೊಂಬುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೆಟರ್ ನಿಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಘನತಾ ಕಾರ್ಯ (PDF) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಅದರ ರೂಪವನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೆಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು

1. ಸ್ಥಳ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ (μ) ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ, ಇದು ವಿತರಣೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
2. ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ (b) ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ, ಇದು ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧಾರಿಸುತ್ತದೆ (b > 0).
3. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೆಟರ್ x = 0 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಘನತಾ ಕಾರ್ಯ (PDF) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು (b > 0).

ಸೂತ್ರ

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಘನತಾ ಕಾರ್ಯ (PDF) ಈ ರೀತಿಯಾಗಿದೆ:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

ಅಲ್ಲಿ:

• x ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ
• μ (ಮು) ಸ್ಥಳ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್
• b ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ (b > 0)

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೆಟರ್ ಬಳಕೆದಾರನ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಆಧಾರಿತವಾಗಿ x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

1. ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ b ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿ.
2. |x - μ| ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸರಳವಾಗಿ |0 - μ| = |μ| ಆಗಿದೆ.
3. ಘನತಾ ಶ್ರೇಣಿಯ ಘಾತೀಯ ಪದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: $\exp(-|μ| / b)$
4. ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

ಗೋಚಿಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು:

• b ≤ 0 ಇದ್ದರೆ, ದೋಷ ಸಂದೇಶವನ್ನು ತೋರಿಸಿ.
• ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ |μ| ಅಥವಾ ಬಹಳ ಸಣ್ಣ b ಇದ್ದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರಬಹುದು.
• μ = 0 ಇದ್ದಾಗ, PDF x = 0 ನಲ್ಲಿ 1/(2b) ಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ಬಳಕೆದಾರಿಕೆಗಳು

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಗೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳಿವೆ:

1. ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್: ಆಡಿಯೋ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾದರೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಹಣಕಾಸು: ಹಣಕಾಸಿನ ವಾಪಸ್ಸು ಮತ್ತು ಅಪಾಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಮಾದರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ: ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಖಾತರಿಗಾಗಿ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬೇಸಿಯನ್ ನಿರ್ಧಾರ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ: ಭಾಷಾ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಪಠ್ಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಭೂವಿಜ್ಞಾನ: ಭೂಕುಲದ ಮಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್ ವಿತರಣೆಯ ಮಾದರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಗುಟೆನ್‌ಬರ್ಗ್-ರಿಚ್ಟರ್ ಕಾನೂನು).

ಪರ್ಯಾಯಗಳು

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯು ಹಲವಾರು ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾದರೂ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿತರಣೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರಬಹುದು:

1. ಸಾಮಾನ್ಯ (ಗೌಸಿಯನ್) ವಿತರಣಾ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ದೋಷಗಳನ್ನು ಮಾದರೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಕೌಚಿ ವಿತರಣಾ: ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಹೆಚ್ಚು ತೂಕದ ಕೊಂಬುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಔಟ್‌ಲಿಯರ್-ಪ್ರಯೋಜನದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಮಾದರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಎಕ್ಸ್ಪೋನೆನ್ಷಿಯಲ್ ವಿತರಣಾ: ಪೊಯ್ಸಾನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಯವನ್ನು ಮಾದರೀಕರಣ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಸ್ಟುಡಂಟ್‌ಗಳ t-ವಿತರಣಾ: ಹಿಪೋಥಿಸಿಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸಿನ ವಾಪಸ್ಸನ್ನು ಮಾದರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿತರಣಾ: ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಹೋಲಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ತೂಕದ ಕೊಂಬುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಿಯರ್-ಸಿಮಾನ್ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ಅವರು 1774 ರಲ್ಲಿ "ಘಟನೆಯ ಕಾರಣಗಳ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೇಲೆ" ಎಂಬ ತಮ್ಮ ಮೆಮೊಯರ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆದರೆ, 20 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ವಿತರಣೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧಿ ಬಂದಿದೆ.

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಮೈಲಿಗಲ್ಲುಗಳು:

1. 1774: ಪಿಯರ್-ಸಿಮಾನ್ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ಅವರು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾರೆ.
2. 1930 ರ ದಶಕ: ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಆರ್ಥಿಕಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
3. 1960 ರ ದಶಕ: ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ದೃಢ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.
4. 1990 ರ ದಶಕ-ಪ್ರಸ್ತುತ: ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ, ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್, ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸಿನ ಮಾದರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿದ ಬಳಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ PDF ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಕೆಲವು ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

' Excel VBA ಕಾರ್ಯ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ PDF
Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
    If b <= 0 Then
        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
    Else
        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
    End If
End Function
' ಬಳಕೆ:
' =LaplacePDF(0, 1, 2)

import math

def laplace_pdf(x, mu, b):
    if b <= 0:
        raise ValueError("ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು")
    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)

## ಉದಾಹರಣೆ ಬಳಕೆ:
location = 1.0
scale = 2.0
x = 0.0
pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
print(f"x={x} ನಲ್ಲಿ PDF ಮೌಲ್ಯ: {pdf_value:.6f}")

function laplacePDF(x, mu, b) {
  if (b <= 0) {
    throw new Error("ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು");
  }
  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
}

// ಉದಾಹರಣೆ ಬಳಕೆ:
const location = 1;
const scale = 2;
const x = 0;
const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
console.log(`x=${x} ನಲ್ಲಿ PDF ಮೌಲ್ಯ: ${pdfValue.toFixed(6)}`);

public class LaplacePDF {
    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
        if (b <= 0) {
            throw new IllegalArgumentException("ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು");
        }
        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double location = 1.0;
        double scale = 2.0;
        double x = 0.0;
        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
        System.out.printf("x=%.1f ನಲ್ಲಿ PDF ಮೌಲ್ಯ: %.6f%n", x, pdfValue);
    }
}

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನೀಡಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣೆಯ PDF ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ನೀವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಗತ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ:

   • ಸ್ಥಳ (μ) = 0
   • ವ್ಯಾಪ್ತಿ (b) = 1
   • x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF: 0.500000

2. ಸ್ಥಳಾಂತರಿತ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ:

   • ಸ್ಥಳ (μ) = 2
   • ವ್ಯಾಪ್ತಿ (b) = 1
   • x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF: 0.183940

3. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ:

   • ಸ್ಥಳ (μ) = 0
   • ವ್ಯಾಪ್ತಿ (b) = 3
   • x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF: 0.166667

4. ಸ್ಥಳಾಂತರಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ ವಿತರಣಾ:

   • ಸ್ಥಳ (μ) = -1
   • ವ್ಯಾಪ್ತಿ (b) = 0.5
   • x = 0 ನಲ್ಲಿ PDF: 0.367879

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.